中国数学史-中国文明史的重要篇章

第一讲中国数学史一一中国文明史的重要篇章1.1学习和研究数学史的意义数学产生于人类的生产实践，数学发明发现的历史揭示了人类智慧的演变和发展过程，是人类认识自然改造自然的真实写照。然而，今天的数学教科书和数学专业书籍，未能反应出数学发展的历史，反应出人类在发现数学知识过程中所走过的艰难曲折的道路；特别是没能揭示出人类在发现数学知识时数学思想和数学方法的形成过程，而这些正是我们今天学习数学知识乃至将来发展数学科学所必需的。由此说明我们今天学习和研究数学史的重要意义。1、通过数学史的学习和研究，认识数学发展的规律，吸收数学发展过程中的经验教训，创造条件，促使数学科学的进步。数学史告诉我们，数学的发展不是一帆风顺的，它经历了兴盛、衰落、迅速、迟缓的曲折过程，通过历史的回忆，揭示数学的发展规律，发挥历史的借鉴作用，扬长避短，促进数学的迅速发展。2、通过数学史的学习和研究，能更深刻的认识数学的本质，理解数学的内容和方法，特别是理解重大的数学思想的形成过程，并从中学习创造性的数学思维，探索数学研究的道路和方法。历史的数学完善过程也是人类的一个认识的完善过程，学生在教师指导下学习不是否定了这一过程而是精练、简化了这一过程，教学中适当地让学生了解一些重要概念，理解概念的诞生背景对培养学生发现概念，理解概念的能力，学好基础知识甚至培养学生的辨证主义观点都是大有裨益的。3、有句俗话说：“不知伟人，就不会成为伟人”。通过数学史的学习和研究，了解历史上的杰出数学家的事迹。学习他们热爱科学、勇于创新的精神和正确的科研态度与科研方法，提高我们的数学素养和不怕挫折、敢于创造的勇气。数学史表明，数学概念和数学理论是通过一系列矛盾，汇聚不同方面的成果，点滴积累而成的。数学家不是万能的。他们在取得的一项重大成果前，往往要经历艰苦漫长的道路，有成功，也有失败，有迷雾中摸索，也有成果在望前的碰壁。如牛顿、莱布尼兹、欧拉等开初都曾嘲笑和讽刺过“虚数”，都曾被“无穷小”愚弄过；罗巴切夫斯基在研究非欧几何时遭到同行的挖苦，康托高集合论和超限基数、序数理论时，受到同行权威的攻击达十多年之久，使他一度精神崩溃，但他们对科学都有惊人的毅力，充分发挥了他们的聪明才智，对数学作出了巨大的贡献，成为世界著名数学家。1.2数学史的研究对象数学史是研究数学的发生发展过程及其规律的一门学科。他的主要研究对象是：数学史的年代；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评等。也可以说：一部数学史应是数学思想的发展史，重大数学成果的博览史，数学大师的贡献史，数学发展与社会生产、科技、政治、军事、文化等的关系史，同时也是人类对自然科学的认识史和反映数学内部矛盾的斗争史。§1.3中国古代文明概述中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝（公元前2033?——公元前1562?），共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年？一1066年？，共历十七世三十^一王）和西周（前1027年?一前771年，共历约二百五十七年，传十一世、十二王）。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期——春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期，中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国，出现了中国历史上第一个封建帝制国家——秦朝（前221年一前206年），在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展，经历了统一强盛的西汉（公元前206年一公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年一公元220年）、战乱频繁与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年一公元316年）与东晋王朝（公元317年一公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年一公元589年）与北朝（公元386年一公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581-618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年一907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝一一明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。第二讲古代数学的萌芽期2.1数的萌芽大约在一百万年前（也可能在两三百万年前），地球上出现了最早的人类。原始的人类和大自然艰难地搏斗着。在长期的劳动中，他们不断进步，慢慢地产生了“数”的思想。他们找到了食物，会想到这是“有”；找不到食物，就会想到“无”。要是找到大量的食物，他们认为是“多”；得到的食物不够吃，他们认为这是“少”。有、无和多、少，是我们祖先最早概括出来的“数”的思想。直到两万五千年前，人们说“用你的枪头换我的鹿”的时候，还只能用一个指头表示一只鹿，三个指头表示三个枪头。这种一个指头表示一件东西、三个指头表示三件东西的原始计数法，就是他们掌握的全部算术知识了。在那以后的几千年里，他们一直把任何大于三的数量理解为“一群”，或者“一堆”。那时候没有城镇和村庄，人们过着群居穴处的生活：晚上，他们挤在深深的洞窟里，藏在茂密的林木中；白天，成群结队地到处寻找可以猎取的鸟兽，采集能够充饥的浆果、根茎和谷粒。这种生活是毫无保障的，常常是饥一顿、饱一顿。在他们的财物中，除了御寒的兽皮、狩猎的武器、盛水的东西，也许还有熊牙或贝壳做的项链。他们的生活这么简单，当然不需要更多的数学知识，就是那种简单的手指计数，也用得很少。识别方向和区分季节狩猎和采集的生活，更需要识别方向和区分季节的知识。有了区分季节的知识，就可以知道远处树林里的果实什么时候成熟；有了识别方向的知识，就能够确定怎么去、又怎么回来。这些知识，是在漫长的年代里，不断积累而丰富起来的。在一个熟悉的地区漫游生活，山脉、湖泊、河流就能当作指示方向的路标。可是，原始人很难在一个地方长期定居。树林里的浆果和块茎，过一段时间就被吃光了；飞禽和走兽，为了躲避人们经常的袭击，也逃到别的地方去了；特别是发生干旱的时候，人们不得不赶快离开熟悉的地方，去寻找新的水源。在完全陌生的环境里，指示方向的只有日月和星辰了。太阳是最方便的路标。海边部落的人们发现：太阳每天早上从波涛中升起，晚上落到山岗的后面去。他们就记住：初升的红日指示着大海的方向；正在下落的夕阳指示着山岗的方向。晚上，用星辰来确定方向很可靠。我们不妨想象一下那时候的情景：夜幕降临，人们在洞口或者土室、窝棚前点起一堆堆篝火，大家围坐在篝火旁边。他们抬头凝视那神奇的天空一一繁星点点，深不可测。经过了不知多少个夜晚的观察，他们发现：一些星群组成的简单形状，每天晚上都能辨认出来，而且总是在天空的一定位置上，沿着一定的方向，缓慢地移动着。在北边的天空上，有一组最引人注目的星 ：泰群，这就是我们现在说的北斗七星。北斗七星属于大熊星座，把这个星 座比较亮的星合起来看，有点像一只大熊。斗头上的四颗像是大熊身 体的后部，斗柄的三颗像是大熊的尾巴。离北斗七星不太远的地方，还有一颗相当巾 亮的星，那就是有名的北极星。它年年月月，总是出现在一定的地方，, ♦■步几百年也很少变化，好像钉在那里不动似的。天长日久，我们的祖先就 京丁懂得了北极星是一个非常理想的路标！他们在长途跋涉中需要确定方向的时候，就等到夜幕降临，在繁星闪烁的天空，先找到北斗星，把斗顶两颗连成一条直线，再朝着斗口的方向，把这条直线延长五倍的位置，在那个位置上就看到一颗比较亮的星，这就是北极星。找到了北极星，其他的方向就很容易确定了。时间的概念日月星辰不只是人类最早的路标，还是人类最早的时钟。生活在热带北部的原始狩猎者，早晨总是看到在阳光下，东西的影子长长地向西指着；中午太阳升到最高点的时候，影子就很短，甚至看不到了；当太阳向西下落的时候，影子又长了，并且不断地向东面伸长。这样，由影子的长短变化，他们就能够大体估量出白天的时间了。

夜晚，他们发现圆月在空中最高点的时候，恰好是半夜。经过长久的观察，他们还可以根据一些星群的位置变化，判断夜间的时间。要知道比一天更长的时间，想来我们的祖先一定是依靠月亮。一夜接一夜，他们看到月亮慢慢地由圆到缺，最后全看不见了。过了几个漆黑的夜晚，月牙又重新出现，并且慢侵地又变成圆月。当圆月升起的时候，一个部落来到一片树林边。林子的枝头上挂满了果实，可是还没有成熟。部落中有经验的长者说话了：现在别摘这些果子，等下次月亮再圆的时候咱们回来，这些果子就好吃啦！于是，大家又赶到更远的地方去寻找食物。他们必须按时回来摘取成熟的果实，这就需要计算天数了。对原始采集者来说，数天数是一个大难题。可不是嘛！时间一去不复返，数天数不能象数死鹿那样，把它们摆成一排，扳起指头去数。开始，他们很可能是在树上或者在棍棒和石头上刻上一道痕，表示过去了一天，刻上两道痕，表示过去了两天。久而久之，他们发现，两次满月之间总是相隔三十天，并且用一道大点儿的刻痕来表示一次满月。月复一月，年复一年，他们逐渐察觉到满月的次数和气候的变化有关系。他们惊奇地发现：春、夏、秋、冬四季往复一次，恰好是十二次满月的天数一一三百六十天。于是第一个包括四季的月历产生了。了数数和观察图形的数学根据日月星辰的位置和物猎者和采集者进步得多。多只能说“时间还早啦！”上的影子，就能说出“上午知识的增长和工具的改进，人类逐渐开创了崭新的在测定时间方面，埃及人也是影来确定的。不过，他们比原始狩早晨，原始人看到长长的物影，顶埃及人有日规，看看有刻度的木条第二个时辰快到了！”了数数和观察图形的数学根据日月星辰的位置和物猎者和采集者进步得多。多只能说“时间还早啦！”上的影子，就能说出“上午知识的增长和工具的改进，人类逐渐开创了崭新的我们的祖先，就是这样开始有知识。记数一万多年前，随着经验的丰富、生活，这就是学会了种植和饲养！在回到过去居住过的地方的时候，我们的祖先常常发现，上次被他们无意撒落的谷粒，现在已经发芽生长；被遗弃的小动物也长大了。慢慢地，他们学会了种植植物，饲养动物。从此，他们不再四处飘流，靠采摘野菜和浆果生活，而是播种和收获自己的大麦、小麦和谷子，还有豌豆、扁豆和胡萝卜。在忠实的伙伴一一狗的帮助下，他们驯养着羊、猪和牛。原始的采集者和狩猎者，开始变成了农民和牧民！定居生活以后，人们的财物越来越多，这就需要经常记录和计算耕具、土地、篱笆、庄稼和畜群了。最早的记录方法，就是前面说到的，用一个记号表示一件东西、两个记号表示两件东西，叫做“签法”。在秘鲁，印加人用在绳子上打结来记下收获谷物的捆数。在我国，也有结绳记数的古老传说。直到今天，在欧洲、亚洲和非洲的部分地区，还有一些牧羊人用在棍子上刻痕的办法，来计算自己的羊群哩！第三讲古代数学初期数字的表示原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。这说明到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记数了。到了我国第二个奴隶制王朝商代（公元前16——公元前12世纪），甲骨文已发展成熟。河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文考古证明，我国当时已采用了“十进位值制记数法”，这是对世界数学最古老、最伟大的贡献（它比埃及的十进制先进，比巴比伦的六十进位制更先进）。大多数古代数字系统都用十做基数。我们猜测，人们在开始的时候大概都是用十个手指来数数的。其实，“十”这个数并没有什么奇特的地方，用别的数做基数也同样很方便。美洲中部的马雅人以二十为基数， 想来他们在开始的时候，很可能是用手指和脚趾一起来计数的。粒.. 阳据《易.系辞》记载：「上古结绳而IHnrnr 契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多' 5 记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有 13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制的记数法，出现出1E数字 坨最大的数字为三万。生人粘更且

产及软和并我们今天知道的最早的书写数字， Y冲律mW”心生人粘更且

产及软和并在五千年前的埃及和美索不达米亚。埃1 」-二==「、十"2;‘把数字写在一种纸草上，美索不达米亚的巴比伦人把数字写在-二三专价i一土上，他们都是用单划表示个位数，用不同的记号表示十位数:二,高位的数。三千年后，罗马人照样采用单划组成一到四的数字，"."―—十一"至今还有人在用哩！在我国殷代的甲骨文字中，就有很多是数字。殷代人已 经能用成文数字记录十万以内的自然数。右图，是殷甲骨文、周秦金文、汉朝时候用的数字和现代汉语中的数字，我们从中可以看出它们之间的演变情况。算筹在春秋、战国时，我国已经广泛采用“筹”作为计算工具；筹，即小竹棍或小木棍（也有用骨或金属材料制作的），这种计算方法称为筹算。用算筹记数，有纵、横两种方式：一二三四五六七八九纵式IIIIIIIlliHillTTTUT>纵式横式—=三三=表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法in-mi

则是：一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当），并以空位表示零（如314,可摆成；6708可摆成 ）。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。筹算一直在我国沿用了2000多年，直到十五世纪元代末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。商高定理在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理就是勾股定理，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（毕达哥拉斯商高是西周的大夫，我国古代数学家。涯经历至今难以确考。从周朝武王在位，可前五世纪的人，比商高晚出关于他的生卒年月及其生知商高大约是公元前12世术。说:“故禹之所以治天下者，弦五”，这句话的意思就是发现的。（Pythagoras）商高是西周的大夫，我国古代数学家。涯经历至今难以确考。从周朝武王在位，可前五世纪的人，比商高晚出关于他的生卒年月及其生知商高大约是公元前12世术。说:“故禹之所以治天下者，弦五”，这句话的意思就是发现的。纪的人。说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时关于勾股定理的发现，《周髀算经》上此数之所由生也。”“此数〃指的是〃勾三股四说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。其它重要成就在几何学方面《史记.夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念，著名的有：《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映了二进制的思想。了一批西汉初年，即吕后共千余支。经初步整理，书等多种古代珍贵的文背面的字迹辨认，这部竹有185支，10余根已残同之处，体例也是“问题了一批西汉初年，即吕后共千余支。经初步整理，书等多种古代珍贵的文背面的字迹辨认，这部竹有185支，10余根已残同之处，体例也是“问题第四讲古代数学体系的形成时期概述这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。如：《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》等。4.2《算数书》：1984年在湖北省江陵县张家山，出土至文帝初年（约公元前186年）的竹简，其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日献，还有一部数学著作，据写在一支竹简简算书的书名叫《算数书》。全书约有200多支竹简，其中完整的破。经研究，它和《九章算术》有许多相集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。全书总共约七千多字，有60多个小标题，如“方田”、“少广”、“金价”、“合分”、“约分”、“经分”、“分乘”、“相乘”、“增减分”、“贾盐”、“息钱”、“程未”等等，但未分章或卷。《算数书》是中国现已发现的最古的一部数学专著，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年，而且《九章算术》是传世抄本或刊书，《算数书》则是出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以，《算数书》引起了国内外学者的广泛关注，目前正在被深入研究之中。

《周髀算经》西汉末年（公元前一世纪）编纂的《周髀算经》是古人讨论“盖天说”宇宙论的书，是我国最古老的天文学著作。但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：⑴提出勾股定理的特例及普遍形式；⑵测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。“髀”的原意是股或股骨，这里意指长8尺用来测量太阳影子的表。这本书的内容记述了周代的问题，所以叫做《周髀》，它的成书时间大约在公元前100年（或稍晚一些）。其中第一章叙述了西周开国时候，周公同一个名叫商高的数学家的一段问答。商高在答话中提到了“勾三、股四、弦五”（即商高定理）。关于《周髀》有两点值得注意：一是用文字表示的复杂的分数计算；二是关于勾股定理和用勾股定理测量的记载，这些在世界上都是比较早的。4.4《九章算术》和修订而成的古代数学经纪）。《九章算术》的出现246个问题及其解法，分属盈不足、方程和勾股九章。及算法，如矩形、三角形、数算法，包括加减乘除法、和修订而成的古代数学经纪）。《九章算术》的出现246个问题及其解法，分属盈不足、方程和勾股九章。及算法，如矩形、三角形、数算法，包括加减乘除法、全书采用问题集的形式编写，共收集了于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、主要内容包括：第一章，「方田」：平面图形面积的量法圆、弧形、环形等的田地的求积公式，及分约分（将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分）、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。第二章，「粟米」：各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。第三章，「衰分」：比例分配问题。第四章，「少广」：多位数开平方，开立方的法则。第五章，「商功」：立体形体积的计算。第六章，「均输」：处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人们从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。第七章，「盈不足」：算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等都是一项令人惊奇的创造。第八章，「方程」：有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多元一次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。在世界数学史上都是最早的记载。第九章，「勾股」：专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。第五讲 古代数学稳步发展时期概述这一时期包括魏晋南北朝至隋唐，即公元221——907年。这正好是封建关系发展的历史阶段。农业生产有了显著的发展。水利事业、手工业及商业也都有较大的发展，因而与生产有密切的历法、数学等，都有了新的成就；最为杰出的数学家有赵爽、刘徽、祖冲之、祖暅、曾一行等。魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作。公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。隋唐时期是中国封建教育制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要的数学成果。公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。赵爽赵爽，三国时期东吴的数学家，是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一。对《周髀算经》做了详尽的注释。赵爽所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有一幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并严格证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题（包含勾股定理），他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。他的方法已体现了割补原理的重要思想。

赵爽还在《勾股圆方图注》中用几何方法推导出二次方程； 」（其中a>0,A>0）的求根公式： ■----二7赵爽在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了“重差术”的证明。（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。5.3刘徽的人，并用十进小数来魏人（现今山东人），是世界数学史上，也占有《海岛算经》，是我国最章算术注》中不仅对原推导，系统地阐述了中了他在多方面的创造性刘徽（生于公元250年左右），三国中国数学史上一个非常伟大的数学家，在杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和宝贵的数学遗产.的人，并用十进小数来魏人（现今山东人），是世界数学史上，也占有《海岛算经》，是我国最章算术注》中不仅对原推导，系统地阐述了中了他在多方面的创造性263年，刘徽注释《九章算术》，在《九书的方法、公式和定理进行一般的解释和国传统数学的理论体系与数学原理，显示的贡献.他是世界上最早提出十进小数概念表示无理数的立方根.在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法.在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法.他利用割圆术科学地求出了圆周率兀=3.14的结果.刘徽在割圆术中提出的〃割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣〃，这可视为中国古代极限观念的佳作，阐明了积分学上计算长度和面积的基础。为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》，发扬了古代勾股测量术----重差术。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观.他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人.刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然地位低下，但人格高尚.他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富.我国当代数学家吴文俊在《“九章算术”注释序》中指出：“《九章算术》的刘徽注是数学上的又一伟大成就。……从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该和欧几里得、阿基米德相提并论”《海岛算经》注的《九章算术注》（263）的形式。远的问题，首题测算海岛的一部测量术著作，亦为性和富有代表性，都在当注的《九章算术注》（263）的形式。远的问题，首题测算海岛的一部测量术著作，亦为性和富有代表性，都在当全书共9题，全是利用测量来计算高深广的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早地图学提供了数学基础。《海岛算经》中这些题目的创造性、复杂时为西方所瞩目.5.5祖冲之

祖冲之（429-500）,字文远，祖籍范阳郡遒县（今河北涞源县），南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械制造家。真值应该介于早一千多年。（欧洲直到和荷兰人安托尼兹历法史上著名的新历车、利用水力舂米磨面计时仪器漏壶、欹器等。立的“牟合方盖”计算出了计算球体体积的公在数学上，祖冲之推算出圆周率的3.1415926和3.1415927之间，比欧洲要十六世纪德国人鄂图真值应该介于早一千多年。（欧洲直到和荷兰人安托尼兹历法史上著名的新历车、利用水力舂米磨面计时仪器漏壶、欹器等。立的“牟合方盖”计算出了计算球体体积的公（a.anthonisz）才得出同样结果）在天文学方面，祖冲之创制了中国——《大明历》。在机械制造上，曾制造了铜铸指南的水碓磨、能日行百里的“千里船”和祖冲之和他的儿子祖暅抓住刘徽创体积方法的精髓，加以改进，成功地求式。这些成就都包含在他和他儿子合著的大作《缀术》之中。《缀术》是一部很有价值的科学著作，博大精深，连隋朝掌管天文和数学的官员都理解不了。到了唐朝，《缀术》被国立学校列为必读教材，要学4年，是学习期限最长的算书。日本和朝鲜都曾引进《缀术》。《缀术》一书到了北宋中期失传了，所以今天无法全面了解该书的内容，对于祖冲之是用什么方法求得最佳值始终是我国数学史上的一个迷。为了纪念祖冲之的功绩，人们将月球背面的一环形山命名为“祖冲之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之小行星”。祖眼祖暅（5世纪末〜6世纪初），数学家祖冲之的儿子，也称祖暅之，字景烁，生活在南齐和梁朝之间，祖暅之“少传家业，究极精微，亦有巧思入神入妙”。他继承家学，思维敏捷，博学多才，对数学与历法有很深的造诣。祖暅在刘徽工作的基础上与他父亲推导出球体体积的正确公式，并提出一个物体的体积可以用无穷小量求和的方法计算。即“幂势既同则积不容异”的体积原理，也就是说二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的原理。这就是等积原理，国外称之为“祖暅原理”。这个原理是含有极限及微积分思想的重要数学发现。欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利（bonaventuracavalieri）才提出同一定理另外，祖暅发展了二次与三次方程的解法。祖暅的儿子祖皓，仍然精通数学与历法，使祖氏的家学绵承三代光灿不衰。梁末侯景作乱，祖皓遇害，使这数学世家的蝉联继世不幸中断。曾一行地将数学应用于天文学，贡献，他就是唐代高僧一朝魏州昌乐（今河南濮阳好学，博览群书。青年时有成就，成为著名的学居显位。为沽名钓誉，到交，但张遂不愿与之为在我国数学史上，有一位数学家成功在修订历法、测量地球等方面做出杰出的行（原名张遂，公元673——727年），唐市南乐县）人。张遂自幼天资聪颖、刻苦代到长安拜师求学，研究天文和数学，很者。武则天当皇帝后，其侄子武三思身处拉拢文人名士以抬高自己，几次欲与结

伍，愤然离京，东去嵩山当了和尚，取名为一行，故称一行和尚。地将数学应用于天文学，贡献，他就是唐代高僧一朝魏州昌乐（今河南濮阳好学，博览群书。青年时有成就，成为著名的学居显位。为沽名钓誉，到交，但张遂不愿与之为公元712年，唐玄宗即位，得知一行和尚精通天文和数学，就把他召到京都长安，做了朝庭的天文学顾问。张遂以前，天文学家包括象张衡这样的伟大天文学家都认为恒星是不运动的，张遂用“浑天铜仪”、“黄道游仪”等仪器，重新测定了150多颗恒星的位置，从而推断出天体上的恒星是移动的。于是推翻了前人的恒星不运动的结论，张遂成了发现恒星运动的第一个中国人。英国天文学家哈雷（公元1656――1742）年也提出了恒星自己移动的观点，但比张遂的发现晚一千多年自汉代以来，历代天文学家都认为太阳在黄道上运行的速度是均匀不变的。张遂采用了不等间距二次内插法推算出每两个节气之间，黄经差相同，而时间距却不同。这种算法基本符合天文实际，在天文学上是一个巨大的进步。不仅如此，张遂的《大衍历》应用内插法中三次差来计算月行去支黄道的度数，还提出了月行黄道一周并不返回原处，要比原处退回一度多的科学结论。《大衍历》对中国天文学的影响是很大的，直到明末的历法家们都采用这种计算方法，并取得了好的效果。§5.8《孙子算经》约于公元四-五世纪成书的《孙子问题并作了解答，导致求解一次同余《张丘建算经》的「百鸡问题」引出组问题。在《孙子算经》中有一个千古名题，“今有物，不知其数。三、三数之剩七数之剩二。问物几何？”答曰：“二余式组问题。书中给出了这一问题的X2+21X3+15X2—105X2=23§5.8《孙子算经》约于公元四-五世纪成书的《孙子问题并作了解答，导致求解一次同余《张丘建算经》的「百鸡问题」引出组问题。在《孙子算经》中有一个千古名题，“今有物，不知其数。三、三数之剩七数之剩二。问物几何？”答曰：“二余式组问题。书中给出了这一问题的X2+21X3+15X2—105X2=23后人为它编了一个口诀：“三人十一，七子团圆正半月，减百零五便使之容易推广到更一股的情形，即孙二1852年英国传教士伟烈亚力著文二算经》给出「物不知数」组问题在中国的滥畅；三个未知数的不定方程卷下“物不知数”问：二；五、五数之剩三；七、十三”，这是一个一次同解法（“术日"）：N=70同行七十稀，五树梅花二得知”。解的这种构设性“剩余定理”。了欧洲学者的重视。在西方数学史著作中，一直把孙子的剩余定理称为“中国剩余定理”。§5.9《算经十书》656年国子监设立算学馆（相当于现在大学中的数学系），设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》。李淳风等人选定数学课本时，认为《周髀算经》是一个最宝贵的数学遗产，将它作为“十部算经”的第一种书，并给它一个《周髀算经》的名称，第二部算经便是《九章算术》。其它八部算经是：《海岛算经》（公元3世纪，刘徽著）；《孙子算经》（约公元4〜5世纪）；《夏候阳算经》（公元5世纪，夏候

阳著，用乘除快算方法解日常生活中的应用题）；《张邱建算经》（公元5世纪，张邱建著）;《缀术》（公元5世纪，祖冲之著）；《五曹算经》、《五经算经》（公元6世纪，均为甄鸾著）；《缉古算经》（公元7世纪，王孝通著，主要是通过土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际问题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的少广、勾股章中开方理论。李淳风等人奉皇帝令于656年完成校注和编定“算经十书”。后来《缀术》失传，用2世纪徐岳著、6世纪甄鸾注的《数术记遗》代替。作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。第六讲古代数学兴盛时期这一时期，包括宋代至元代末年之间，即公元900——1368年唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。宋元时代，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》（11世纪中叶），刘益的《议古根源》（12世纪中叶），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274-1275）,朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等等。宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。IM泰①

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条①⑥⑮⑳⑮⑥①他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性。曲以中右左实提餐妻爱面来并居乃除商料崩租乏方漆弹数开方作法本源图右面这幅数字图式，即“开方作法本源图”。这幅图现见曲以中右左实提餐妻爱面来并居乃除商料崩租乏方漆弹数开方作法本源图于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当。用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道：如果把以右式子中等号右边的各个系数排列起来，则可得：这正好与“开方作法本源图”上的数字完全相符。这样一种二项式系数的展开规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”。帕斯卡是法国数学家，他是在1654年所著的书中给出类似于贾宪帕斯卡三角形(a+b)3帕斯卡三角形(a+b)3=a3+Zab+b1(a+b)"1=a3+3a'b+3ab2+b1(a+h)’=/+ +6a2b2+4al?+h，(a+b)5=/*5/b*】0/b2+10#口#5ab4+S(a+b)&=afl+6^b+ + +I5^b*+6abs不仅如此，贾宪的这个图还蕴含了图中数字的产生规律。细心的读者也许已经发现，这个三角形的两条斜边都是由数字1所组成的，而其他的数都等于它肩上的两个数相加。按此规律，这个数字三角形可以写到任意多层；也就是说，二项式任意正整次幂的系数展开都可以按照这个图很容易地得到。根据杨辉的记载，贾宪求“开方作法本源图”中各项系数的方法，就是他在开平方、开立方中所用的新法一一“增乘开方法”。应用这种“增乘开方法”，既可求得任意高次展开式系数，又可进行任意高次幂的开方。在贾宪之前，从汉代一直到唐代的一千多年时间里，中国古代数学家只能进行正数的开平方和开立方运算，对于四次方以上的高次幂开方没有什么好的方法。直到贾宪的“增乘开方法”问世，才真正找到了开高次方的最佳方法，并能用它开任意有理数的高次方。这在中国数学史乃至世界数学史上，都是具有极其重要的价值的。以后的数学家在这个基础上继续前进，又把它推广为任意高次方程的数值解法。南宋时期的数学家秦九韶在系统总结前人成果的基础上，终于把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到了十分完备的程度。在秦九韶的著作中，方程的系数既有正的，也有负的；既有整数，也有小数；方程的次数最高达10次方。如：

其解法与现代通常使用的“霍纳法”（由英国数学家霍纳于1819年给出）基本一致，但比霍纳法要早了七百多年。从贾宪到秦九韶逐步发展完备起来的高次方程数值解法，是中国数学在宋元时期的一项杰出的创造。括与《梦溪笔谈》年。他晚年居住在润州为后人留下了一部三十指南针是我国使用做了多种实验，并且谈》中，成为研究我国古验中，他还发现了指南针种现象在物理学中叫做记录，比欧洲哥伦布的发年。他晚年居住在润州为后人留下了一部三十指南针是我国使用做了多种实验，并且谈》中，成为研究我国古验中，他还发现了指南针种现象在物理学中叫做记录，比欧洲哥伦布的发古代的四大发明之一。沈括对指南针的把实验的方法记在他的著作《梦溪笔代指南针的珍贵资料。除此之外，在实所指的方向不是正南而是略微偏东，这磁偏角。这是世界上最早发现磁偏角的现早了400多年。沈括在《梦溪笔谈》中还记载了很多劳动人民发明创造的事迹，其中最有名的，是关于毕升发明活字印刷的记录。毕升是一位杰出的发明家，他发明的活字印刷术，制版迅速，又节省人力物力，是印刷史上一项重大的革命，也是我国四大发明之一。毕升对人类作出了很大贡献，可是，像这样一位有重大贡献的发明家，要不是沈括把他的光辉业绩在《梦溪笔谈》中记载下来，我们就会连他的名字都不知道。有一年，沈括到河北去，经过太行山，看到山崖中夹有一层卵石和海生螺蚌化石。他十分诧异，经过认真研究，他认为太行山东面的陆地，就是海水夹带泥沙沉积形成的。沈括关于水侵蚀冲积作用的论述，在世界上也是最早的，比西方学者早700年。在古代西方人还不知道石油是什么东西时，中国老百姓已经用这种黑色的液体烧饭点灯了，这也要归功于沈括。他曾在陕北一带，发现地下蕴藏着丰富的石油。他经过反复研究，弄清了这种东西的性质和用途，又动员老百姓使用。他给这种黑色的液体起了个名字叫“石油”，这个名字一直延用到今天。他预言“此物后必大行于世”。他还认为我国“石油至多，生于地中无穷”。这些论述，如今都已被证实。公元1088—1095年间，沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。沈括是我国古代历史上一位伟大的科学家。他留下的《梦溪笔谈》一书，成为我国古代科学技术成果的资料库，长期以来，一直受到人们的重视，经常为各门学科的专家所引用。这部书是我国科学技术史上的一份珍贵遗产，也是世界科学技术史上一部杰出的著作。九韶秦九韶（1202〜1261）,字道古，自称鲁郡人，实际生于四川.青少年时代，因为父亲任南宋临安府（今杭州）的秘书少监，他随父同行，有机会去掌管天文历法的太史局去学习天文和数学知识，同时在数学

上又得到“隐君子”的指点和教诲.后来，他曾在四川、湖北、安徽、建康南京)等地为官.其间，他仍坚持潜心钻研数学.他总结了自己长期研究所积累的数学知识和创造性的成果，于1247年写成了传世名著《数书九章》.《数书九章》共18卷约20万字.书中搜集了与当时社会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为9类，每类9题.这9类是：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市物.《数书九章》继承了《九章算术》的体例，采用应用题集的形式，但其中问题的复杂程度和解题水平均高于以往的著作，它代表了当时中国乃至世界中世纪数学的最高成就.美国哈佛大学科学史家萨顿(Sarton)曾作出极高的评价：“秦九韶是他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一.”秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛(scipiodelferro)才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。《孙子算经》中提出了“物不知其数”问题(参见第五讲第8节)并给出了解答.秦九韶在数学上的最大贡献就是把这个问题和解法进行了推广，得到了“孙子定理”(国外称作“中国剩余定理”)，并创立了“大衍求一术”，从理论上彻底解决了一次同余式组的一般解法.孙子定理用现代数学的形式可表示为设m,m,…，m是k(kN2)个两两互质的正整数，m=mm„m=mM=mM=„=mM.贝同余式组x三b(modm),x三b(modm),…，x三b(modm)的解是x三MiMb+MiMbH +MiMb(modm),其中MiM三1(modm),MiM三1(modm),…，MiM三1(modm).孙子定证只给出了一次同余式组解的形式：而没有解决求解计算过程中最关键的步骤一一求乘率Mi的问题.当题目的数字比较简单时，用观察或试验的方法就可以求出乘率.如果数字较大，同余式的个数又多，仅凭观察或试验就难以奏效了.秦九韶发明了用辗转相除法求乘率的一般方法，这一步算法称为“大衍求一术”.此外，秦九韶还把孙子定理推广到模数m,m，…，m未必两两互质的情形.在西方，直到18世纪，%瑞士的欧拉和法国的拉格朗日才对同余式问题进行系统的研究.德国的高斯于1801年在《算术探究》一书中提出了解决这类问题的方法一一剩余定理，并给出了严格的证明.1852年，英国传教士伟烈亚力把“物不知其数”问题及解法传到欧洲，并介绍了秦九韶的大衍求一术.1876年德国数学史家马蒂生(L.Matthiessen)指出孙子定理及大衍求一术与高斯的理论一致.当时德国的著名数学家M.康托尔(M.B.Cantor)高度评价了大衍求一术，并称秦九韶是“最幸运的天才”.此后，孙子定理就被西方人称为“中国剩余定理.”秦九韶的另一项成果是得出了“三斜求积公式”.《数书九章》卷五第2题题意是：已知三角形地块的三边长分别为13步、14步、15步，求它的面积.把秦九韶的解法用现代的符号表示，就是：设三角形的三边长分别为a、b、c,则面积

.M- 2一这就是秦九韶的三斜求积公式，它与古希腊的“海伦公式”S=^/p（p-a）（p-b）（p-c）,p=|（a+b+c）是等价的。在高次方程的解法方面，秦九韶总结改进了北宋数学家刘益和贾宪的解法，创立了正负开方术，即求高次方程正根的一般方法，并且给出了求方程近似根的方法，这与英国数学家霍纳（W.Horner）1819年创立的霍纳法基本上一致.此外，秦九韶改进了《九章算术》中解方程组的“直除法”，提出了“互乘相消法”与“代入消元法”，这与现今解方程组的方法完全相同.秦九韶的这两项成就在世界上都处于领先地位.李冶治，号敬斋，金代真定圆海镜》是第一部系统著作，这在数学史上是中，李冶批判了轻视科物丧志”等谬论。兴城（今北京）的一个的进士，在大兴城胡沙的职务），李逾是博学多他见到胡沙虎卖权恃恶不作，因此常常据理意排除李逾。李逾为了李冶（1192——1279），原名李栾城人，公元1248年，李冶著的《测论述“天元术”（一元高次方程）的一项杰出的成果。在《测圆海镜•序》学实践，以数学为“九九贱技”、“玩金明昌三年，李冶生于金代大官僚家庭。李冶的父亲李逾是金朝虎手下作一名幕僚（类似现今参谋才，能诗善画并且不怕权势的人，势，恣意屠杀人民，歧视同伍，无力争。从此胡沙虎便怀恨在心，蓄防备胡沙虎的迫害，先把家中的幼小老弱送回故乡。这时李冶正是童年，他没有随同家属回栾城而独自到元氏（今河北元氏县）去求学。治，号敬斋，金代真定圆海镜》是第一部系统著作，这在数学史上是中，李冶批判了轻视科物丧志”等谬论。兴城（今北京）的一个的进士，在大兴城胡沙的职务），李逾是博学多他见到胡沙虎卖权恃恶不作，因此常常据理意排除李逾。李逾为了1230年，李冶往洛阳应试，被录取为词赋科进土，因得高陵（今陕西高陵县）主簿官职，但没有赴任，后任钧州（今河南禹县）当知事。1232年，蒙古军攻破了钧州城，李冶弃职北走，隐居于晋北峰山（今山西峰县）的桐川。从此便开始了他那艰苦的学术生涯。在这期间，为了筹集从事工作和生活的费用，不得不到处奔跑，求助于太原、平定等地的在职官吏。由于他的学识尚能得到当地的统治者以及社会名儒的赏识和支持，因此才得以从事著作讲学的物质条件。这时李冶所从事的研究工作是多方面的，尤其对数学的兴趣最大，他的数学名著《测圆海镜》就是在这段时间进行的。1251年左右李冶的经济情况已经好转，便离开了这个避难的地方，回到他少年求学的元氏，并在封龙山下买下一些田产，仍然过着隐土的生活。在这里与他随学从游的人很多，尤其与张德辉和元裕的交往最密，当时人们称他们为“龙山三老”。1257年，也就是蒙古军大举进攻南宋的前一年，为了听取汉族士大夫的意见，忽必烈根据以前张德辉的推荐，命令召见金朝遗老李俊民、李冶、魏磷等人。是年五月，李冶会见忽必烈于上都（今内蒙多伦附近）。在这次会见中，忽必烈向他问用人治国之道以及最近发生地震的原因，李冶在回答中指出，治国之道在于“有法度，控名责实，进君子，退小人”关于地震，他认为：“天裂为阳不足，地震为阴有余……今之震动，或奸邪在侧，或女谒盛行，或谗后交至，或刑罚失中，或征伐骤举，五者必有一于此矣”接着他又说：“夫天之爱君如爱其子，故示此以警之耳。苟能辨奸邪，去女谒、屏谗尽，

省刑罚，慎征讨，上当天心，下协人意，则可转咎为休矣”。忽必烈在表面上赞扬了他的议论。1260年忽必烈在上都登上了帝位，是为元世祖，1261年，世祖向李冶发出聘请，并许以清高而重要的工作。但李冶却以老病为由拒聘。1265年李冶又被召为翰林学土，就职一年后，重又以老病辞去。辞职后仍回到封龙山隐居，1279年卒。李冶作为一个有成就的数学家，在治学态度方面，具有与古往今来的科学家所共有的精神，也有其独特之点：.在极端艰苦的条件下坚持科学研究，从不间断自己的工作。李冶处在一个动荡不定的时代，特别是弃官隐居以后，从事科学研究的环境是十分艰苦的，常常饥寒至不能自存，但仍处之泰然，以讲学著书为乐。对于数学研究，他也是下过苦功的，他在病危时对其子克修说：“测圆海镜一书，虽九九小数，五常精思致力焉，后世必有知者”。.坚持科学真理，不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的，李冶的工作很少得到当时学者的理解。《测圆海镜》和《益古演段》两书，是在他逝世后三十年才得以付印的。.善于接受前人知识，取其精华。有人问学于李冶，李冶回答说：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。这就是说，要去其糟粕，取其精华，并使它成为自己的东西..反对文章的深奥化和庸俗化，主张文章是为别人，而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说：“今之算者，未必有刘（徽）李（淳风）之工，而编心踞见，不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭，唯恐学者得窥其仿佛也。”他的《益古演段》就是这种主张下的著作。杨辉家和数学教育家。在13世点是在计算技术方面，他对的还编成了歌决，如九归口卷。著有《详解九章算法》卷（1262年）、《乘除通变乘除算法》二卷（1275年）、杨辉，中国南宋时期杰出的数学纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。家和数学教育家。在13世点是在计算技术方面，他对的还编成了歌决，如九归口卷。著有《详解九章算法》卷（1262年）、《乘除通变乘除算法》二卷（1275年）、他著名的数学书共五种二十一十二卷（1261年）、《日用算法》二本末》三卷（1274年）、《田亩比类《续古摘奇算法》二卷（1275年）。杨辉的数学研究与教育工作的重筹算乘除捷算法进行总结和发展，有决。并在《乘除通变本末》中叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“积术”后，关于高阶等差级数进行研九求出了类高阶等差级数之和。杨辉在〃纂类〃中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的〃习算纲目〃是中国数学教育史上的重要文献。朱世杰朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近）。“燕山朱松庭先生”，是我国元朝时代的一位杰出的数学家。所写的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）,是我国古代数学发展进程中的一个重要的里程碑，是我国古代数学的一份宝贵的遗产。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志。他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程），并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（etiennebezout）才提出同样的解法。朱世杰还对“垛积术”（高阶等差数列求和问题）进行了研究，在此基础上得出了“招差术”（高次差的内插公式），欧洲到公元1670年英国人格里高利（jamesgregory）和公元1676—1678年间牛顿（issacnewton）才提出内插法的一般公式。朱世杰的青少年时代，正相当于蒙古军灭金之后。但在灭金之前，中都（即今之北京）便于1215年被成吉思汗攻占。元世祖忽必烈继汗位之后，于1264年（至1266年）为便于统治中原地区的人民，迁都燕京（后改称大都，亦即今之北京）到了13世纪60年代燕京不只是全国的政治中心，而且也是当时全国重要的文化中心，特别是北方的一个文化中心。忽必烈为了元朝的统治，曾网罗了一大批汉族的知识分子充作智囊团。其中就著名的有王恂（1235—1281）、郭守敬（1231—1279）、李冶（1192—1279）等人，这个智囊团中的人物，对数学和历法都很精通，他们未入朝前曾隐于河北省南部武安紫金山中。13世纪中叶，在现在的河北省的南部地区和山西省的南部地区，出现了一个以天元术为其代表的数学研究中心。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龙山外，山西临汾的蒋周，河北蠡县的李文一，河北获鹿的石信道等人都在研究天元术。朱世杰也继承了北方数学的主要成就一一天元术，并将其由二元、三元推广至四元方程组的解法。朱世杰除了接受北方的数学成就之外，他也吸收了南方的数学成就，尤其是各种日用算法、商用算术和通俗化的歌诀等等。在元灭南宋以前，南北之间的交往，特别是学术上的交往几乎是断绝的。南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代数学家）序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后图学，为书三卷……名曰《四元玉鉴》"，祖颐后序中亦有“汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集”。经过长期的游学、讲学等活动，终于在1299年和1303年，在扬州，刊刻了他的两部数学杰作一一《算学启蒙》和《四元玉鉴》。杨辉书中的归除歌诀在朱世杰所著《算学启蒙》中有了进一步的发展。清罗士琳认为：“汉卿在宋元间，与秦道古（即秦九韶）、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，汉卿天元如积皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代数学家王鉴也说：“朱松庭先生兼秦、李之所长，成一家之著作”。朱世杰全面继承了并创造性地发扬了天元术、正负开方法等秦、李书中所载的数学成就之外，还囊括了杨辉书中的日用、商用、归除歌诀之类与当时社会生活密切相关的各种算法，并作了新的发展。由此看来，在朱世杰的工作中，不仅有高次方程的解法，天元术等为代表的北方数学的成就，也包括了杨辉工作中所体现出来的日用，商用算法以及各种歌诀等南方数学的成就，不仅继承了中国古代数学的光辉遗产，而且又作了创作性的发展。朱世杰的工

作，在一定意义上讲，可以看作是宋元数学的代表，可以看作是古代筹算系统发展的顶峰。就连西方资产阶级学者们也不能否认这一点，乔治•萨顿说：朱世杰“是汉族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”说《四元玉鉴》“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中国古代数学推向更高的境界，为中国古代数学的光辉史册，增加了新的篇章，形成了宋代中国数学发展的最高峰。第七讲中国数学的衰落时期（日用数学的发展时期）这一时期指十四世纪中叶明王朝建立到明代末期，即1369——1581年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，明朝为了加强培养封建国家的官僚，奴役人民思想，科举制度规定专取四书五经命题，用八股文程式考试，主观唯心主义的程朱理学盛行。数学尽管在商业算术方面有新的发展，但是前一时期在代数学方面的辉煌成就几乎被淹没。普及，16世纪中，有盘计算。1592年，程大集珠算之大成。此书流又缩编为《算法纂要》广泛传播。珠算盘代替明代最大的成就是珠算的很多的商业算术书提倡用珠算位撰《直指算法统宗》十七卷，传最广，影响极大。到1698年四卷，珠算术从此在全国范围内了筹算，直到现在还是数字计算的有效工具。普及，16世纪中，有盘计算。1592年，程大集珠算之大成。此书流又缩编为《算法纂要》广泛传播。珠算盘代替建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，出现长期停滞。建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学号宾渠，安徽休宁人。经商，平时对数学发生遍访明师，经过十年的候写成了《直指算法统数学书，它以珠算为主绝大多数的问题都是由明算法》（公元1424年）元1450年）等书中摘取大位号宾渠，安徽休宁人。经商，平时对数学发生遍访明师，经过十年的候写成了《直指算法统数学书，它以珠算为主绝大多数的问题都是由明算法》（公元1424年）元1450年）等书中摘取程大位（1533-1606），宇汝思，从二十多岁起他便在长江下游一带了浓厚的兴趣。他搜罗了谁多书籍，努力，在公元1592年他六十岁的时宗》一书。《算法统宗》是一部应用要的计算工具，全书共595个问题，其他数学著作如刘仕隆所著《九章通和吴敬的《九章算法比类大全》（公

出来的。《算法统宗》一书总的编排，仍旧是按照《九章算术》的形式，全书共17卷。在中国古代数学的整个发展过程中，《算法统宗》是一部十分重要的著作。从流传的长久、广泛和深入来讲，那是任何其他数学著作不能与它相比的。公元1716年（清康熙55年），程家的后代子孙在《算法统宗》新刻本的序言中写道：自《算法统宗》一书于明万历壬辰（公元1592年）问世以后，“风行宇内，近今盖己百有数十余年。海内握算持筹之士，莫不家藏一编，若业制举者（考科举的人）之于四子书、五经义，翁然奉以为宗。”这并不是故作吹嘘之辞。《算法统宗》的编成及其广泛流传，标志着由筹算到珠算这一转变的完成。从这时起，珠算就成了主要的计算工具，古代的筹算就逐渐被人遗忘以至失传了。到后来，一般人只知有珠算，而不知有筹算，也不知道是由筹算演变而来的，这种情况一直继续到公元十八世纪中叶，在清朝学者们对古代数学深入研究之后，才开始了解到古代筹算演变为珠算的经过。李延在《中国数学简史》一书中指出：“在中国古代数学发展过程中，《算法统宗》是一部十分重要的著作。从流传的长久、广泛和深入来讲，那是任何其它数学著作不能相比的。”明末，该书被日本人毛利重能带回日本，译成日文，开日本“和算”之先河。18世纪又传入东南亚和欧洲，对中国珠算向世界传播起到重要作用。第八讲 中西方数学融合时期方数学初次东进十六世纪末开始，西方传教士开始到中国活动，由于明清王朝制定天文历法的需要，传教士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国，中国数学家在“西学中源”思想支配下，数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。十六世纪末，西方传教士和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士《几何原本》前6卷体系和演译方法深受徐光的《测量异同》和《勾股的逻辑推理方法论证中国何原本》课本中绝大部份至今。在输入的西方数学学。在此之前，三角学只有大影响的是意大利传教士《几何原本》前6卷体系和演译方法深受徐光的《测量异同》和《勾股的逻辑推理方法论证中国何原本》课本中绝大部份至今。在输入的西方数学学。在此之前，三角学只有（1607）,其严谨的逻辑启推崇。徐光启本人撰写i 义》便应用了《几何原本》＞的勾股测望术。此外，《几，， । 的名词都是首创，且沿用中仅次于几何的是三角零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》（2卷，1631）、《割圆八线表》（6卷）和罗雅谷的《测量全义》（10卷，1631）。在徐光启主持编译的《崇祯历书》（137卷，1629-1633）中，

介绍了有关圆锥曲线的数学知识。入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学「必有精理」，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。清康熙帝爱好科学研究，他“御定”《数理精蕴》（53卷，1723）,是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。相关链接：欧几里得与《几何原本》公元前3世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、立体几何的著作。其伟大的历史意义范。它从少数几个原始假的命题，从而保证了结论有23个定义、5个公设、片断的，可以比作砖瓦木起来，加以分类、比较，著作。其伟大的历史意义范。它从少数几个原始假的命题，从而保证了结论有23个定义、5个公设、片断的，可以比作砖瓦木起来，加以分类、比较，《几何原本》的原著有13卷，共包含5个公理、286个命题。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的 系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理收集起来，并且加以系统化，他从少数已被经验证明的公理出发，运用逻辑推理和数学运算的方法演绎出许多定理，写成了十三卷的《几何原本》，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。出现在两千多年前，这不少缺陷。主要是公理有些定义本身含糊不清学公理化的正确道路，他著作。学派，编成《四库全书》，著作，为保存濒于湮没《几何原本》是古希腊科学的骄傲，它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分。出现在两千多年前，这不少缺陷。主要是公理有些定义本身含糊不清学公理化的正确道路，他著作。学派，编成《四库全书》，著作，为保存濒于湮没《几何原本》是古希腊数学的代表作，是难能可贵的。但用现代的眼光看，也还有系统不完备，许多证明不得不借助于直观；的等等。尽管如此，《几何原本》开创了数对整个数学的影响，超过了历史上的任何其§8.2传统数学的整理与复兴乾嘉年间形成一个以考据学为主的干嘉其中数学著作有《算经十书》和宋元时期的的数学典籍做出重要贡献。在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有「谈天三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在《垛积比类》（约1859）中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为「李善兰恒等式」。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷（1795-1810），开数学史研究之先河。方数学再次东进

1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设「算学」，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷（1857），使中国有了完整的《几何原本》中译本;《代数学》13卷（1859）；（1859）。李善兰与英国传教士说》3卷，华衡芳与英国传教士傅卷（1872）,《微积溯源》8卷10卷（1880）等。在这些译着中，术语，至今仍在应用。1898年建入。1905年废除科举，建立西方也与西方其它各国相仿。启和《几何原本》徐光启（公元1562—1633年）属上海）人。他从万历末年起，作到文渊阁大学士的官职（相当法，是明末改历的主要主持人。根据前人所著各种农书，附以自《代微积拾级》18卷艾约瑟合译《圆锥曲线兰雅合译《代数术》25（1874）,《决疑数学》创造了许多数学名词和立京师大学堂，同文馆并式学校教育，使用的课本字子先，号玄扈，吴淞（今经过天启、崇祯各朝，曾于宰相）。他精通天文历他对农学也颇有研究，曾己的见解，编写了著名的满族的统治阶级从东北关。京师大学堂.I898创立，是中国近代最早的大学，北京大学的前身.初议1902京师大学堂复校，设预备科及速成科.《代微积拾级》18卷艾约瑟合译《圆锥曲线兰雅合译《代数术》25（1874）,《决疑数学》创造了许多数学名词和立京师大学堂，同文馆并式学校教育，使用的课本字子先，号玄扈，吴淞（今经过天启、崇祯各朝，曾于宰相）。他精通天文历他对农学也颇有研究，曾己的见解，编写了著名的满族的统治阶级从东北关。京师大学堂.I898创立，是中国近代最早的大学，北京大学的前身.初议1902京师大学堂复校，设预备科及速成科.1903皤修反击薛和举举每这是靠射瓢春鼠”他没有入京做官之前，曾在上海、广东、广西等地教书。在此期间，他曾博览群书，在广东还接触到一些传教士，对他们传入的西方文化开始有所接触。公元1600年，他在南京和利玛窦相识，以后两人又长期同住在北京，经常来往。他和利玛窦两人共同译《几何原本》一书，1607年译完前六卷。当时徐光启很想全部译完，利玛窦却不愿这样做。直到晚清时代，《几何原本》后九卷的翻译工作才由李善兰（公元1811—1882年）完成。《几何原本》是我国最早第一部自拉丁文译来的数学著作。在翻译时绝无对照的词表可循，许多译名都从无到有，当时创造的。毫无疑问，这是需要精细研究煞费苦心的。这个译本中的许多译名都十分恰当，不但在我国一直沿用至今，并且还影响了日本、朝鲜各国。如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形……这许多名词都是由这个译本首先定下来的。其中只有极少的几个经后人改定，如“等边三角形”，徐光启当时记作“平边三角形”“比”，当时译为“比例”而“比例”则译为“有理的比例”等等。年之后，必人人习之”。理精蕴》（公元1723年），公元十八世纪法国几何学差别很大。方成为学校中必修科目之《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。徐光启对《几何原本》区别于中国传统数学的这种特点，有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百清康熙帝时，编辑数学百科全书《数其中收有《几何原本》一书，但这是根据教科书翻译的，和欧几里得的《几何原本》到清朝末年废科举、兴学堂之后，几何学

年之后，必人人习之”。理精蕴》（公元1723年），公元十八世纪法国几何学差别很大。方成为学校中必修科目之善兰李善兰(1811〜1882),字竞芳，号秋纫，别号壬叔，海宁硖石人。清代数学家。他不仅创造了著名的“李善兰恒等式”，著有我国第一部精密科学意义上的弹导学著作《火器真诀》，而且在级数、对数、数论和微积分等数学领域都有独到的创造。同时还翻译了欧几里得的《几何原本》后9卷，以及西方近代数学、天文学，力学和植物学等方面几十部科学著作，十分贴切地创译了一大批科学名词(如代数学、系数、根、方程式、函数、微分、积分、几何学等等。这些名词创设得较贴切，比如“函数”一词，李善兰解释为“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”，这里“函”是包含的意思，与欧洲当时之概念十分相近。)，为介绍和