心理统计学-09假设检验

心理统计学刘玉

第九讲假设检验

利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。一假设检验的基本原理

1．假设假设检验一般有两互相对立的假设。H0：零假设，或称原假设、虚无假设（nullhypothesis）、解消假设；是要检验的对象之间没有差异的假设。H1：备择假设（alternativehypothesis），或称研究假设、对立假设；是与零假设相对立的假设，即存在差异的假设。

进行假设检验时，一般是从零假设出发，以样本与总体无差异的条件计算统计量的值，并分析计算结果在抽样分布上的概率，根据相应的概率判断应接受零假设、拒绝研究假设还是拒绝零假设、接受研究假设。

2．小概率事件样本统计量的值在其抽样分布上出现的概率小于或等于事先规定的水平，这时就认为小概率事件发生了。把出现概率很小的随机事件称为小概率事件。

当概率足够小时，可以作为从实际可能性上，把零假设加以否定的理由。因为根据这个原理认为：在随机抽样的条件下，一次实验竟然抽到与总体参数值有这么大差异的样本，可能性是极小的，实际中是罕见的，几乎是不可能的。

3．显著性水平统计学中把拒绝零假设的概率称为显著性水平，用α表示。显著性水平也是进行统计推断时，可能犯错误的概率。常用的显著性水平有两个：α＝0.05和α＝0.01。

在抽样分布曲线上，显著性水平既可以放在曲线的一端（单侧检验），也可以分在曲线的两端（双侧检验）。图9－1正态抽样分布上α＝0.05的三种不同位置αα

4．假设检验中的两类错误及其控制对于总体参数的假设检验，有可能犯两种类型的错误，即α错误和β错误。表9－1假设检验中的两类错误H0为真H0为假拒绝H0α错误正确接受H0正确β错误

为了将两种错误同时控制在相对最小的程度，研究者往往通过选择适当的显著性水平而对α错误进行控制，如α＝0.05或α＝0.01。对β错误，则一方面使样本容量增大，另一方面采用合理的检验形式（即单侧检验或双侧检验）来使β误差得到控制。

在确定检验形式时，凡是检验是否与假设的总体一致的假设检验，α被分散在概率分布曲线的两端，因此称为双侧检验。双侧检验的假设形式为：H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0

凡是检验大于或小于某一特定条件的假设检验，α是在概率分布曲线的一端，因此称为单侧检验。单侧检验的假设形式为：H0：μ≥μ0，H1：μ＜μ0或者H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0

5．假设检验的基本步骤一个完整的假设检验过程，一般经过四个主要步骤：⑴．提出假设⑵．选择检验统计量并计算统计量的值⑶．确定显著性水平⑷．做出统计结论

二．总体平均数的显著性检验总体平均数的显著性检验是指对样本平均数与总体平均数之间的差异进行的显著性检验。若检验的结果差异显著，可以认为该样本不是来自当前的总体，而来自另一个、与当前总体存在显著差异的总体。即，该样本与当前的总体不一致。

1．总体平均数显著性检验的原理检验的思路是：假定研究样本是从平均数为μ的总体随机抽取的，而目标总体的平均数为μ0，检验μ与μ0之间是否存在差异。如果差异显著，可以认为研究样本的总体不是平均数为μ0的总体，也就是说，研究样本不是来自平均数为μ0的总体。

2．总体平均数显著性检验的步骤一个完整的假设检验过程，一般经过四个主要步骤：⑴．提出假设⑵．选择检验统计量并计算统计量的值⑶．确定显著性水平⑷．做出统计结论

⑴.提出假设即根据研究假设提出相应的统计检验的假设。双侧检验的假设形式为：H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0单侧检验的假设形式为：H0：μ≥μ0，H1:μ＜μ0（左侧检验）或者H0：μ≤μ0，H1:μ＞μ0（右侧检验）

⑵．选择检验统计量并计算结果直接应用原始数据检验假设是有困难的，必须借助于根据样本构造出来的统计量，而且针对不同的条件，需要选择不同的检验统计量。各种检验统计量的计算公式都是针对特定条件的，学习中一定要注意把条件与统计量计算公式联系起来。

⑶．确定显著性水平在假设检验中有可能会犯错误。如果零假设是正确的，却把它当成错误的加以拒绝，就会犯α错误。α表示做出统计结论时犯错误的概率，称为显著性水平。显著性水平一般为0.05和0.01。

⑷．做出统计结论根据已确定的显著性水平，查统计量的分布表，找到该显著性水平时统计量的临界值，并以计算得到的统计量值与查表得到的临界值比较，根据统计决断规则做出拒绝或接受零假设的决定。

3．平均数显著性检验的几种情形⑴．总体为正态，总体标准差σ已知平均数的抽样分布服从正态分布，以Ｚ为检验统计量，其计算公式为：

例１：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为66分，标准差为11.7。现以同样的试题测验应届毕业生（假定应届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽18份试卷，算得平均分为69分，问该校应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？

检验步骤⑴.提出假设H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0或H0：μ＝66，H1：μ≠66⑵.选择检验统计量并计算统计量的值学生汉语拼音成绩可以假定是从正态总体中抽出的随机样本。总体标准差已知，样本统计量的抽样分布服从正态，以Z为检验统计量

计算

⑶.确定显著性水平和检验形式显著性水平为α=0.05，双侧检验⑷.做出统计结论查表得Zα=1.96，而计算得到的Z=1.09|Z|＜Ｚα，则概率P＞0.05差异不显著,应在0.05显著性水平接受零假设结论:该校应届毕业生与历届毕业生汉语拼音测验成绩一致，没有显著差异。

双侧Z检验统计决断规则∣Z∣与临界值比较P值显著性检验结果∣Z∣＜1.96P＞0.05不显著保留H0，拒绝H11.96≤∣Z∣＜2.580.05≥P＞0.01显著＊在0.05显著性水平拒绝H0，接受H1∣Z∣≥2.58P≤0.01极其显著＊＊在0.01显著性水平拒绝H0，接受H1

单侧Z检验统计决断规则∣Z∣与临界值比较P值显著性检验结果∣Z∣＜1.65P＞0.05不显著保留H0，拒绝H11.65≤∣Z∣＜2.330.05≥P＞0.01显著＊在0.05显著性水平拒绝H0，接受H1∣Z∣≥2.33P≤0.01极其显著＊＊在0.01显著性水平拒绝H0，接受H1

Ｚ＝-3.94例2：某市高中入学考试数学平均分数为68分，标准差为8.6。其中某所中学参加此次考试的46名学生的平均分数为63。过去的资料表明，该校数学成绩低于全市平均水平，问此次考试该校数学平均分数是否仍显著低于全市的平均分数？

⑵．总体为正态，总体标准差σ未知，样本容量小于30平均数的抽样分布服从t分布，以t为检验统计量，计算公式为：

双侧t检验统计决断规则∣t∣与临界值比较P值显著性检验结果∣t∣＜t(df)0.05/2P＞0.05不显著保留H0，拒绝H1t(df)0.05/2≤∣t∣＜t(df)0.01/20.05≥P＞0.01显著＊在0.05显著性水平拒绝H0，接受H1∣t∣≥t(df)0.01/2P≤0.01极其显著＊＊在0.01显著性水平拒绝H0，接受H1

单侧t检验统计决断规则∣t∣与临界值比较P值显著性检验结果∣t∣＜t(df)0.05P＞0.05不显著保留H0，拒绝H1t(df)0.05≤∣t∣＜t(df)0.010.05≥P＞0.01显著＊在0.05显著性水平拒绝H0，接受H1∣t∣≥t(df)0.01P≤0.01极其显著＊＊在0.01显著性水平拒绝H0，接受H1

t＝2.266例３：某区初三英语统一测验平均分数为65，该区某校20份试卷的平均分数为69.8，标准差为9.234。问该校初三年级英语平均分数与全区是否一样？

t＝3.365例４：某校上一届初一学生自学能力平均分数为38，这一届初一24个学生自学能力平均分数为42，标准差为5.7，假定这一届初一学生的学习条件与上一届相同，试问这一届初一学生的自学能力是否高于上一届？

⑶．总体标准差σ未知，样本容量大于30平均数的抽样分布服从t分布，但由于样本容量较大，平均数的抽样分布接近于正态分布，因此可以用Z代替t近似处理，计算公式为：

Ｚ＝-2.11例5：某年高考某市数学平均分数为60，现从参加此次考试的文科学生中，随机抽取94份试卷，算得平均分数为58，标准差为9.2，问文科学生的数学成绩与全市考生是否相同？

⑷．总体非正态，小样本不能对总体平均数进行显著性检验。

三．平均数差异显著性检验的统计量及计算公式平均数差异的显著性检验时,统计量的基本计算公式为:Ｈ0：μ1＝μ2

1．两总体正态，总体标准差已知

总体标准差已知条件下，平均数之差的抽样分布服从正态分布，以Ｚ作为检验统计量，计算公式为：

⑴．两样本相关⑵．两样本独立

两样本相关的判断两个样本的数据之间存在着一一对应的关系时，称两样本为相关样本。常见的情形主要包括三种：一是同一组被试在前后两次在同一类测验上的结果；二是同一组被试分别接受两种不同实验的测验结果；三是按条件相同的原则选择的配对实验结果。

例6:某幼儿园在儿童入园时对49名儿童进行了比奈智力测验(σ=16)，结果平均智商为106。一年后再对同组被试施测，结果平均智商分数为110。已知两次测验结果的相关系数为r=0.74，问能否说随着年龄的增长和一年的教育，儿童智商有了显著提高？

解题过程提出假设：H0:μ1≥μ2H1:μ1＜μ2选择检验统计量并计算正常儿童的智力测验结果，可以认为是从正态总体中随机抽出的样本。总体标准差已知，而同一组被试前后两次的测验成绩，属于相关样本。因此平均数之差的抽样分布服从正态分布，应选用Ｚ作检验统计量，并选择相关样本、总体标准差已知的计算公式。

计算提示：σ1＝σ2＝16

确定显著性水平显著性水平为α=0.05做出统计结论单侧检验时Ｚ0.05=1.65，Ｚ0.01=2.33而计算得到的Ｚ=1.71﹡Ｚ0.05＜|Z|＜Ｚ0.0１，则概率0.05＞P＞0.01差异显著,应在0.05显著性水平拒绝零假设结论:可以说随着年龄的增长和一年的教育，儿童智商有了显著提高。

2．两总体正态，标准差未知，

方差齐性，n1或n2小于30总体标准差未知条件下，平均数之差的抽样分布服从t分布，以t作为检验统计量，计算公式为：

⑴．两样本相关还可以计算为

⑵．两样本独立

例7：为了揭示小学二年级的两种识字教学法是否有显著性差异，根据学生的智力水平、努力程度、识字量多少、家庭辅导力量等条件基本相同的原则，选择了10对学生，然后把每对学生随机地分入实验组和对照组。

实验组施以分散识字教学法，而对照组施以集中识字教学法。后期统一测验结果实验组平均成绩为79.5，标准差为9.124；对照组平均成绩为71.0，标准差为9.940，两个组成绩的相关系数为0.704。问两种识字教学法的教学效果是否有显著差异？

解题过程：1．提出假设H0:μ1=μ2H1:μ1≠μ2

2．选择检验统计量并计算两种识字教学法的测验得分假定是从两个正态总体中随机抽出的样本,它们差数的总体也呈正态分布。两总体标准差未知，因此平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量。

两样本为配对实验结果，属于相关样本，已计算出相关系数，因此选公式（11.5）计算。

两种识字教学法教学效果差异检验计算表序号实验组X1对照组X2d=X1-X212345678910937291658177898473707674805263628285647217-2111318157-19-228941211814总和795710851267

还可计算为

例8：从高二年级随机抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统讲授法教学。后期统一测试，结果为：实验组10人平均成绩为59.9,标准差为6.640；对照组9人平均成绩为50.3，标准差为7.272。问两种教学方法是否有显著性差异？（根据已有的经验，启发探究法优于传统讲授法）

解题过程：1．提出假设H0:μ1≤μ2

H1:μ1＞μ2

2．选择检验统计量并计算两组化学测验分数假定是从两个正态总体中随机抽出的独立样本,两总体标准差未知，经方差齐性检验两总体方差齐性，两样本容量小于30。因此平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量，选用公式（11.7）计算。

计算

3．两总体非正态，n1和n2大于30（或50）总体标准差未知条件下，平均数之差的抽样分布服从t分布，但样本容量较大，t分布接近于正态分布，可以以Ｚ近似处理，因此以Z′作为检验统计量，计算公式为：

⑴．两样本相关

⑵．两样本独立

例8：32人的射击小组经过三天集中训练,训练后与训练前测验分数分别为:训练前平均成绩为44.156，标准差为13.650；训练后平均成绩为46.594，标准差为13.795。两组成绩相关系数为0.884,问三天集中训练有无显著效果？（根据过去的资料得知，三天集中射击训练有显著效果）

解题过程：1．提出假设H0:μ1≥μ2

H1:μ1＜μ2

2．选择检验统计量并计算训练前后的射击成绩假定是从两个正态总体中随机抽出的相关样本,两总体标准差未知，平均数之差的抽样分布服从t分布，但两样本容量大于30，因此可以Ｚ代替t为近似处理，选用公式（11.9）计算。

计算

4．总体非正态，小样本不能对平均数差异进行显著性检验。

三、方差不齐性独立小样本平均数差异的显著性检验对于方差不齐性的独立小样本，平均数差异的显著性可能由两方面的原因造成：一是两平均数确实存在显著差异；二是两总体方差之间存在显著差异。当两总体的方差之间差异显著时，运用一般的t检验不准确，需要进行特别的检验。

1．统计量及计算公式总体方差不齐性的两个独立样本平均数之差的标准误，可用两个样本方差分别估计出的两个平均数标准误平方之和再开方来表示。这时样本平均数之差与相应总体平均数之差的离差统计量，既不是Z分布，也不是t分布，而是与t分布相近似的t′分布。

这种检验方法被称为柯克兰—柯克斯t检验（Cochran-Cox），其统计量的计算公式为

2．t′临界值的计算公式

四．方差齐性检验方差齐性检验是对两总体方差是否齐性（即是否一致或是否存在显著性差异）进行的检验。方差齐性检验的统计量是Ｆ，其概率分布遵循Ｆ分布。

1．F分布若从方差相同的两个正态总体中，随机抽取两个独立样本，以此为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两个总体方差的估计值的比值称为F比值，其计算公式为

实际应用中，常需以样本方差估计总体方差，因此公式为当两样本容量相差不大时，上式可简化为

Ｆ比值的抽样分布称为F分布。Ｆ分布的形态随Ｆ比值分子和分母中自由度的变化而形成一簇正偏态分布。一般情况下，经常应用的是曲线右侧的概率值，所以Ｆ值表只列有右侧理论值（临界值）。在计算样本的Ｆ值时，要求将总体方差估计值较大的作为分子，较小的作为分母，使计算所得的Ｆ值落在1和大于1的范围内。