专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2018年高考

专题12任盍角和弧度制及枉意角的三角函数1．了解任意角的概念1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义热点题型一象限角与终边相同的角例1、⑴终边在直线y=£x上，且在一2n,2n）内的角a的集合为（2）如果a是第三象限的角，试确定一a,2a的终边所在位置。答案】（1答案】（1）52n4]3兀,3兀，3，3兀2）见解析【解析】⑴如塾在坐标系中画出直线尸氐可以发现它与兀轴的夹角是在［0,2助内，终边在直线尸爲上的角有两个：务芥在［-2%0）内满足条件的角有两个：-飢构成的集合为■3n⑵由a是第三象限的角得n+2knVaVy+2kn（k^Z）,BB两点，若a=30°,〃=60。，则弦AB的长为3n所以一~2—2knV—a<—n—2kn(kZ),n即2+2knV—a<n+2kn(kwZ),所以角一Q的终边在第二象限。由n+2kn<a<32n+2kn(kGZ),得2n+4knV2aV3n+4kn(k丘Z)。所以角2«的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴。提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线。按逆时针方向写出0,2n)内的角。再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。求并集化简集合。2.确定ka,k(k^N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角a的范围，再写出ka或学的范围，然后根据k的可能取值讨论确定ka或a的终边所在位置。【举一反三】aaa设角a是第二象限的角，且cosg=-cos^，则角2属于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C热点题型二扇形的弧长及面积公式例2、(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【解析】(1)设圆心角是0,半径是r，27+7^=10^=4目>=1.e=s"舍r=4旷］故扇形圆心角为苏殳圆心角是邑半径是心则2r+rf=40o£=新尹=丸40-巧=熔一〃=一(lioy+1殛100,当且仅当r=10时，5^=100；&=2.所以当7"=1()3日=2时：扇形面积最大。【提分秘籍】弧度制应用的关注点1nnrnnr21•弧度制下l=ar,S=2lr,此时a为弧度。在角度制下，弧长1=面，扇形面积S=丽,此时n为角度，它们之间有着必然的联系。在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。【举一反三】已知扇形的圆心角是a=120°，弦长AB=12cm,求弧长1。【解析】设扇形的半径为rcm,如图。由sin60°=6,r得r=4"・./3(cm),2n厂8也,、..1=lal・r^yx43=~^n(cm)。热点题型三三角函数的定义及其应用2例3.(1)若角3的终边经过点P(—；/3,m)(m*0)且sin0=~4m,则cos3的值为.(2)顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角a,B的终边与圆心在原点的单位圆交于A,【答案】（1）—¥（2）叮2【解析】⑴由题意得，r=.打工m2，所以石眾=^m，因为m丰0所以m=±/5。当磁=巫时，$=血点卩的坐标为（-羽，母所法*孕磐一爭，当磁=_巫时，F=2晶点尸的坐标対（-耳-母⑵由三角函数的定义得A（c0s3Oc,sin30^,sin60°),即提分秘籍】三角函数定义的应用方法（i）已知角«终边上一点p的坐标，可求角«的三角函数值。先求p到原点的距离，再用三角函数的定义求解。（2）已知角«的某三角函数值，可求角«终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。（3）已知角«的终边所在的直线方程或角«的大小，根据三角函数的定义可求角«终边上某特定点的坐标。【举一反三】已知角a的终边与单位圆的交点P（—2，y），则sina・tana=（）3333a.—*b.±3c.—2D.±2【答案】C【解析】由IOPI2=4+y2=1，得y2=|，y=±¥。43)(A)换(B)迈(C)-卫(D)-迈10101010【答案】C【解析】设BC边上的高为AD则BC=3AD，所以AC=\!AD2+DC2=»5AD1.【2016高考新课标3理数】在△ABC中，B=n,BC边上的高等于-BC，则cosA=定由弦理余得y=^2时’sin«=^2tana=—讨3,此时，sina•tana=32得y=^2时’sin«=^2tana=—讨3,此时，sina•tana=32。当y—¥时,sina=tana=\3,此时，sina・tana=故选C。32AB=42AD4AB2+AC2-BC22AD2+5AD2-9AD2cosA=2AB-AC2心2AD"5AD<10To"故选C．2.【2016高考新课标2理数】若cos(晋-a)=3则sin2a-(B)5C)_1_5D)725答案】Dcos—-al斗--ffIcos—-al斗--ffI=2l斗丿2015高考新课标1，理2】sin20ocos10o-cos160osin10o=(A)1(C)-21(D)2【答案】D【解析】原式=sin20ocosl0。cos20osin10o=sin30o=2故选D.BAC答案】CDBAC答案】CD(2014.新课标全国卷I］如图1-1,圆O的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点,

角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线，垂足为M将点M到直x的函数fx),则y=fx)在0,n］上的图像大致为(【解析】根据三角函数的定义，点制3心0),皿加的面积为毎in込珀在直角三角形中根据等积关系得点虫到直线OP的距离，即Xx)=|sin^osi|=^m2x|,且当工二器寸上述关系也成立，故函数兀◎的图像为选项C中的團像•1.sin(-270°)=()-1B.0C.D.1【解析】选D.因为-270°角的终边位于y轴的非负半轴上，在其上任取一点(0,y),则r=y,所以sin(-270°)===1.2.已知a是第四象限角，则n-A是()第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选C.因为a,n-a的终边关于y轴对称，所以由题意得n-a是第三象限角.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角TOC\o"1-5"\h\z的弧度数是()A.B.C.-D.-【解析】选B.由题意小明需要把表调慢一个小时，逆时针旋转时针弧度.已知角a的终边上一点的坐标为，则角a的终边在第象限()A.—B.二C.三D.四【解析】选D.因为=所以a在第四象限.下列命题中正确的是()若两扇形面积的比是1：4,则它们弧长的比是1：2若扇形的弧长一定，则面积存在最大值若扇形的面积一定，则弧长存在最小值任意角的集合可与实数集R之间建立对应关系【解析】选D.由扇形面积公式S=lr，得到面积由弧长和半径乘积确定，而不是只由弧长确定，故A，B，C错误，把角的概念推广到任意角之后任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系，所以D正确.若tana<0,且sina>cosa，贝Va在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为tana<0,所以a在第二或第四象限，又sina>cosa，所以a在第二象限.对于第四象限角的集合，下列四种表示中错误的是()A.B.C.D.【解析】选C.先选定一周，趾27『到360口再加光严的整数倍，(T■再加孑砂的整数倍，到72『再抑颁。的整数倍,故A,B,D都正确,只有C错误一已知角a的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角a终边上的一点P到原点的距离为，若a=，则点P的坐标为()A.(1，)B.(，1)C.()D.(1，1)【解析】选D.设点P的坐标为(x,y)，则由三角函数的定义得即

故点P的坐标为(1，1).9.下列终边相同的角是()A.kn+与，kWZkn士与，kWZkn+与2kn士，kWZD.(2k+l)n与(4k±l)n,kWZ【解析】选D.因为kn+,kWZ表示终边在y轴上的角，，kWZ表示终边在坐标轴上的角,故A错误;因为kn±，kWZ表示终边在土所在直线上的角，，kWZ表示终边在土所在直线上的角以及x轴上的角，故B错误kn+，kWZ表示终边与在一条直线上的角，2kn±，kWZ表示终边与土相同的角，故C错误；(2k+1)n，kWZ表示终边在x轴负半轴上的角，(4k±1)n，kWZ表示与士n终边相同的角，所以D正确.10•如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点2，diZA,2人0兀2兀/0兀2兀/0K271/2，diZA,2人0兀2兀/0兀2兀/0K271/O兀2兀/ABCD【解析】选C.如图，取AP的中点为D,设ZDOA=0,则d=2sin0,1=20R=20,所以d=2sin2.已知a(0<a<2n)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么a的值为,【答案】或【解析】根据正弦线和余弦线的定义知，当4和时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同一(2)(2)(2)(2)若sin0・cos0<0,=cos0，则点P在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为sin0・cos0<0,=cosO,所以cos0>0,sin0<0,所以0在第四象限,tan0<0,>0,所以P在第二象限.已知角a的终边经过点P(3a-9,a+2),且cosa<0,sina>0,则a的取值范围是.【答案】(-2,3]【解析】由得所以-2<a<3.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P是角0终边上一点，且sin0二,贝yy=.【答案】—8【解析】根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限角.所以y<0,sin0=-=，解得y=-8.顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角a,卩的终边与圆心在原点的单位圆交于A,B两点，若a=30°,卩=60。，则弦AB的长为.【答案】【解析】由三角函数的定义得A(cos30°,sin30。),B(cos60。,sin60。),即A,B.所以IAB|=写出下面各图中终边在阴影内的角的集合(包括边界).⑴⑵【答案】(1)【解析】(1)先写出一周内的,再加360°的整数倍,得(2)从135°角的终边开始逆时针旋转到与-45°终边相同的角应为135°+180°=315°，所以答案为.17•若角0的终边过点P(-4a,3a)(a^0),求sin0+cos0的值.试判断cos(sin0)・sin(cos0)的符号.【解析】⑴因为角G的终边过点所臥44%尸3岂"湘，当时〉尸5町sin&Kx)s6^_当；i<fl时;.尸5齐siii8-K^>sO=.(2)当3>0日寸〉siti9^=£fcosfl—£f则cos(sui0)-smtcosSy=cos・sinvO;当a<0时，sin0=-W,cos0=w,贝9cos(sin0)・sin(cos0)=cos・sin>0.综上，当a>0时，cos(sin0)・sin(cos0)的符号为负;当a<0时，cos(sin0)・sin(cos0)的符号为正.已知|cos0|=-cos0，且tan0<0，试判断的符号.【解析】由|cos0|=-cos0可得cos0<0，所以角0的终边在第二、三象限或y轴上或x轴的负半轴上;又tan0<0,所以角0的终边在第二、四象限，从而可知角0的终边在第二象限.易知-l<cos0<0,0<sin0<1,视cosO、sin0为弧度数，显然cosO是第四象限的角，sin0为第一象限的角，所以cos(sinO)>0,sin(cosO)<0,故<0,即符号为负.如图，动点P,Q从点