相似三角形性质与判定复习

..相似三角形复习[知识要点]1、相似三角形的定义三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似,一般说来必须具备下列六种图形之一：2.两个角对应相等的两个三角形__________．3.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4.三边对应成比例的两个三角形___________．性质：判定：相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时,这两个三角形不仅形状相同,而且大小也相同,这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。相似三角形的判定：①两角对应相等,两三角形相似。②两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似。③三边对应成比例,两三角形相似。相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。②相似三角形的对应线段〔边、高、中线、角平分线成比例。③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。[典型例题]1、如图在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．〔1填空：∠ABC=______,BC=_______．〔2判定△ABC与△DEF是否相似？2、如图所示,D、E两点分别在△ABC两条边上,且DE与BC不平行,请填上一个你认为适合的条件_________,使得△ADE∽△ABC．并证明3、如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE=DF,∠EDF=∠A．ADBECF〔1求证：．<2>证明：ADBECF4、已知,如图,是斜边上的中线,交于,交的延长线于,说明：⑴∽；⑵．5、已知：如图,□ABCD中E为AD的中点,AF：AB=1：6,EF与AC交于M。求：AM：AC。[随堂训练]1.如图,若=,则△AEF∽△ABC,理由是.2.在△ABC与△DEF中,已知AB=3,BC=2,DE=6,EF=4,再补充条件∠=∠,就可以判定△ABC∽△DEF.3.如图,AD=6,AE=8,EC=4,则当BD=时,△ADE∽△ACB.4.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且,若DE=4㎝,则BC=㎝.5.D是△ABC边AB上一点,要使△ACD∽△ABC,则还须具备的条件是〔AA.AC：CD=AB：BCB.CD：AD=BC：ACC.CD2=AD·DBD.AC2=AD·ABAFBFBA第1题CE第3题BDEAC第4题BDEACDD第五题BC第五题BC6.判断题：〔1相似三角形的对应角相等< >〔2相似三角形的高的比等于相似比< >〔3相似三角形的对应角平分线的比等于相似比< >〔4△ABC和△A1B1C1的中线AD：A1D1=k,则AB:A1B1=k< >7.已知：如图,在中,∥,分别与、相交于、,．若,则_________．8.下列判断正确的是〔两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等7、9图C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似7、9图9、如图△ABC中,DE∥BC,AE=1,AC=2,则S△ADE：S△ABC=〔A、1：2 B、1：3C、1：4 D、1：9如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列条件：〔1∠B＋∠DAC＝90°；〔2∠B＝∠DAC；〔3＝；〔4AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有〔A、3个B、2个C、1个D、0个题10题11题1211．如图,将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,则下列结论中错误的是〔A、AE⊥AFB、EF︰AF＝︰1C、AF2＝FH·FED、FB︰FC＝HB︰EC12．如图,在矩形ABCD中,点E是AD上任意一点,则有〔A、△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周B、△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积C、△ABE∽△DECD、△ABE∽△EBC13．∽,则下列各式成立的是〔A、B、C、 D、14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。其中两个图形一定相似的是<>A．四组B．三组C．两组D．一组二、填空题1．已知,在△ABC中,AB＝AC＝27,D在AC上,且BD＝BC＝18,DE∥BC交AB于E,则DE＝_______．2．如图,□ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF＝FD,EF交AC于G,则AG︰AC＝______．题2题33．如图,已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,要使△ACP∽△ABC,只需添加条件______〔只要写出一种合适的条件．4．如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC,EF∥BC,AB＝15,AF＝4,则DE的长等于________．题4题55．如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD＝8,BC＝10,则梯形ABCD面积是_________．两个相似三角形对应高的比为1∶,则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；7．在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中,∠A=∠A′=60°,若AB∶A′B′=1∶,则BD∶A′C′=________．三、解答题1、如图,在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,若S△CAD=3S△ABD,求AB∶AC2、如图,ΔABC中,BD是角平分线,过D作DE∥AB交BC于点E,AB=5cm,BE=3cm,求EC的长.3.如图,AO⊥OD,点B、C在OD上,且OA=OB=BC=CD,求证：△ABC∽△DBA。AAOBCD4.梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为AB、CD上的一点,且梯形AEFD∽梯形EBCF,若AD=8,BC=18,试求AE：EB的值。AABCDEF5．已知在△ABC中,△ABC∽ADE,DE∥BC,如果,AE=15,求AC和EC的长。相似三角形提高练习一、选择题如图,在中,,,点为的中点,于点,则等于〔A． B． C． D．如图,中,于一定能确定为直角三角形的条件的个数是〔①②③④A．1 B．2 C．3 D．43.在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为<>A．9.5 B．10.5C．11 D．15.5`12 34.如图,在长为8cm、宽为4cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形〔图中阴影部分与原矩形相似,则留下矩形的面积是〔A.B.C.D.5.如图,〔A． B．C．D．6.一张等腰三角形纸片,底边长,底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是<>A．第4张B．第5张C.第6张D．第7张7.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30㎝,AB=50㎝,依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a1、a2、a3…,若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是<>A.24B.25C.26D.274 5 6 7 8.如图,在中,的垂直平分线交的延长线于点,则的长为〔A．B．C． D．29.如图所示,已知点分别是中边的中点,相交于点,,则的长为〔A．4B．4.5C．5D．6AAFECB89二、填空题1、如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3〔图中阴影部分的面积分别是4,9和49．则△ABC的面积是．2、如图,中,直线交于点交于点交于点若则．3、将三角形纸片〔△ABC按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF．已知AB＝AC＝3,BC＝4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是．1011 12三、解答题1、已知：P为平行四边形ABCD对角线AC上一点,过点P的直线与AD、BC,CD的延长线,AB的延长线分别相交于点E、F、G、H求证：2、已知：在三角形ABC中,D为AB中点,E为AC上一点,且=2,BE、CD相交于点F,求3、已知：在三角形ABC中,AD=AB,延长BC到F,使CF=BC,连接FD交AC于点E,求证：〔1DE=EF,〔2AE=2CE4、如图,DE//BC,=1,=1求：5、PD//AB交AC于D,联结PA,设BP=x,=y求：〔1y与x之间的函数关系式并写出x的范围；〔2当x为何值时,y=?6、如图,D是等边三角形ABC的BC上的一个动点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F是垂足〔1求证：△BDE～△CDE；〔2求证：=；〔3设AB=1,BD=x,求△BDF的面积y关于x的函数解析式7、已知：在正△ABC中,点D、E分别是AB、BC延长线上的点,且BD=CE,直线CD与AE相交于点F求证：<1>DC=AE；<2>8、已知：直角梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=2CD,对角线BD⊥AC,垂足为F,过点F作EF//AB交AD于E,CF=4〔1求证：△DAB为等腰三角形〔2求AE的长9、如图,在等腰梯形中,,,,．动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动,动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．两点同时出发,当点到达点时,