2018年全国(二卷)高考数学(文)试题与

绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国一致考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务势必答案写在答题卡上。写在本试卷及稿本纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的。1．i23iA．32iB．32iC．32iD．32i2．已知会集A1,3,5,7，B2,3,4,5，则AIBA．3B．5C．3,5D．1,2,3,4,5,7exex的图像大体为3．函数fxx24．已知向量

a，b满足|a|1，ab

1，则a(2a

b)A．4

B．3

C．2

D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．双曲线x2y21(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为a2b2A．y2xB．y3xC．y2D．y3xx227．在△ABC中，cosC5，BC1，AC5，则AB25A．42B．30C．29D．258．为计算S1111L11，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入23499100开始N0,T0i1是否i100N1SNTNiT1输出STi1结束A．ii1B．ii2C．ii3D．ii49．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．2B．3C．5D．7222210．若f(x)cosxsinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是A．πB．πC．3πD．π42411．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为3B．2331D．31A．1C．2212．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)Lf(50)A．50B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。、13．曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．x2y5≥0,14．若x,y满足拘束条件x2y3≥0,则zxy的最大值为__________．x5≤0,15．已知tan(α5π1)，则tanα__________．4516．已知圆锥的极点为S，母线SA，SB相互垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都一定作答。第22、23为选考题。考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315．1）求{an}的通项公式；2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12分）以下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了展望该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．依据2000年至2016年的数据（时间变量t的值挨次为1,2,L,17）建立模型①：y?30.413.5t；依据2010年至2016年的数据（时间变量t的值挨次为1,2,L,7）建立模型②：?17.5t．y991）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的展望值；2）你以为用哪个模型获得的展望值更靠谱？并说明原由．19．（12分）如图，在三棱锥

P

ABC

中，

AB

BC

22，

PA

PB

PC

AC

4，O为AC的中点．（1）证明：

PO

平面

ABC；（2）若点

M

在棱

BC

上，且

MC

2MB

，求点

C到平面

POM

的距离．20．（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8．1）求l的方程；2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知函数fx1x3ax2x1．31）若a3，求f(x)的单调区间；2）证明：f(x)只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cosθ,（为参数），直线l的参数方y4sinθθ程为x1tcosα,（t为参数）．2tsinα1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)5|xa||x2|．（1）当a1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值围．绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国一致考试文科数学试题参照答案一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．B9．C10．C11．D12．C二、填空题13．=2–214．915．316．8πyx2三、解答题17．解：1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn获得最小值，最小值为–16．18．解：1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的展望值为$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的展望值为$y=99+17.5×9=256.5（亿元）．2）利用模型②获得的展望值更靠谱．原由以下：i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机分布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不可以很好地描述环境基础设施投资额的变化趋向．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有显然增添，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的周边，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增添趋向，利用2010年至2016年的数据$年此后的环境基础设施投资额的变建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010化趋向，所以利用模型②获得的展望值更靠谱．（ii）从计算结果看，相关于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①获得的展望值226.1亿元的增幅显然偏低，而利用模型②获得的展望值的增幅比较合理，明利用模型②获得的展望值更靠谱．

说以上给出了2种原由，考生答出此中任意一种或其余合理原由均可得分．19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．连结OB．因为AB=BC=2ABC为等腰直角三角形，1AC，所以△且OB⊥AC，OB=AC=2．22由OP2OB2PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=1AC=2，CM=2BC=42，∠ACB=45°．233所以=25，=OCMCsinACB=45．53OM所以点C到平面POM的距离为45．520．解：1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．yk(x1)得k2x2(2k24)xk20．由4xy216k2160，故x1x22k224．k所以ABAFBF(x11)(x21)4k224．k由题设知4k24，解得k–（舍去），k．k28=1=1所以l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直均分线方程为y2(x3)，即yx5．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则y0x05，x0，x0，2311解得或1)2(y0x01)(x016.y02y06.2所以所求圆的方程为2222．(x3)(y2)16或(x11)(y6)14421．解：（1）当a=3时，f（x）=1x33x23x3，f′（x）=x26x3．3令f′（x）=0解得x=323或x=323．当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（323，323）时，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递加，在（323，323）单调递减．（2）因为x2x10，所以f(x)0等价于x2x33a0．x1x33ax2(x22x3)≥0，仅当x=0时g′（x）=0，设g(x)=2x，则g′（x）=2x1)2x1(x所以g（x）在（–∞，+∞）单调递加．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=6a22a16(a1)210，f（3a+1）=10，故f（x）有一个3663零点．综上，f（x）只有一个零点．22．解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2y21．416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C，所以①有两个解，设为t1，t2，则t