高三数学第一轮复习-平面向量的数量积课件-新人教B版

学案3平面向量的数量积考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3考点4名师伴你行SANPINBOOK返回目录

考纲解读

平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.名师伴你行SANPINBOOK考向预测

这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.返回目录

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1.平面向量的数量积的概念（1）已知两个非零向量a与b，我们把数量

叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=

，其中θ是a与b的夹角，

叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.规定：零向量与任一向量的数量积都为0.|a||b|cosθ|a||b|cosθ|a|cosθ(|b|·cosθ)名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与

上的投影|b|cosθ的乘积.2.平面向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e=e·a=

;(2)a⊥ba·b=0且a·b=0a⊥b;(3)a·a=|a|2或

;(4)cos<a,b>=

;(5)|a·b|≤|a||b|.b在a方向|a|cos<a,e>名师伴你行SANPINBOOK返回目录

3.平面向量数量积的运算律（1）交换律：

；（2）分配律：

；（3）数乘向量结合律：

.4.向量的长度、距离和夹角公式(1)设a=(a1,a2),则|a|=

.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|=

.(3)设a=(a1,b1),b=(a2,b2),则cos<a,b>=a·b=b·a(a+b)·c=a·c+b·c(λμ)·a=λ(μa)名师伴你行SANPINBOOK返回目录

5.平面向量数量积的坐标表示（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=

.（2）若a=(x,y)，则|a|2=a·a=

,|a|=

.（3）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥b

.x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2x2+y2名师伴你行SANPINBOOK已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=

.【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.考点1数量积的计算返回目录

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【解析】|a-b|=返回目录

名师伴你行SANPINBOOK求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为θ,θ∈［0°,180°］,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ,若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.返回目录

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【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–sin),∵x∈[],∴cosx>0,∴|a+b|=2cosx.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是

.【分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.考点2利用向量解决垂直问题【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-|a|2-a·c=0,∴a·c=-|a|2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,∴|b|2+|c|2=|a|2-2b·c=3,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.返回目录

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垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数).返回目录

名师伴你行SANPINBOOK(1)证明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),|ka+b|=,|a-kb|=.∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0<α<β<π,∴β-α=.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.【分析】(1)由(a-b)和(a+b)的数量积可得出|a|,|b|的关系.(2)计算a-b和a+b的模.考点3利用向量解决夹角问题返回目录

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【解析】(1)∵(a-b)·(a+b)=,∴|a|2-|b|2=,又∵|a|=1,∴|b|=.设a与b的夹角为θ,则cosθ=,又∵θ∈［0,π］,∴θ=.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,∴|a-b|=.(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,∴|a+b|=，设a-b与a+b的夹角为α,则cosα=.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK公式cosθ=可求a,b的夹角及夹角取值的范围，应用时，要注意y=cosx在x∈［0,π］上的单调性.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的λ的取值范围.由|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,得a·b=|a||b|cos45°=×1×=1,∴(2a+λb)·(λa-3b)=2λa2-6a·b+λ2a·b-3λb2=λ2+λ-6.设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ,则且cosθ≠1,返回目录

名师伴你行SANPINBOOK由(2a+λb)·(λa-3b)>0得λ2+λ-6>0,∴λ>2或λ<-3.假设cosθ=1,则2a+λb=k(λa-3b)(k>0),2=kλλ=-3k,故使向量2a+λb和λa-3b夹角为0的λ不存在.∴当λ>2或λ<-3时,向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角.解得k2=-.∴返回目录

名师伴你行SANPINBOOK已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos()的值.【分析】从向量的模入手，求出θ满足的条件.考点4以向量为载体的综合问题返回目录

名师伴你行SANPINBOOK【解析】解法一：由题意知m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),∴|m+n|==由已知|m+n|=,得cosθ+=.又∵cos(θ+)=2cos2(+)-1,∴cos2()=.∵π<θ<2π,∴<<.∴cos()<0.∴cos()=-.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2m·n+n2=|m|2+|n|2+2m·n+2［cosθ(-sinθ)+sinθcosθ］=4+2(cosθ-sinθ)=4〔1+cos(θ+)〕=8cos2().由已知|m+n|=,得cos︳︳=.∵π<θ<2π,∴<<.∴cos()<0.∴cos()=-.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的长度的最大值;(2)设α=,且a⊥(b+c)，求cosβ的值.返回目录

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【解析】(1)解法一:由已知得b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|max=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK解法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2,当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.(2)解法一:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK由α=,得cos(-β)=cos,即β-=2kπ±(k∈Z),∴β=2kπ+或β=2kπ,k∈Z,于是cosβ=0或cosβ=1.解法二：若α=,则a=(,).又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0),得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=cosβ+sinβ-.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cos