华中师大学一年级附中2012届高中三年级数学选修课精英班讲义-三角函数和平面向量

...wd......wd......wd...高三年级数学综合选修精英班讲义(三角函数与平面向量)1．，，且，求的值.2.且，求证：.3.函数，求的最小值.4.证明：5.求证：.6.7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，,，那么P的轨迹一定通过△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心8．O为△ABC所在平面上的一点，角A、B、C所对的边为a、b、c，假设，那么O为△ABC的A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心9．在内求一点，使取得最小值，该点是三角形的A．垂心 B．内心C．重心 D．外心10．、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．那么是的Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件11．如图，在△ABC中，，，过点M作直线交AB、AC于P、Q两点，那么______________.12.设函数．〔1〕求的单调区间；〔2〕如果对任何，都有，求的取值范围．高三年级数学综合选修精英班讲义(三角函数与平面向量)1．，，且，求的值.解：由有，∵、，又函数在上是增函数，，∴，∴.2.且，求证：.证：∵，∴，2,3,…,n),∴3.函数，求的最小值.解：，设，那么，在上是增函数，在上是减函数，且的图象关于直线对称，那么对任意，存在，使.于是，而在上是减函数，所以，即在上的最小值是.4.证明：证：.说明：这是三倍角的正弦的又一表示.类似地，有，.5.求证：.证：cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°6.证：，同理……，7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，,，那么P的轨迹一定通过△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解：将所给的条件式化为，由于，所以表示垂直于的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.应选D.说明：正确理解向量的夹角公式和审察所给式子的构造特征进展联想并活用公式整体处理是正确而快捷地解决此题的关键。还可推知：“O是平面上一定点，A、B、C平面上不共线的三个点，动点P满足，,，那么P的轨迹一定通过△ABC的外心.〞8．O为△ABC所在平面上的一点，角A、B、C所对的边为a、b、c，假设，那么O为△ABC的A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心解:因为，，，，，所以，即。设，，，那么四边形ADPE为平行四边形，因为、分别为、方向上的单位向量，即，所以四边形ADPE为菱形，所以AP平分。又，所以AO平分。同理，可得BO平分，CO平分。故O为△ABC的内心。说明：探求AO在△ABC的中特征时应将、转化掉，用跟△ABC的边有关的向量表示，在建构出的新的向量关系等式中寻觅在△ABC中的特征。9．在内求一点，使取得最小值，该点是三角形的A．垂心 B．内心C．重心 D．外心解：解决三角形的有关问题常常以两边为基底，将其它的量表示成基底的线性组合形式。设，设为的中点，，时，，此时为重心.10．、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．那么是的Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件解：设，，那么表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离.当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，那么，故必为点到的垂直距离，，即.选C.11．如图，在△ABC中，，，过点M作直线交AB、AC于P、Q两点，那么______________.解：构造基底，，那么,,,，。设，，因为点P、Q、M三点共线，所以，于是。又、b不共线，所以且，消去m，得，即，所以.说明：基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否适宜，要注意与条件密切联系。尽管可以利用“点P、Q、M三点共线〞来建设关系等式，但不及利用性质“，不共线，点P在AB上，且，、.〞来解决与三点共线相关的问题简单。12.设函数．〔1〕求的单调区间；〔2〕如果对任何，都有，求的取值范围．解：〔1〕．当〔〕时，，即；当〔〕时，，即．因此在每一个区间〔〕是增函数，在每一个区间〔〕是减函数．〔2〕令，那么．故当时，．又，所以当时，，即．当时，令，那么．故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．因此，的取值范围是．高三年级数学综合选修精英班讲义(函数综合问题)一、选择题1．A={1,2,3,4,5},B={6,7,8}，从集合A到B的映射中满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有 A．27 B．9 C．21 D．122．假设函数y=f(x-1)的图象与函数y=ln+1的图像关于直线y=x对称，那么f(x)= A．e2x-1 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+23．设f-1(x)是函数f(x)=(ax-a-x)(a>1)的反函数，那么使f-1(x)>1成立的x的取值范围为 A． B． C． D．4．设函数f(x)=那么使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 A．(-∞,-2∪[0,10] B．(-∞,-2∪[0,1]C．(-∞,-2∪[1,10] D．[-2,0]∪[1,10]5．设函数f(x)=假设f(-4)=f(0),f(-2)=-2，那么关于x的方程f(x)=x的解的个数为A．1 B．2 C．3 D．46．假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，那么以下说法一定正确的选项是 A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)+1为奇函数 D．f(x)+1为偶函数7．函数f(x)=那么f(2+log23)的值为 A． B． C． D．8．方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 A．0<a≤1 B．a<1 C．a≤1 D．0<a≤1或a<0二、填空题9．，那么函数f(x)的解析式为_________________．10．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=，那么f(x)=_________,g(x)__________．11．f(x+1)的定义域为-2,3)，那么f(+2)的定义域为____________．12．假设函数f(x)=(x≠-1)的反函数为y=f-1(x)，那么f-1(1-i)=___________．13．设函数f(x)=，函数y=g(x)的图象与函数g=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，那么g(4)=__________．14．偶函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且x∈[3,4]时，f(x)=2x-1，那么x∈[14,15]时，函数f(x)的解析式为_________________．15．f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，那么y=f(x)的值域为____________．16．假设a2x+ax-≤0(a>0且a≠1)，那么函数y=2a2x-3ax+4的值域为_____________．三、解答题17．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1．〔1〕求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1；〔2〕判断f(x)在R上的单调性；〔3〕设集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，假设A∩B=ф，求a的取值范围．18．假设f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠〔1〕求f(log2x)的最小值及对对应的x值；〔2〕x取何值时，f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)．19．定义域为R的函数f(x)=是奇函数．〔1〕求a,b的值；〔2〕假设对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围．20．设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)．〔1〕假设存在x0∈[0,1]使不等式f(x0)-m≤0能成立，求实数m的最小值；〔2〕关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．21．设f(x)=3ax2+2bx+c，假设a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0，求证：〔1〕a>0且-2<<-1；〔2〕方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根．高三年级数学综合选修精英班讲义(函数综合问题)一、选择题1．C2．B3．A4．A5．C6．C7．D8．C二、填空题9．10．;11．{x|x≤-或x>} 12．-1-i13．12 14．f(x)=-2x+3515．[1,] 16．[3,417．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1．〔1〕求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1；〔2〕判断f(x)在R上的单调性；〔3〕设集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，假设A∩B=ф，求a的取值范围．解：〔1〕∵f(m+n)=f(m)·f(n)，令m=1,n=0，那么f(1)=f(1)·f(10)，由x>0时，0<f(x)<1，∴f(0)=1，设m=x<0,n=-x>0，∴f(0)=f(x)·f(-x)，即f(x)=>1．〔2〕由〔1〕知，对任意x∈R，有f(x)>0，不妨设x1,x2∈R，且x1<x2，那么x2-x1>0时，0<f(x2-x1)<1,∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0，∴f(x)在R上单调递减．〔3〕∵f(x2)·f(y2)>f(1)，且对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，∴f(x2+y2)>f(1)，由单调性易知x2+y2<1，又f(ax-y+2)=1=f(0),∴ax-y+2=0,A∩B=ф，∴≥1，即a2+1≤4，∴-≤a≤．18．假设f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠〔1〕求f(log2x)的最小值及对对应的x值；〔2〕x取何值时，f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)．解：〔1〕∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b，又f(log2a)=b,∴log∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2,∴log2[f(a)]=log2(a2-a+b)=log2(2+b)=2,∴b=2,∴f(x)=x2-x+2,f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-)2+,∴当log2x=时，f(log2x)有最小值,此时x=．〔2〕假设f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)，那么，解之得，∴0<x<1．19．定义域为R的函数f(x)=是奇函数．〔1〕求a,b的值；〔2〕假设对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围．解：〔1〕依题意知，f(0)=0,∴b=1,又f(-1)=-f(1),∴． 〔2〕由〔1〕知f(x)=，又由题设条件知：，即，整理，得,∴3t2-2t-k>0．又∵上式对一切t∈R均成立，∴判别式△=4+12k<0，即k<-． 方法二:〔利用单调性求解〕由〔1〕知，易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数，∵f(x)是奇函数，∴由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2)，又∵f(x)为减函数，∴t2-2t>k-2t2，即对一切t∈R，有3t2-2t-k>0，从而有判别式△=4+12k<0,∴k<-．20．设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)．〔1〕假设存在x0∈[0,1]使不等式f(x0)-m≤0能成立，求实数m的最小值；〔2〕关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．解：〔1〕∵f′(x)=2(1+x)-，令f′(x)=0，得x1=-2,x2=0，∵y=f(x)的定义域为{x|x>-1}，当x∈[0,1]时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，∴f(x)min=1，故m≥1，即m的最小值为1．〔2〕依题意得，(1+x)-2ln(1+x)=a在[0,2]上恰有两个相异实根，令g(x)=(1+x)-2ln(1+x)得g′(x)=，∴当x>1时，g′(x)>0；当-1<x<1时，g′(x)<0，故g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，∵g(0)>g(2),∴g(1)<a≤g(2)，即2-2ln2<a≤3-2ln3，∴ln<a≤ln．21．设f(x)=3ax2+2bx+c，假设a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0，求证：〔1〕a>0且-2<<-1；〔2〕方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根．解：〔1〕∵f(0)>0,f(1)>0,∴c>0,3a+2b+c>0，由条件a+b+c=0，消去b，得a+b<0，2a+b>0，故-2<<-1．〔2〕抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为，在-2<<-1的两边乘以-，得．又∵f(0)>0,f(1)>0，而，所以方程f(x)=0在区间(0,-)与(-,1)内分别有一实根，故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根．高三年级数学综合选修精英班讲义(函数综合问题)一、选择题1．函数f(x)=log2|ax-1|(a≠0)满足关系式f(-2+x)=f(-2-x)，那么实数a的值是 A．1 B．- C． D．-12．函数的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B，且BA，那么实数a的取值范围是 A．(-∞,-2 B．[,1C．(-∞,-2)∪,1] D．(-∞,-2∪,1)3．定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-,0)成中心对称，对任意的实数x都有f(x)=-f(x+)，且f(-1)=1,f(0)=-2，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)的值为A．-2 B．-1 C．0 D．14．假设函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1)，那么函数g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是 A．[-1，0] B．[,+∞,(0,1 C．[1,] D．(-∞,,,+∞)5．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，那么f(2008)的值是 A．-1 B．0 C．1 D．无法确定6．函数的反函数f-1(x)的图象的对称中心为(-1,5)，那么实数a的值是 A．-3 B．1 C．5 D．77．x∈(-∞,1时，函数f(x)=1+2x+(a-a2)4x的图象在x轴上方，那么实数a的取值范围是A．(-2,) B．(-∞,6) C．(-∞,) D．(-)8．f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3，那么函数在[-2，2]上的最小值为A．-5 B．-11 C．-29 D．-37二、填空题9．设函数f(x)=x2+x+的定义域为[n,n+1]，n∈N，那么在f(x)的值域中共有___________个整数．10．函数f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1)．如果f(1-a)+f(1-a2)<0，那么a的取值范围是_______________．11．对于定义在R上的函数f(x)，假设实数x0满足f(x0)=x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点，现给定一个实数a∈(4,5)，那么函数f(x)=x2+ax+1的不动点共有__________________个．12．函数f(x)=x|x-4|=-5，那么当方程f(x)=a有三个根时，实数a的取值范围是_____________．yx1O13．yx1O14．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上单调递增，那么：①f(2)=f(0)；②f(x)在[0,1]上递增；③f(x)在[1，2]上递减；④f(x)是周期函数；⑤f(x)的图象关于直线x=1对称．以上正确的选项是________________〔漏选、错选均不得分〕．三、解答题15．如果函数f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x)，试求f(2)+f(-2)的值．16．奇函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[-1,1]上的增函数．〔1〕求实数b的取值范围；〔2〕假设b2-tb+1≥f(x)对x∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围．17．二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为〔1，3〕．〔1〕假设方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；〔2〕假设f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．18．二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c∈R且满足a>b>c,f(1)=0．〔1〕证明：函数f(x)与g(x)的图象交于不同的两点A、B；〔2〕假设函数F(x)=f(x)-g(x)在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值；〔3〕求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．19．函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R)在区间(1,3上单调递减，在区间[3,+∞上单调递增．〔1〕求a的值和f(x)的最大值；〔2〕设曲线y=f(x)上任一点处的切线的倾斜角为α，求α的取值范围．20．函数f(t)=log2t,t∈[,8]．〔1〕求f(t)的值域G；〔2〕假设对于G内的所有实数x，不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围．高三年级数学综合选修精英班讲义(函数综合问题)一、选择题1．B2．D3．D4．C5．B6．D7．D8．D二、填空题9．2(n+1)10．(1,)11．2 12．(-5,-1) 13．(-2,1) 14．①④⑤三、解答题15．如果函数f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x)，试求f(2)+f(-2)的值．解：∵对任意x∈R，总有f(1+x)=-f(1-x)，∴当x=0时应有f(1+0)=-f(1-0)，即f(1)=-f(1),∴f(1)=0．又∵f(x)=(x+a)3,∴f(1)=(1+a)3．故有(1+a)3=0a=-1．∴f(x)=(x-1)3∴f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=13+(-3)3=-26．16．奇函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[-1,1]上的增函数．〔1〕求实数b的取值范围；〔2〕假设b2-tb+1≥f(x)对x∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围．解：〔1〕∵f(x)为奇函数，又f(x)=x3+ax2+bx+c,∴a=c=0，∴f(x)=x3+bx．∵f(x)在[-1，1]上是增函数，∴f′(x)=3x2+b≥0，∴b≥-3x2，对于x∈[-1,1]恒成立，∴b≥0．〔2〕由〔1〕知，f(x)=x3+bx在[-1，1]上是增函数，∴f(x)max=f(1)=1+b,∴b2-bt+1≥1+b，对b∈[0,+∞恒成立，∴t≤b-1，对b∈[0,+∞恒成立，∴t≤-1．17．二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为〔1，3〕．〔1〕假设方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；〔2〕假设f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．解：〔1〕∵f(x)+2x>0的解集为(1,3)，∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0．因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0．解得a=1或a=-．由于a<0，舍去a=1．当a=-代入①得f(x)的解析式．f(x)=．〔2〕由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-，及a<0，可得f(x)的最大值为．由解得a<-2-或-2+<a<0．故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0)．18．二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c∈R且满足a>b>c,f(1)=0．〔1〕证明：函数f(x)与g(x)的图象交于不同的两点A、B；〔2〕假设函数F(x)=f(x)-g(x)在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值；〔3〕求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．解：〔1〕证明：由g(x)=-bx与f(x)=ax2+bx+c联立得ax2+2bx+c=0，因为f(1)=a+b+c=0,a>b>c,所以a>0,c<0，从而△=b2-4ac>0，即函数f(x)与g(x)的图象交于不同的两点A、B．〔2〕c=-a-b,a>b>c，即a>c=-a-b，得2a>-b,-<2，知函数F(x