6复杂求值法：椭圆运动星体机械能守恒问题新解

（复杂求值法）李学生1，师教民2（1.山东大学物理学院，山东济南250100；2.石家庄广播电视大学科学技术部，河北石家庄050081）摘要：重新解答了椭圆周运动星体机械能守恒问题，得出了在地球上和直线匀速远离地球的宇宙飞船上观察，环绕地球的椭圆周运动星体机械能都守恒的新结论．关键词：椭圆周运动星体；动能；势能；机械能守恒中图分类号：0313.1 文献标识码：A质量为m的人造卫星（视为质点），在质量为M的地球（视为质点）的引力作用下，环绕地球做长短半轴分别为a，b的椭圆周运动.有一宇宙飞船相对于地球以正常数u的速度沿椭圆长轴方向远离地球.在理想情况下，试问在地球上和宇宙飞船（视为质点）上观察，人造卫星的机械能是否守恒，并说明理由．解:在地球上观察时，设地球位于椭圆轨道左焦点J处，以点J为极点，与椭圆长轴重合的向右的射线Jx为极轴，从地球起到人造卫星的矢量r为极径，极径和极轴的夹角0为极角，建立平面极坐标系.以椭圆轨道中心o为原点，直线ox为x轴，与椭圆短轴重合的向上的直线oy为y轴，建立平面直角坐标系.极坐标系和直角坐标系如图1所示.设宇宙飞船系为OXY.设0时刻，OXY与oxy完全重合；人造卫星从x轴与椭圆轨道的右交点处开始运动.设t时刻，卫星与飞船系OXY的位置如图1所示；卫星的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能，在地球系分别为：r，v，a，f，ek，e，e，在飞船系分别为：R，V，A，F，E，E，E.贝恠地球系观察kp kp时，在地球卫星体系中，卫星仅受到五大常见保守力（参见论文《论势能》）之一的万有引力作用，不受任何其他外力和非保守内力作用.据图1知：设椭圆轨道的偏心率为n人造卫星的运动周期为T，0对于时间t的导数为0，r对于时间t的导数为r'，横向线速度为%，纵向线速度为v，则据图1知，r= ^―-.0 r 1-ncos0r20'=2丄r20'=2r20'=2丄r20'=2.nab2nabT2叫GM亠贡=阿.va1-ncos0=P，r0+n(sin0).0'=_Pr2r'=nsin0r20Pdr d(re) dr de , dedOv= =l=e+r.r=re+r- r=re+rOe=ve+ve.dt dt dtr dt r dOdtrOrrOO.'l^nsin'P0.v=rOo=1r2Oo=j"C0S00 r ppGMp=GM(.'l^nsin'P0.v=rOo=1r2Oo=j"C0S00 r ppGMp=GM(l_ncos0).Pv2=v2+v2=GMn2sin20+GM(1_ncosO)2=GM(n2sin20+1_2ncos0+n2cos20)=rOp p pGM(1_2ncos0+n2)=GM(2_2ncos0+n2_1)=GM.2(1_ncos0)+GM(n2_1)=空p p p p rGM+—p(n2_1).据地球系中的动能定义式［参见论文《论势能和动能的对称性》第8页(26)式］知1GMmGMme(t)=mv2= +—k2 r 2p(n2_1)；据地球系中的势能定义式［参见论文《论势能和动能的对称性》第6页(20)式］知GMme(t)=_ .pre(t)=ek(t)+ep(t)=GMmGMm GMm+ (n2_1)_r2p rGMm21GMm2aa2_c2b2 a2GMm2a=常数．GMm所以，在地球系，卫星的机械能守恒，守恒值为_—2a据飞船系中的机械能定义式［参见论文《论势能和动能的对称性》第9页(32)式］知E=e+E=e+1mu2_muv=.20GMm2a+1mu2_mulvIcos90°=1mu2_GMm2 0 2 2a=常数．1GMm所以，在飞船系，卫星的机械能守恒，守恒值为mu2_古参考文献：［1］ 高炳坤•力学中一个诡秘的错误［J］.物理与工程，2002，(12)2：14_15，30.［2］赵坚.机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题［J］.物理通报，2006，(25)6：19-21.［3］ 钱广东.不同惯性系中机械能不一定都守恒一一兼谈机械能守恒定律是否服从力学相对性原理［J］.物理教学，2006，(28)2：42_43．［4］ 白静江•两体问题中的功能原理及机械能守恒定律［J］.大学物理，1997,(16)3：11_14.［5］ 徐祥宝•以地面为参照系机械能不守恒［J］.物理教学探讨,2006，(24)9：36_37.Brand-newexplanationofmechanicalenergyconservationof

celestialobjectmovinginellipseorbitLiXue-sheng1，ShiJiao-min2（1.SchoolofPhysics，ShandongUniversity,Jinan250100,China；2.DepartmentofScienceandTechnology,ShijiazhuangRadioandTelevisionUniversity,Shijiazhuang050081,China）Abstract：Itrefurbishedtheissueofmechanicalenergyconservationofcelestialobjectmovinginellipseorbit,whichstraightforwardlyledtoconclusion,nomatterwetakereferenceframeoftheearthitselforaspaceshipflyingawayfromtheearthinuniformspeed,themechanicalenergyofcelestialobjectmovinginellipseorbitaroundtheearthisalwaysconservative.Keywords：celestialobjectmovinginellipseorbit；kineticenergy；potentialenergy；mechanicalenergyconservation作者简介：李学生（1969-），男，教授，山东济南人.现从事普通物理的教学与研究.Email：HYPERLINK"mailt