五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级)

..排列组合排列组合知识结构知识结构排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题．在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地,从个不同的元素中取出<>个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列；如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出<>个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数,我们把它记做．根据排列的定义,做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有种方法；步骤：从剩下的<>个元素中任取一个元素排在第二位,有<>种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置,有<种>方法；由乘法原理,从个不同元素中取出个元素的排列数是,即,这里,,且等号右边从开始,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．排列数一般地,对于的情况,排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列,叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始,后面每一个因数比前一个因数小,一直乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,其中．在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．组合问题日常生活中有很多"分组"问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种"分组"问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地,从个不同元素中取出个<>元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素<>的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地,求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组,共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列,共有种排法．根据乘法原理,得到．因此,组合数．这个公式就是组合数公式．组合数的重要性质一般地,组合数有下面的重要性质：<>这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出<>个元素组成一组的所有分组方法．显然,从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的<>个元素的分组方法．例如,从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的,即．规定,．插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数,使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体,不能有没分到物体的组出现．在有些题目中,已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符,对此应当对已知条件进行适当的变形,使得它与一般的要求相符,再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：个人分个东西,要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排,在其中的个空隙中放上个插板,所以分法的数目为．个人分个东西,要求每个人至少有个．这个时候,我们先发给每个人个,还剩下个东西,这个时候,我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．个人分个东西,允许有人没有分到．这个时候,我们不妨先借来个东西,每个人多发1个,这样就和类型⑴一样了,不过这时候物品总数变成了个,因此分法的数目为．例题精讲例题精讲一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作"客",能重复的元素看作"店",则通过"住店法"可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数[例1]〔1有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法？〔2有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果？〔3将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法？[解析]：〔1〔2〔3[例2]把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？[解析]：完成此事共分6步,第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有种不同方案.[例3]8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有〔A、B、C、D、[解析]：冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家"店",3项冠军看作3个"客",他们都可能住进任意一家"店",每个"客"有8种可能,因此共有种不同的结果。所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.[例1]五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有[解析]：把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种[例2]〔2009XX卷理3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是〔A.360B.188C.216D.96[解析]：间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,种其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离〔即不相邻问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.[例1]七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是[解析]：除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种[例2]书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法〔具体数字作答[解析]：[例3]高三〔一班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是[解析]：不同排法的种数为＝3600[例4]某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是[解析]：依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有＝20种不同排法。[例5]某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与"抗冰救灾"有关的节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会的节目单的编排总数为种.[解析]：[例6].马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种？[解析]：把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.[例7]3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种？[解析]：解法1、先将3个人〔各带一把椅子进行全排列有A,○*○*○*○,在四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A种,所以每个人左右两边都空位的排法有=24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A=24种.[例8]停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种？[解析]：先排好8辆车有A种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个,将空车位置插入有C种方法,所以共有CA种方法.注：题中*表示元素,○表示空.四．元素分析法〔位置分析法：某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素；再排其它的元素。[例1]20XXXX亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有〔高☆考♂资♀源€网☆A.36种B.12种C.18种D.48种[解析]：方法一：从后两项工作出发,采取位置分析法。方法二：分两类：若小张或小赵入选,则有选法；若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A.[例2]1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种？[解析]：老师在中间三个位置上选一个有种,4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.[例3]有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？[解析]法一：法二：法三：五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。高☆考♂资♀源€网☆[例1]〔16个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是〔A、36种B、120种C、720种D、1440种〔2把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为〔A〔B〔C〔D〔38个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法？[解析]：〔1前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共种,选.☆〔2答案：C〔3看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种,其余5个元素任排5个位置上有种,故共有种排法.五．定序问题缩倍法〔等几率法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.[例1].五人并排站成一排,如果必须站在的右边〔可以不相邻那么不同的排法种数是〔☆[解析]：在的右边与在的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种[例2]书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法[解析]：法一：法二：[例3]将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C在后的原则〔A、B、C允许不相邻,有多少种不同的排法？[解析]：法一：法二：六．标号排位问题〔不配对问题把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.[例1]将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有〔A、6种B、9种C、11种D、23种☆[解析]：先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法；第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选.[例2]编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是〔A10种B20种C30种D60种答案：B[例3]：同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有<>〔A6种〔B9种〔C11种〔D23种[解析]：设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式；第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类：〔1乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,〔2乙取c或d〔2种方式,不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理,一共有种分配方式。故选〔B[例4]：五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有<>〔A60种〔B44种〔C36种〔D24种答案：B六．不同元素的分配问题〔先分堆再分配：注意平均分堆的算法[例1]有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网☆分成1本、2本、3本三组；分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本；分成每组都是2本的三个组；分给甲、乙、丙三人,每个人2本；分给5人每人至少1本。[解析]：〔1〔2〔3〔4〔5[例2]将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种〔用数字作答．[解析]：第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有所以满足条件得分配的方案有说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.[例3]5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有〔A150种 <B>180种 <C>200种 <D>280种[解析]：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有＝60种,若是1,1,3,则有＝90种,所以共有150种,选A[例4]将9个〔含甲、乙平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为〔A．70 B．140 C．280 D．840答案：〔A[例5]将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习,每班至少１名,最多２名,则不同的分配方案有〔〔A３０种〔B９０种〔C１８０种〔D２７０种[解析]：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有种方法,再将3组分到3个班,共有种不同的分配方案,选B.[例6]某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有〔种☆A．16种 B．36种 C．42种 D．60种[解析]：按条件项目可分配为与的结构,∴故选D；[例7]〔15本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为〔A、480种B、240种C、120种D、96种答案：.〔212名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有多少种？答案：[例8]有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是〔A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种[解析]：先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有种,选.[例9].某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到XX,乙不到XX,共有多少种不同派遣方案？[解析]：因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况：①若甲乙都不参加,则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有方法,所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另两个城市有种,共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种[例10]四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种？[解析]：先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有种,再排：在四个盒中每次排3个有种,故共有种.七．相同元素的分配问题隔板法：[例1]：把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法？[解析]：向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有种。[例2]10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案？[解析]：10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为种变式1：7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有种变式2：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,为节约用电,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有种[例3]：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？[解析]：1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。3、由分步计数原理可得=720种八．多面手问题〔分类法---选定标准[例1]：有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以开出几张？变式：.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?答案：九．走楼梯问题〔分类法与插空法相结合[例1]小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？[解析]：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：1有0次走3级台阶〔即全走2级,那么有1种走法；2有1次走三级台阶。〔不可能完成任务；3有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶：〔a两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有种〔b两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有种走法。4有3次〔不可能5有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中,同〔3考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；6有5次〔不可能故总共有：1+6+15+15=37种。变式：欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有<>〔A34种〔B55种〔C89种〔D144种答案：〔C十．排数问题〔注意数字"0"[例1]〔1由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有〔A、210种B、300种C、464种D、600种[解析]：按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有个,个,合并总计300个,选.〔2从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法〔不计顺序有多少种？[解析]：将分成四个不相交的子集,能被4整除的数集；能被4除余1的数集,能被4除余2的数集,能被4除余3的数集,易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：〔1可根据共用了多少种颜色分类讨论;〔2根据相对区域是否同色分类讨论;〔3将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。[例1]将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______.[解析一]满足题设条件的染色至少要用三种颜色。<1>若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点,此时只能A与C、B与D分别同色,故有种方法。<2>若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有种方法。<3>若恰用五种颜色染色,有种染色法综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。[答案]420.[解析二]设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论：C与A同色时〔此时C对颜色的选取方法唯一,D应与A〔C、S不同色,有3种选择；C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染色有种染色方法。由乘法原理,总的染色方法是[解析三]可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图,对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法？总体实施分步完成,可分为四大步:①给S涂色有5种方法;②给A涂色有4种方法<与S不同色>;③给B涂色有3种方法<与A,S不同色>;④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法;当C与A同色时,C有一种涂色方法<与A同色>,D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法[规律小结]涂色问题的常用方法有：〔1可根据共用了多少种颜色分类讨论;〔2根据相对区域是否同色分类讨论;〔3将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。十二．"至多""至少"问题用间接法或分类:十三．几何中的排列组合问题:[例1]已知直线〔是非零常数与圆有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有条[解析]：圆上的整点有：12个其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有,其中平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60答案:604男2女6个人站成一排合影留念,要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列,其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？6名小朋友站成一排,若两人必须相邻,一共有多少种不同的站法？若两人不能相邻,一共有多少种不同的站法？书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序？8人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法？a,b,c,d,e五个人排成一排,a与b不相邻,共有多少种不同的排法？一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：⑴当个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序？⑵当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序？由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须