四边形全等分类

1、（2008年泰州市）27.在矩形ABCD中，AB=2,AD=*・（1）在边CD上找一点E,使EB平分ZAEC,并加以说明；（3分）（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.①求证：点B平分线段AF；（3分）②APAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由・（4分）第27题图2、（2008年南京市）21.（6分）如图，在ABCD中，E,F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE・求证：（1）△ABF^△DCE； PV D（2）四边形ABCD是矩形.（第21题）3、（2008年巴中市）已知：如图9，梯形ABCD中，AD〃BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F.（1） 求证：ABCE和△FDE全等（2） 连结BD，CF，判断四边形BCFD的形状，并证明你的结论.ft4（2008福建福州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC，M是AD的中点，求证：MB=MC.

5、（2008年遵义市）4.如图，OA=OB，OC=OD，AO=50，AD=35，则ZAEC等于（ ） ^ 。A.60B.50C.45D.30O O O OBCDBCD6、（2008年遵义市）22（10分）在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转.当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.7、 （2008年郴州市）如图8，^ABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到△DBC.请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由.辽宁省岳伟分类 A8、（2008年桂林市）已知：AABC为等边三角形，D为AC上任意一点，连结BD（1） 在BD左下方，以BD为一边作等边三角形BDE（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2） 连结AE，求证：CD=AE

解：（1）如图:AB 已9、如图5,D是AB边上的中点，将阪BC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若zb=50。，则ZBDF=度.10、（2008年•东莞市）（本题满分9分）（1）如图7,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边（2）如图8，AOAB固定不动，保持AOCD的形状和大小不变，将AOCD绕着点O旋转（△OAB和AOCD不能重叠），求/AEB的大小.答案:（2008年•南宁市）以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边

形共有:（A）1个形共有:（A）1个4个(B)2个(C)3个(D)（2008年•南宁市）如图8,在左ABC中，D是BC的中点，DE±AB,DFDC图8±AC，垂足分别是E、F,BE二CF。DC图8（1） 图中有几对全等的三角形？请一一列出;13.（2008年双柏县）如图，点p在匕408的平分线上，13.（2008年双柏县）如图，点p在匕408的平分线上，，不若使△AGPW4B0P，（2008年湖北省咸宁市）如图，在Rt^ABC中，ab=AC，D、E是斜边BC上两点，且ZDAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90。后，得到△AFB，连接EF，下列结论：D.①③.©△AED=△AEF；D.①③.③BE+DC=DE；其中正确的是【 】A.②④；C.②③；（2008年湖北省咸宁市）如图，BD是。。的直径，AB与。。相切于点B，过点D作OA的平行线交。0于点C，AC与BD的延长线相交于点E.（1） 试探究入E与。0的位置关系，并说明理由；（2） 已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算。0的半径r的一种方案：你选用的已知数是写出求解过程（结果用字母表示）.（2008年荆州市）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF±AE于F,连结DE,求证：DF=DC.（2008年湖北省麟仙桃市潜江市江汉油田）aabc中，点a的坐标为（0,1）,点C的坐标为（4，3），如果要使AABD与AABC全等，那么点D的坐标是 .y*■%y*■%（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC（第16题图）

边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（4.总B.3岳C.2.打D.点19（2008乌鲁木齐）.在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6,并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③AB=AC，④ZBAE=ZCDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.（写出一种即可）已知：求证：△AED是等腰三角形.证明：图320、如图3,要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点C，图3OB的中点D，测得CD=30米，则AB=米.答案：60考察了三角形中位线的性质，用来测量不易测量的距离.21、如图4，点P到ZAOB两边的距离相等，若ZPOB=30°，则ZAOB=度.22.（2008年沈阳市）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对（2008年义乌市）23如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度a,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.将原题中正方形改为矩形(如图4—6)，且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a,b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.在第(2)题图5中，连结dg、BE，且a=3,b=2,k=1,求BE2+DG22的值.(2008嘉兴市)23小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：如图1,正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF±AE交AB于F，求证:AE=DF；如图2,正方形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，点G,H分别在AB,CD上，且EF±GH，求巨的值；GH如图3,矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E,F分别在AD,BC上，（第23题图3）（第23题图3）（第23题图1）（第23题图2）且--'求I!的值.25、（2008年安徽省）已知：点0到^ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。（1）如图1,若点0在BC上，求证：AB=AC；（2） 如图2,若点0在^ABC的内部，求证：AB=AC；（3） 若点0在^ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。证明：（1）过点0分别作OELAB，OF±AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE=OF，OB=26、（2008恩施自治州）如图7,在平行四边形ABCD中，/ABC的平分线交CD于点E,/ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由.

27、（2008苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，/1=/2，Z3="求证：（1）△ABC^AADC；（2）BO=DO-28、（2008无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角（1） 。请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2） 你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由.（3） 如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 —个.友情提醒:请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹.40图40图129、（2008年西宁市）22.如图9,一块三角形模具的阴影部分已破损.（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具abc的形状和大A小完全相同的模具ABC'?请简要说明理由. /\（1）只要度量残留的三角形模具片的/B,/C的度数和边BC的长，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（2）按尺规作图的要求，正确作出/ABC的图形.31、 （2008年广东湛江市）23.如图7所示，已知等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC，AC与BD相交于点O.请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明. Am kD32、（2008年重庆市）已知：如图，在梯形ABCD中，AD〃BC，BC二DC，CF平分/BCD，DF〃AB，BF的延长线交DC于点E。AD求证：（1）^BFC丝ADFC；（2）AD=DE （全等三角形）（2008年扬州市）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为AABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与^ABP'重合，如果AP=3，那么线段PP，的长等于。（2008盐城）如图甲，在△ABC中，/ACB为锐角.点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题：

（1）如果AB=AC,ZBAC=90°..如图丙，①中的结论是否仍F当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲，数量关系为▲.如图丙，①中的结论是否仍F当点D在线段BC的延长线上时，ECD图丙B然成立，为什么？ECD图丙B（2）如果AB#AC，ZBAC#90°，点D在线段BC上运动.试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CFXBC（点C、F重合除夕卜）？画出相应图形，并说明理由.（画图不写作法）（3）若AC=4克，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值.解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF得AD=AF，/DAF=90°.VZBAC=90°，AZDAF=ZBAC， .\ZDAB=ZFAC，又AB=AC‘.•.△DAB丝^FAC，「.CF二BDZACF=ZABD.・../BAC=90°，AB=AC，AZABC=45°，AZACF=45°，TOC\o"1-5"\h\z?.ZBCF=ZACB+ZACF=90°•艮PCF±BD A（2） 画图正确 /7\1F当ZBCA=45°时，CFLBD（如图丁）.理由是：过点A作AG±AC交BC于点G，..・AC=AGg、「〜/I图J可证：AGAD丝ACAF ?.ZACF=ZAGD=45° fZBCF=ZACB+ZACF=90°.即CF±BD a〈（3） 当具备ZBCA=45°时， N\1）e过点A作AQ±BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）・.・DE与CF交于点P时，.・・此时点D位于线段CQ上，QBde戊

・../BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.设CD=x,「.DQ=4—x,容易说明^AQD^ADCP,Acp=cd, ：._CL二4,D^AQ 4-44TOC\o"1-5"\h\zX2 1「.CP=— +x=——(X—2)2+1•4 4・.・0VxW3 .••当x=2时，CP有最大值1.（2008年永州）下列命题是假命题的是（ ）...两点之间，线段最短.过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一组对应边相等的两个等边三角形全等.对角线相等的四边形是矩形.答案:D解析:考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例.随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来，所以D是假命题.（2008年益阳）（本题10分）AABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.证明：ABDG丝^CEF； a探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ila和lib........的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果•••••••••••••••••••..TOC\o"1-5"\h\z两题都解，只以Ia的解答记分. b D EIla.小聪想：要画出正方形DEFG,只要能计算出 图10⑴正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和法是:E点，再画正方形DEFG就容易了.设^ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）.法是:lib.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G'D'连结BF’并延长交AC于F；作FE〃F'E'交BC于E,FG〃F'G，交AB于GGD〃G'D’交BC于D,则四边形DEFG即为所求.DE图10（2）

你认为小明的作法正确吗？说明理由.答案：I.证明：・.・DEFG为正方形，.\GD=FE,ZGDB=ZFEC=90°.•.△ABC是等边三角形，.../B=/C=60°.•.△BDG丝△CEF（AAS）IIa.解法一：设正方形的边长为乂,作左ABC的高AH,b由^AGFs^ABC得：x_由^AGFs^ABC得：x_土x2如3解之得：xW（或x=4丙-6）2+一，＜3解法二：设正方形的边长为X,则BD=j2在Rt^BDG中，tan/B二gd,BD解之得:x二（或x=4丙一6）2+.'3解法三：设正方形的边长为X,则BD=鼻2由勾股定理得：（2-x）2=x2+（号）2 解之得：x=活-6lib.解：正确 2由已知可知，四边形GDEF为矩形...f^=fb，同理_[G=FB，二1^=fgFE'—FB FG'—FBF'EFG'又・.・F'E’=F'G',..・FE=FG因此，矩形GDEF为正方形解析:证明，求值和方法探究题.几何证明，求值题要弄解图10⑶清条件和结论，运用定理，定义，公理从条件出来说明结论的正确或错误或求出某一未知量.探究作图方法是否正确，其实就是把作法当作条件证明最后结论的正确性.（2008年湘潭）（本题满分6分）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点且DE=AB,过C作CFXDE,垂足为F.（1） 猜想：AD与CF的大小关系；（2） 请证明上面的结论.

解：（1）AD=CF-（2）四边形ABCD是矩形，.•./AED=AFDC,DE=AB=CD又CF1DE,.•./CFD=/A=90。，ADE三FCD:.AD=CF解析:考查矩形的性质及直角三角形全等的判定.猜想AD与CF的关系,可以分析AD,CF所在的两个三角形ADE与三角形FCD的关系.由条件可归纳得：/A二乞CFD=900,ZAED=ZFDC,DE二AB=CD,可证.・.ade三FCD,从而AD=CF.△△1.（2008年内江市）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，ZBAD=ZBCE，AD与CE相交于点F，试判断AAFC的形状，并说明理由.16（2008乌鲁木齐）・在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6,并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③ZB=/C，④ZBAE=ZCDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AAED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.（写出一种即可）已知：求证：△AED是等腰三角形.证明：18.（2008年湖北省宜昌市）如图，在△ABC和^ABD中，BC=BD,设点E是BC的中点，点F是BD的中点.（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）

(2)连接AE、AF.若/ABC=/ABD,请你证明^ABE丝△ABF.19.（本题6分）（2008年武汉市）如图，点D〃AC。求证：△ABCsAFDE.19.略21.（2008年•东莞市）（本题满分9分）（1）如图7,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/AEB的大小;求/AEB的大小;（2）如图8,AOAB固定不动，保持AOCD的形状和大小不变，将AOCD绕着点O旋转（△OAB和AOCD不能重叠），求/AEB的大小.1、（2008年宜宾市）（本小题满分7分）已知：如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC

AA(2008年义乌市)如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或