2021年中考数学复习讲义：轴对称模型十九-海盗埋宝模型

第五章.轴对称模型（十九）——海盗埋宝模型【结论】如图，^ADC和4BEC是等腰直角三角形，A,B为直角顶点，F为DE的中点，连接FA,FB,则AFAB是等腰直角三角形.C【特征】⑴两等腰直角三角形⑵一组底角共顶点⑶另一组底角顶点相连取中点【证明】（方法一：倍长中线法）如图，延长AF至点P使得FP二人尸，连接PE,PB,延长PE交AC于点Q.QC在4DAF和4EPF中，DF=EF,ZDFA=ZEFP,AF=PF,•••△DAF/△EPF(SAS),・・・DA=EP,NDAF=NEPF..\DA#EP..\ZEQC=ZDAQ=90°.在四边形EQCB中，nEQC+NEBC=90°+90°=180°,・・.NQEB+NQCB=360°-180°=180°又•・・/QEB+NPEB=180°, .\ZQCB=ZPEB.在4ACB和4PEB中，AC=PE,ZACB=ZPEB,BC=BE,.••△ACB/△PEB(SAS)..\AB=PB,ZABC=ZPBE・・NABC+NABE=NPBE+NABE,即NABP=NCBE=90°.••△ABP是等腰直角三角形.又・・・F是AP的中点，・・・BF，AP,BF=AF.•△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点.(方法二：构造手拉手模型)将ADAC沿AC对称，得APAC,将4EBC沿BC对称，得△QBC,连接EP,DQ.易证4PCE/4DCQ（手拉手模型），「.PE二DQ,PE±DQ（手拉手模型的结论）.・・AF是ADPE的中位线，BF是ADaE的中位线,・・AF=1PE,AF〃PE,BF=1DQ.BF〃DQ,2 2「AF二BF,AF±BF,「△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点典例秒杀典例1☆☆☆☆☆在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，M是BC的中点，连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由D【解析】MD=ME,MDLME.理由如下：如图，分别取AB,AC的中点F,6,连接口尸，FM,MG,EG,设AB与DM交于点HD8 M C••△ADB和AAEC都是等腰直角三角形，\ZDFA=ZEGA=90°,DF=AF=1AB,EG=AG=1AC,2 2M是BC的中点，・・・FM和MG都是△ABC的中位线，・・AF〃MG,AF=DF=MG,.二四边形AFMG是平行四边形，FM=AG=GE,ZAFM=ZAGM,.\ZDFM=ZMGE.4DFM和4MGE中，FM=GE,ZDFM=ZMGE,DF=MG,•••△DFM/△MGE(SAS),,MD=ME,ZFDM=ZGME,.\ZBHM=90°+ZFDM=90°+ZGME.又AF〃MG,.\ZBHM=ZHMG=ZDME+ZGME,.\ZDME=90°,即MD±ME.典例2☆☆☆☆☆在Rt^ABC中，ZACB=90°,tanZBAC=1,点D在边AC上(不与A,C重合)，2连接BD,F为BD的中点.⑴若过点D作DELAB于点E,连接CF,EF,CE,如图1,设CF=kEF,则k=.⑵将^ADE绕点A旋转，使得D,E,B三点共线，点F仍为BD的中点，如图2所示，求证：BE—DE=2CF.的中点，求线段CF长度的最大值.【解析】⑴的中点，求线段CF长度的最大值.【解析】⑴VF为BD的中点，DE±AB,ZACB=90°,备用图⑶若BC=6,点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD1・BCDEVtanZBAC,2ACAE121・BCDEVtanZBAC,2ACAE12・・・CF=1BD,EF=1BD,・・・CF=EF,.\k=1.2 2⑵如图，过点C作CE的垂线交BD于点G,设BD与AC的交点为Q..\ZECA=ZBCG.AABCG^AACE,.\ZECA=ZBCG.AABCG^AACE,VD,E,B三点共线，Z.AEXDB.VZBQC=ZAQD,ZACB=ZAEQ=90°,.\ZQBC=ZEAQ.VZECA+ZACG=90o,ZBCG+ZACG=90°GB=BC=1,,GB=DE.AEAC2VF是BD的中点，・・・F是EG的中点.在RtAECG中，CF=1EG,2・・・BE—DE=BE—GB=EG=2CF.

⑶①如图，当AD=1AC时，取AB的中点旭连接MF,CM.3AVZACB=90°,tanZBAC=1,且BC=6,2・・・AC=12,AB=6芯.・・・M为AB的中点，・・・CM=1AB=3、5.2VAD=1AC,,AD=4.3・・・M为AB的中点，F为BD的中点，・・・FM=1AD=2.2当且仅当M,F,C三点共线且尸在线段CM的延长线上时，CF最大.此时CF=CM+FM=2+3%：5.②如图，当AD=2AC时，取AB的中点M,连接MF,CM,3A同①可知，CF的最大值为4+3三.综上，线段CF的长度的最大值为4+3,5.J小试牛刀工1.(★★★★☆)已知两个等腰RtAABC,Rt^CEF有公共顶点C,NABC=NCEF=90°,连接AF，M是AF的中点，连接MB,ME.⑴如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB〃CF.⑵如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长.⑶如图2,当NBCE=45°时，求证：BM=ME.2.(★★★★★)如图1,在AABC中，NACB=90°,BC=AC,点D在边AB上，DELAB交BC于E,F是AE的中点.⑴写出线段FD与线段FC的关系并证明.⑵如图2,将4BDE绕点B逆时针旋转a(0°<a<90°),其他条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化?写出你的结论并证明.⑶将4BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4,BE=2V⑸，直接写出线段BF长度的范围.直击中考1.如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点.图1 图2(1)问题解决：如图1,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 。(2)问题探究：如图2,4AO'E是将图1中的AAOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE,点P,Q分别为CE,BO'的中点，连接PQ,PB.判断^PaB的形状，并证明你的结论.第五章.轴对称模型（十九）——海盗埋宝模型答案：小试牛刀.解析（1）方法一：如图，延长AB交CF于点D.C易知4BCD为等腰直角三角形，又4ABC是等腰直角三角形，・・AB二BC=BD,・••点B为线段AD的中点.又丁点M为线段AF的中点，「.MB为4ADF的中位线，/.MB//CF.方法二：如图，延长BM交EF于点D.VZABC=ZCEF=90°,.\AB±CE,EF±CE,.\AB//EF,AZBAM=ZDFM.二M是AF的中点，,AM=MF.在△ABM和4FDM中，NBAM=NDFM,AM=FM,ZAMB=ZFMD,/.△ABM^AFDM(ASA),「AB=DF,「BC=DFVBE=CE-BC,DE=EF—DF,,BE=DE

••△BDE是等腰直角三角形，・・・/EBM=45°.;在等腰直角^CEF中，NECF=45°,,・・NEBM=NECF,・・・MB〃CF.(本小问可以用模型得出4EMB为等腰直角三角形，得到NEBM=NECF=45。，从而得到BM〃CF)(2)方法一：如图，延长AB交CF于点D.:△BCD与4ABC为等腰直角三角形，・・.AB=BD=BC=a,・・AC=CD=<2a,点B为AD的中点.又点M为AF的中点，.,.BM=2DF.分别延长FE与CA交于点G,则4CEF与4CEG均为等腰直角三角形.・・GE=EF=CE=2a,・・・CG=CF=2,2a,点E为FG的中点,又点M为AF的中点,•••ME=1AG;CG=CF=2,2a,CA=CD=、工a, .\AG=DF=.v2a,・・BM=ME=1X.v2a=1!a.2 2方法二：如图，延长BM交EF于点D.

•・・CB=a,CE=2a,，BE=CE—CB=2a—a=a. 〈△ABM/△FDM,「・BM=DM.又〈△BED是等腰直角三角形，「•△BEM是等腰直角三角形，.・.BM=ME=2LBE=2La2 2(3)方法一：如图，延长AB交CE于点口，连接DF.〈△ABC与4BCD为等腰直角三角形，「AB二BC二BD,AC=CD,・••点B为AD的中点.又点M为AF的中点，・・・BM=1DF.2分别延长FE与CB交于点6,连接AG,则4CEF与4CEG均为等腰直角三角形..・.CE=EF=EG,CF=CG,・,•点E为FG的中点.又点M为AF的中点，・・・ME=1AG.2在4ACG与4DCF中，AC=CD,ZACG=ZDCF=45°,CG=CF,・△ACG/ADCF(SAS),.\DF=AG.BM=ME.方法二：如图，延长BM交CF于点口，连接BE,DE.VZBCE=45°,AZACD=45°X2+45°=135°,・.NBAC+NACF=45°+135°=180°,•.AB//CF,・・・NBAM=NDFM.・・・M是AF的中点，,AM=FM.在AABM和AFDM中，NBAM=NDFM,AM=FM,ZAMB=ZFMD,/.△ABM^AFDM(ASA),,AB=DF,BM=DM,'BC=DF.在ABCE和ADFE中，BC=DF,ZBCE=ZDFE=45°,CE=FE,•△BCE丝△DFE(SAS),,BE=DE,ZBEC=ZDEF.\ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEF+ZCED=ZCEF=90°,••△BDE是等腰直角三角形.又・・・BM=DM,BM=ME=1BD,即BM=ME.22.解析(1)结论：FD=FC,CF±DF.理由：:DE，AB,・・.NADE=90°,・.・F是AE的中点，.・AF=FE,又NACB=90°,,DF=AF二EF=CF,/.ZFAD=ZFDA,ZFAC=ZFCA,/.ZDFE=ZFDA+ZFAD=2ZFAD,/.ZEFC=ZFAC+ZFCA=2ZFAC.TCA=CB,./.BAC=45°,/.zDFC=ZEFD+ZEFC=2(ZFAD+ZFAC)=90°,ADF±FC.(2)结论不变.理由如下：方法一：如图，延长AC到点M,使得CM=CA,延长ED到点N,使得DN=DE,连接BN,BM,EM,AN,延长ME交AN于点H,交AB于O.VBCXAM,AC=CM,,BA=BM.同理BE=BN.易知NABM=NEBN=90°,/.ZNBA=ZEBM,A△ABN^^MBE,/.AN=EM,ZBAN=ZBME.

MVAF=FE,AC=CM,.\CF=1EM,FC〃EM.2同理，FD=1AN,FD〃AN,・・・FD=FC.2,ZZBME+ZBGM=90°，/BOM=ZAOH,・・NBAN+NA0H=90°,.\ZAHG=90°,.\AN±MH,AFD±FC.方法二：如图，延长CF到点M,使得FM=CF,连接EM,CD,CE,DM,AM,延长ME交BC于点H.Nf・・F为AE的中点，・・5尸=£^又FM=CF,•・四边形MECA是平行四边形，,ME=人。又AC=BC,.\ME=BC..・ZDBC=45°+a,ZBEH=90°—a,・・・ZDEM=180°—ZDEB—ZBEH=180°—45°—(90°—a)=45°+a,・,ZDBC=ZDEM.

在ABDC和AEDM中，BD=ED,ZDBC=ZDEM,BC=EM,.••△BDC/△EDM(SAS)..\DM=DC,ZBDC=ZEDM,.\ZMDC=ZMDE+ZEDC=ZBDC+ZEDC=ZBDE=90°,.,•△CDM是等腰直角三角形，.\FD=FC,FD±FC.(3)如图，当点E落在边AB上时，BF的长最大，最大值为3,2.4如图，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，最小值为、立.综上所述，、巧WBFW3、.-2。直击中考1.解析(1);点P和点Q分别为CB,BO的中点，・・PQ为4BOC的中位线，・・・PQ=1CO,PQ〃CO.2・•四边形ABCD是正方形，.\CO=BO,CO±BO.・・PQ=1BO,PQ±BO.2(2)NQB是等腰直角三角形.