专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．模块1整理方法提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种：1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法.一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，需要找N-1个方程.常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．已知点P（2,2），圆C:x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当\OP\=|OM|时，求l的方程及厶POM的面积.【解析】（1）法1（定义法）：圆心C（0,4），由垂径定理可知CM丄PM，于是点M在以CP为直径的圆上，所以M的轨迹方程为x（x-2）+（y-4）（y-2）=0，即uuuuruuuuruuuur法2(直接法)：设M的坐标为(x,y),由CM丄PM可得CM-PM=0.CM=(x,yuuuuruuuuruuuur法2(直接法)：设M的坐标为(x,y),由CM丄PM可得CM-PM=0.CM=(x,y-4),PM=(x-2,y-2)，于是x(x-2)+(y-4)(y-2)=0即(x-1)2+(y-3)2=2.法3(参数法)：当l的斜率不存在时，其直线方程为x=2，于是y2-8y+4=0，所以点M的坐标为(2,4)当l的斜率存在时，设直线方程为y-2=k(x-2)，M(x,y).联立<y-2=k(x-2)消去x2+y2-8y=0y可得(k2+1)x2-4(k2+k)x+(4k2+8k-12)=0，于是x=，将k=-_-k2+1x-2代入，2消去参数k，可得x=-/、<x-2丿」，整理可得(x—1)2+(y—3)2=2(x丰2).+1综上所述，M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)法1：由OP=|OM|可知点M在以原点为圆心，|OP|为半径的圆上.联立(x-1)2+(y-3)2=2x2+y2=8解得14y=丁于是点M的坐标为214、5'了丿于是直线l的方程为y-2=<2)2/14Y+2-15J5丿1_x216△POM的面积为法2：由OP=|OM|可知点O在PM的垂直平分线上，而PM的垂直平分线过圆心(1,3),所以直线l的斜率为-3，直线方程为y-2=-1(x-2)，即x+3y-8=0.因为|0P|=2^2，点O到直线l的距离为d=出严，所以|PM|=2jOP|2-d2=半0，于是△POM的面积为TOC\o"1-5"\h\z4価4.1016—xx=—.555【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0,斜率乘积为-1,勾股定理•用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论.求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题.在直角坐标系xOy中，曲线C上的点均在圆C:(x-5)2+y2=9外，且对C上任意一121点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C上点的距离的最小值.2求曲线C的方程；1设P(x,y)(y北±3)为圆C外一点，过P作圆C的两条切线，分别与曲线C相000221交于点A、B和C、D.证明：当P在直线x=—4上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值.【解析】(1)法1：由题设知，曲线C上任意一点M到圆C的圆心(5,0)的距离等于它12到直线x=-5的距离，因此，曲线C是以(5,0)为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，所以方1程为y2=20x.法2：设M的坐标为(x,y)，由已知得|x+2|=Q(x-5)2+y2-3，且点M位于直线x=-2的右侧，于是x+2〉0，所以p(x-5)2+y2=x+5，化简得曲线q的方程为y2=20x.【证明】(2)当点P在直线x=-4上运动时，设P的坐标为(-4,y)，又y北±3，则过P00且与圆C相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为2y—y=k(x+4)，即kx-y+y+4k=0.于是"=3，整理得00<k2+172k2+18yk+y2-9=0…①.设过P所作的两条切线PA、PC的斜率分别为k、k，则k、00121k是方程①的两个实根，所以k+k=-0=-厶…②.212724[kx一y+y+4k=0k由'=20x01可得茹y2-y+y°+4k1=0…③•设四点A、B、C、D的纵坐标分别为y、y、y、y，则y、y是方程③的两个实根，所以y-y=初"儿丿12341212k1口询「知20(y+4k)〒曰400(y+4k)(y+4k)同理可得y-y=02•于是yyyy=0+02=34k1234kk212

400「y2+4(k+k)400「y2+4(k+k)y+16kkLn12012-kk12kk12o0J=6400.所以当P在直线x=—4kk12动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值6400.【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解.如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法•如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简.第()问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数•本题总共引进了六个参数：k、k、y、y、y、y,其准则121234是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法已知抛物线C思想方法已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l、l分别交C于A、B两12点，交C的准线于P、Q两点.若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明：AR〃FQ；若厶PQF的面积是厶ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【证明】(1)焦点坐标为F(丄,0].不妨设直线l:y=a，直线l11、11、11\则有A-,1，R—三,0，QL丿L2丿L2丿于是12丿12于是11)11)11a+b)P—,a，Q——,b，于是RI2丿I2丿I2'2丿字bb当线段AB垂直于x轴时，不妨设a〉b，k=1，k=1，所以AR〃FQ.FQAR当线段AB不垂直于x轴时，直线AB的斜率为k="—匕二丄，方程为a2b2a+ba2x2丿a2x2丿a-bFQ==-b,kARa21=-b，所以AR〃FQ.【解析】(2)4a-bFQ==-b,kARa21=-b，所以AR〃FQ.【解析】(2)4PQF的面积为\a-b|2I2丿的面积为丄x-+竺|a—b|.由_—=丄+竺|a—b|，可得|ab+1|=1，于是ab=0（舍去）222222或ab=-2…①.设AB中点为M(x，y)，则x=专…②，y=宁…③•③式平方，可得a2+b2+2aby2=—4—，将①②代入，可得y2=x一平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参•这是参数法的关键所在.抛物线焦点弦有两个常用结论：设AB平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参•这是参数法的关键所在.抛物线焦点弦有两个常用结论：设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x,y)，B(x,y)，则有(1)xx=—，yy=—p2；(2)以弦AB为直径的圆与准线相12212412切.【点评】本题采用了参数法求AB中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数x、y与2个参数a、b，此时我们需要找3个方程：x="+b，y=a+b，ab=-2，通过这3个42模块2练习巩整合提升方程消去2个参数，从而得到x与y之间的关系•一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，一般需要找N-模块2练习巩整合提升练习1：已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x—1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程；l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|ab|.【解析】(1)设动圆P的半径为r，则|PM|=r+1,|PN|=3-r，两式相加，可得|pm|+|pn|=4，所以圆心P是以M、N为焦点，2a=4的椭圆(左顶点除外).a=2，c=1,b=込，所以C的方程为+圧=1(x丰—).43专题六圆锥曲线中的轨迹问题专题六圆锥曲线中的轨迹问题0000000000(2)由(1)可知|PM|=r+1,|PN|=3-r，所以|PM|-|PN|=2r-2<|MN|，于是r<2，当且仅当点P为(2,0)时，等号成立，所以当圆P的半径最长时，圆P的方程为(x-2)2+y2=4.①当l的斜率不存在的时候，此时显然l就是y轴，|AB|=2翻.②当1的斜率存在的时候，显然1的斜率不为0，设1与x轴交于点Q，则有备=2'-1-x1即Q=■2-x2Q2，由此解得丁-4，且k=±詁^=±子，于是直线方程为y=±+4).y=±+4)，消去y，可得7x2+8x-8=0.由弦长公式，有x2y2—^―=1〔43VA=1I—41+严1lal\14丿\ab\=\1+k2-2v;82-4x7x(-8)18•''7=7练习2:已知椭圆C:宁+与=1，P(x0,y°)为椭圆C外一点，过点P作椭圆C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.(1)当点P(x,y)为定点时，求直线AB的方程;00(2)若PA、PB相互垂直，求点P的轨迹方程.【解析】(1)设A(x,y)、B(x,y)，则切线PA方程为¥+単=1，点P在切线PA上,112242所以号+号=1…①•同理，切线PB方程为于+堺=1，点P在切线PB上，所以严+岭=1…②•由①②可得直线AB的方程为子+计=1，即x0x+2y0y一4=/*)

"ZT(2)①若直线PA、PB的斜率都存在，不妨设其斜率分别为k、k，则kk=-1.设1212过点P(x,y)的直线方程为y-y=k(x-x).由<0000y-y=k(x-x)00x2y2消去y可得—^―=1〔42(2k2+1)x2-4k(kx-y)x+2(kx-y)2-2=0.因为直线与椭圆相切，所以0000A=16k2(kx-y00)2-4(2k2+1)2(kx-y1一21=0，即(4-x2)k2+2xyk-(4-x2)专题六圆锥曲线中的轨迹问题专题六圆锥曲线中的轨迹问题PA、PB与椭圆相切可知q、k2是该方程的两个实数根’所以kik2=4^X2=-锥曲线C内的时候，其极线l锥曲线C内的时候，其极线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.特别地：椭圆二+—=1(a〉b〉0),与点P(x,y)对应的极线方程为=1.a2b200a2b2双曲线兰-兰=1(a〉0,b〉0),与点P(x,y)对应的极线方程为x0x-寻=1.a2b200a2b2抛物线y2=2px(p〉0),与点P(x,y)对应的极线方程为yy=p(x+x).0000在椭圆+22=1(a〉b〉0)中，点P(c,0)对应的极线方程为x=竺，这就是椭圆的a2b2c右准线.本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法.第(2)小问也可以引进A(x,y)、1B(x,y)、P(x,y)，共2个未知数x、y和4个参数：x、y、x、y,利用以下5个方x2+y2=6・00②若直线PA、PB中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点P的坐标为，满足x，满足x2+y2=6・00综上所述，点P的轨迹方程为X2001122程进行消参：二+早0=1、厶42001122程进行消参：二+早0=1、厶4+字=1、打+耳=1，汶+写=1、二V=-1.24242424yy12练习3:如图，抛物线C:x2=4y和C:x2=-2py(p〉0).12点M(x,y)在抛物线C上，过M作C的切线，切点分别为A、B0021(M为原点O时，A、B重合于O).当x=1-*；2时，切线MA的0斜率为・2求p的值；当M在C上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A、B重合于O时，中点为O).2【点评】给定圆锥曲线C和点P(x