第十一章常数项级数概念及基本性质

第一 常数项级 十第 常数项级数的概念及基本性十 正项级数及其判敛无数 任意项级-1第一 常数项级常数项级数的概引例1.用圆内接正多边形面 十 依次作圆内接正32n(n0,1,2,")边形,设a0表十章内接正三角形面积,ak章增加时增加的面积,级32n级数a0数

a2

n时,这个 近于圆的面积A0 A0

"an-2 引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说 由自由落体运动方程s1gt2知t 2 十章~设tk表示第k次小球落地的时间 第k次小球跳起章 2无高度为k1米因此 2穷级

2k1

Tt12

2t3 212

"2g2

-3第一 常数项级定义给定一个数列u1,u2,u3,",un, 次相加,简记为un 十 unu1u2u3 un十 章穷穷

n项

n级 Snukk1n级

u1u2u3 称为级数的部分和.若limSnS存在收敛,并称S为级数的和 记-4

第一 常数项级Sun若limSn不存在 则称无穷级数发散 ~章 当级数收敛时,称差~章rnSSnun1un2无级为级数的余项.级数limrn-5第一

aqnaaqaq2"aqn (a0q的敛散性十 解:1)若q1,则部分十~

aaqaq2"aqn1a1无 当级

1时，由于limqn 从而limn n

1 其和为1qq1时

由于limqn 从而limSn

-6

2).

q1

第一 常数项级当q1时,Snna,因此级数发散当q1时 aaaa"(1)n1a十 a章因 Sn

nn 无从而limSn因此级数发散q1q1时aqna1q1时数1)、2)可知-7第一例2说明调和级数

常数项级n 1n

11 第

1 " ~ 解如果级~章 limSn

k1limS2nS, lim(S2nSn)

但数 但数

Sn

n n

"

n lim(S2nSn) 所以，级数

kkk-8第一 常数项级例3判别下列级数的敛散性十解十~

ln

n1 n

章 ln

ln ln

"lnn 穷数 (ln2ln1)(ln3ln2)"ln(n1)ln数技巧“拆项相消ln(n1) n技巧“拆项相消-9

常数项级n(n

" 1 2 3十第十

n(n1212

1

11

13 13

4

n1级 1级数

n

(n利用“拆项相消(2收敛利用“拆项相消-10第一 常数项级 1例4.判别级

∵ln11lnn21

ln(n1)ln(n1)2ln章无

n ln11k k级 [ln3ln12ln2][ln4ln22ln3][ln5级数ln32ln4]"[ln(n1)ln(n1)2lnnln2ln(n1)lnnln(11)lnnlimSnln2,,其和为ln2.-11第一 常数项级 性质 若级数un收敛于S,即Sun,则各n1

ccuncScuncun~ 级 证:令Snuk,则ncukcSn级 k limn

clim

kccun收敛cS说明级数各项乘以非零常数后其敛散性不变-12第一 常数项级 Sun, vn 第则级数unvn也收敛其和为S第 ~

unvn(unvn 级 证:令Snuk nvk 级 k

kn(ukvk)SnnS(nkunvn)也收敛其和为S-13说明

第一 常数项级性质2则unvn 必发散~章

但若二级数都发散,unvn)不一定发散穷 穷级

un而unvn

,vn-14第一 常数项级例 2

(2n

2)

(3n

解因为 ~ n1~

均收敛，所以(n

章收敛

2

1

( n )

3(

(

2 32 3231 21

232）因为3

，

-15

第一 常数项级性质3在级数前面加上或去掉有限项不会影响级 证将级数unk项去掉,所得新级数十 十

章的部分和 章n无穷

l

Sk

数级由于n时 n与Skn极限状况相同,故新旧两数当级数收敛时其和的关系为SSk-16 性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 证设收敛级数Sun,若按某一规律加括弧 (u1u2)(u3u4u5)十章则新级数的部分和序列m(m1,2章无Snn12")的一个子序列,级m lim lim 级mn 推论若加括弧后的级数发散则原级数必发散1 0,但1111"发散-17第一 常数项级 " 第 ( )( )( )" 章

n1 an n1 级

n nn

nn

发散-18第一 常数项级性质5.设收敛级数Sun unSn第

limun0.~ limunlimSnlim SS~若级数的一般项不趋于0 若级数的一般项不趋于0无级 注意:limun0并非级数收敛的充分条件级数 n例如n

1

" 虽然lim lim1

n

-19 n n第

2n (1)n

n1n1 enn! 章

3n

nn解穷

2n

2(n),n（2） n

(n),n 1n

1,

2n11 6n

6n

3-20（4）

enn!

第一 常数项级(11)n(11)ne(11nn ~n章n

en1(n1)!(n1)n1enn!

1 (n1,2,")(11)n无 unun1"u1无穷级从而limun0,这说明级数(1发散 -21 正项级数及其判敛un0,则称un为

正项级数un (n12 有界章序列 证级数“

”若un收敛 则Sn收敛 故有界”un0Sn单调递增Sn有界

故Sn收敛,从而un也收敛-22第一 常数项级 定理2(比较审敛法)设un,vn

NZnN,unk

(k0~章

若级数vn

un

(2)若级穷

un

则级数vn 也发散 数证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性设对一切nZ,unkvn 令Sn和n分别表示级数un vn部分和,则 -23第一Snkn

常数项级(1

vn

收敛,则有limn 因此对一切nZ,有 k 章~章1可知级数un也收敛 级(2

un

发散,则有lim

因此limn,这说明级数vn

-24第一例8.讨论p

常数项级1

" 12 3 4 np第的收敛性p十章~解1)若p1因为对一切nZ章穷 穷n n数 n1

发散,p级数n1发散-25第一 常数项级2p1,因为当n1xn时,11,np x1 1dx

1d

nnp n第十

n1x

p1(n1)

np1

2p1

3

"

p1

p1 无

n

(n

n级 k

k

(k1) 1(n1)

np1

收敛 p

-26第一 常数项级1当p时np 几何级数,p-级数,调和级数第 例9.判别下列级数的敛散 n2n4n2n4 x x

数 数

01x4n n

n0n1n

1x4dx解

-27

第一 常数项级n2n4n2n2n4n2n43n2n4n2n4∵ 收敛，所以

n1十

2 x01x无

dx 0

xdx xn2x穷级 穷3

收敛，所以n

4dx收敛 n1

01

n41x4dxn

n

n0n所以

-28第一 常数项级

nln

n2nln 当x[n,n1)时 十 章

dx

xln dxlnln(n1)lnlnnln无

nln

xln nlnln3lnln2"lnln(n1)lnln数 lnln(n1)lnln2 (n数则级数(lnln(n1lnlnn) 所以级数nln

-29第一 常数项级 (nnln2 xln2

dx

dx

nnln2n第

n1nln2

xln2

ln(n 十

[

ln(n

], "

级 级

ln(n 数 数

(nnln，所以级数 nln

n收敛-30 定理3比较审敛法的极限形式) un,

满足limunl,

n (1)当0<l<∞时,两个级数同时收敛或发散十 (2)当l=0且vn收敛时,un也收敛

数 (3)当l=∞且vn发散时,un也发散数

证据极限定义对0,存在NZ当nN时unl

(l-31第一 常数项级(l)vnun(l)vn (nN 当0l<∞时,取l2可知un与vn 第~ (2)当l=0时,利用un(l)vn(nN),由定理2~ 若vn收敛 则un也收敛穷 穷

数级(3)当l=∞时,存在NZ,当nN时, 1,数nvnun 由定理2可知若vn

发散

则

-32

第一 常数项级1np

设un 十n npu十n

l(或如果p1,0l无

则级数un穷如 则级数穷

u p1,0l数

-33第一 常数项级n2n4 n2n4

n2

n n 十

ln(1

2 ~章 (1)∵

nsin

limn1

sin1～ 无

n级穷根据比较审敛法的极限形式知sin 发散n级n2n42n2n42

n2n2n4根据比较审敛法的极限形式知 -34

第一 常数项级2∵limn2ln11limn2 2

ln(11)～2 2第根据比较审敛法的极限形式

ln1

1收敛十nnnn (4)∵

1ln n(en 数

lne 1

lnn

lnnlimlnnn n

nnn n-35

收敛n第一 常数项级 (a1例 判别级数 1 当0a1

第 当a1时

n1 章 n1 章 1穷 当0a1 1穷

当a1时，liman 1an

n1 -36

n21

n收敛第一 常数项级定理4D’alembert判别法设un为正项级数且limun1,

1时十 (2)当1 时,级数发散十~ 证:(1)当1时,取使无

由limun1 穷知存在NZ,当nN时,un1数 数un1()un()2 ()nNuN(

收敛

-37

un收敛第一 常数项级当1时,必存在NZuN0当n时第

1,

"十因此limunuN0,所以级数发散 章说明当limun11时,级数可能收敛也可能发散.穷 穷级lim 级lim 1u例如,p–级 例如,p–级 n1

p1, p1,级数发散-38第一 常数项级注意 当1时比值审敛法失效 n例 级数n

发散

( n 级数2收敛n 章(2)条件是充分的,而非必要无 无 例如级数un

收敛数但un1

2

an

lim 1 2(2(1)n lim

3,limun1lim

不存在

-39

第一 常数项级 n1

un

un1

u"u十 十

n n -40 判别下列级数的收敛性

nn1n

n1

(2n1)十第 十 un1

(n1)!(n

1n n

收敛

n(11 nn1-41第一(nun1

常数项级n1 (n

章

u

(2n1)∵lim n1 穷 (2n1)(2n穷 比值审敛法失效,改用比较审敛数∵limn2 1

2n(2n

收敛-42例14

第一 常数项级nxn1x0解 ∵lim

十

n 章当0x1时,无级数 当x1时,级数发散级数当x1时级数n发散-43第一 常数项级定理5Cauchy判别法

unnn项级数且

, (1)当1时,级数收敛十 (2)当1时章n证明提示n穷 穷

,对任意给定的正数(数

1

存在NZ,当nN时n ()nun(-44第一 常数项级 例15n1

收敛于S,nnnn 解:十

0(n)n章n~由定理5可知该级数收敛令章n

S

,无 0rn无

(n

(n (n (n

11-1

n(n 任意项级1

常数项级un0n12,

十 u1u2u3"(1)n1un十~称为交错级数章定理6Leibnitz若交错级数满足条件无 级

un

(n1,2,")

limun0,则级数(1)n1un收敛,且其和S rnun1-46第一 常数项级 ∵S2n(u1u2)(u3u4)"(u2n1u2n S2nu1(u2u3)(u4u5)"(u2n2第

~十~章

故limS2nS无 limS2n1lim(S2n

limS2n 级故级数收敛于S且Su1Sn的余项rnSSn(un1un2"

un1un2-47

第一16判别级数

常数项级

nnnn

n