2021新高考全国八联考数学试题

2021新高考全国八省联考数学试题2021新高考全国八省联考数学试题一、选择题(本大题共8小题，共40.0分).已知M,N均为R的子集，且「以二',则A"」。/)( )A.B.MC.ND.R.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()1 1 1_2A.1B.：；C.2D.：-；.关于x的方程”，有下列四个命题：甲：31是该方程的根；乙：；；3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．TOC\o"1-5"\h\z如果只有一个假命题，则该命题是t 〕A.甲B.乙C.丙D.T.椭圆“川J "八心")的焦点为&，%，上顶点为A，若乙’遇‘2：弓，则“1[ )A.1B.、:CC.\二;D.2.已知单位向量3h满足「"，若向量v7小口•：」，则“小•二(,'，[〉( )V-26V-2A.'!B.'!C.‘9D.，:>6"】3：）,（11门,…㈠门门13的展开式中小的系数是1 ）A.60B.80C.84D.1207.已知抛物线正2”、：上三点」已与,B,C,直线AB,AC是圆"/21的两条切线，则直线BC的方程为］ JA."2jr1UB.3"61，|斗。C.2"小J3UD."3912。.已知小二5且山；55i；,.，］<4且3；4«；；,，出厂》"，贝ijC）TOC\o"1-5"\h\zA.Y."iiB/<WC. 」D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）.已知函数「（X）门”（1I门，则【 ）儿「：门在111 单调递增B.r。门有两个零点11c.曲线门在点「r门二））处切线的斜率为-1 2D」。）是偶函数10.设11,勺，人为复数，勺K”,下列命题中正确的是1 ）A.若1勺1以31，则勺1工犯.若打勺勺工3,则勺1-3C.若々；’3,则上1%I广遇31D.若;'*2园1广，则勺丁2

体中1)，则在该正方体中1)，则在该正方B.门厅/，花D.BUDE12.设函数"12.设函数""，I"；心T。"、:，则!A.「Q、：j「Q"i〕B.f。：）的最大值为2C.「：口在（，’。）单调递增D.”卜：）在"单调递减三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 ．14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ， ．.写出一个最小正周期为2的奇函数（*）=..对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果,已知最后结果的误差‘‘‘""匚」，为使误差:，，在C-0-5.0.5）的概率不小于0.9545,至少要测量次,（若XA山』,「巴，则 小2，jT9545J.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）.已知各项都为正数的数列口/满足J+2工“，：+11小L.f1J证明：数列Q+1；•为等比数列；_1 _312）若勾2,与2,求河：•的通项公式..在四边形ABCD中，JB〃/」D,.LD，21.3f1）若2,求BC；（2）若,"2m，求「…二小’"：..一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为。」，U，2,UJ,各部件的状态相互独立.11J求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；'：2J记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于。与多面体在该点的面角之和的差〔多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和,例如：正四7T面体在每个顶点有3个面角，每个面角是：-；，所以正四面体在各顶点的曲率为"一‘"：3"，故其总曲率为斗升.㈠）求四棱锥的总曲率；3）若多面体满足：顶点数-棱数I面数，证明：这类多面体的总曲率是常数.点B在C上,当BFL1F时，|JF||BF|.11］求C的离心率；［门若B在第一象限，证明:工BF,12d.lF.22.已知函数「（门i；」】g-「TM,“工）口1"5工1门山:5工11）证明：当2"4时，"门三。；,!2）若U。门占2，，，求a.答案和解析.【答案】B【解析】解：如图所示易知‘'"」《「；）整故选：B.根据M,N均为R的子集，且「‘"二N’画出韦恩图，结合图形可求出J«,A，）.本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．.【答案】C【解析】解：三张卡片随机分给三位同学，共有」；人种情况，恰有1位学生分到写有自己学号卡片，则有、种情况，3_1所以恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为「3？.故选：C.先求出三张卡片随机分给三位同学的基本事件数，再求出恰有1位学生分到写有自己学号卡片的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用，涉及了排列组合的应用，解题的关键是确定总基本事件数和要求的基本事件数．.【答案】A【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得巧-1,符合题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得巧1,31,两根不异号，不合题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得巧3,31,两根不异号，不合题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为2,不合题意.综上可知,甲为假命题．故选：A.分别设甲、乙、丙、丁为假命题,结合真命题中方程两根的情况判断．本题考查简单的合情推理,考查逻辑思维能力与推理论证能力,是基础题．.【答案】C【解析】解：由题意可得「V。臼1,l旧,又因为富9;，可得/人:，12可得1 ”；X,解得….故选：C.由题意利用椭圆的性质可求j1,L露，可求""I""解三角形即可求解m的值.本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题..【答案】B【解析】解：小c=a-(770"2b)=网口斗近，&=77,|c|=1(/70虱，bf=《7h42 ,”书豆=3,_l匚_匹所以""IeI」1X：-1 3,所以';.故选：B.由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求门7<m'">,然后结合同角平方关系即可求解.本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．.【答案】D【解析】解：门口）‘口I,门,…।口 的展开式中小的系数为…+《=*=120.故选：D.根据通项公式表示二项展开式的第门1项，该项的二项式系数是表示出炉的系数，然后利用组合数的性质进行求解.本题主要考查了二项式定理的应用，以及二项式系数的求解，解题的/iFJJ-1.jnflJ_H旧关键是利用组合数公式•」'，叶1,属基础题..【答案】B【解析】解：把点，ML门代入抛物线方程可得P；1,所以抛物线的方程为M2x,又直线AB,AC是圆（『2）LM1的两条切线，设切线方程为尸-23'?）,因为圆心到切线的距离等于半径，则有V—I1,解得1屋3,则直线AB的方程为12 1K『2j,直线AC的方程为＞2-V：3Q-2j,8（号一联立直线AB和抛物线的方程可求得「,c臣g-gz）同理可求得"八八,由直线的两点式方程可得，直线BC的方程为3.门6jr4I。.故选：B.

利用点A在抛物线上求出抛物线的方程，再利用直线与圆相切求出两条切线的方程，联立方程组求出B,C,利用直线的方程即可求解.本题考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了直线方程的求解、交点的求解，解题的关键是利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率．.【答案】D即「3）,用〕，，，町_丝变形可得八斗即「"）『口），即「即「3）,用〕，，，町_丝变形可得八斗即「"）『口），即「1。）「⑴，白。_e3变形可得'?；，变形可得汽5，曰五解：根据题意，设n 工，在区间（UJ）上，r〔门＜“，则八:门为减函数，在区间上，.「（"：*，则”门为增函数，其草图如图:则有［1＜0＜；1＜）＜1，故选：D.

根据题意，设厂“工，对三个式子变形可得""，.「31"Tj,"G=：3J,求出“门的导数，分析其单调性，可得「3门的大致图象，分析可得答案.本题考查函数的单调性的分析以及性质的应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题．.【答案】AC【解析】解：函数定义域5），不关于原点对称，D错误，因为/（星）="因为/（星）="0+1）+当时，门门工。恒成立，”工）单调递增，A正确，『/）=1—+ 1 =+2'，，Ulx）2uhv]2，当㈡-1时，r'mu，「。）单调递增且「（。）-J，故当:时，.「！工）＜3，/小）单调递减，当丁包ojs）时，.门上：）＞。，屋；口单调递增，又「（“）0,所以.「。门只有一个零点，B正确，1111因为「1二）"匕-L=-l-ln20…,C正确.故选：AC.先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，导数的几何意义及函数性质分别检验各选项即可判断.本题综合考查了导数与单调性，导数的几何意义，导数与函数性质的综合应用，属于中档题..【答案】BC【解析】解：由复数的形式可知，选项A错误；当门勺4门时，有门勺一门飞丁武兀-丁3）。,又工厂L所以々F3,故选项B正确；当勺/时，则,2门，所以馆逐2|2-|益益|2=。送2）。国2）一口逐。。h。二句句看了2々//国产。，故选项C正确；当;'1勺I；々/时，则丁1勺I-ll2-1-1，可得了U2-丁送1勺"-勺）L所以丁1々，故选项D错误.故选：BC.利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．本题考查了复数的模，涉及了复数模的性质以及模的运算，解题的关键是熟练掌握模的运算性质并能够进行灵活的运用．.【答案】BCD【解析】 1二解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由修/可得门L"1川"故选项B正确；正方形中易得』）「」平面8方，所以有小」小工故选项C正确；因为i*〃，5,且加上「八所以』"」，"，故选项口正确.故选：BCD.把展开图恢复成正方体，判断其直线平面的位置关系，充分利用平行，垂直问题求解.本题考查了折叠问题，恢复到正方体，运用几何体中的性质，判断位置关系，属于中档题，但是难度不大..【答案】ADcosZx CO52X-0【解析】解：对于A：函数'21m'一」"；一“二】〃门;-，；-4），所以满足「Q、：jm〕，故A正确；对于B："；'：）的几何意义为单位圆上动点1""2工'’与门与点「斗J连线的斜率的2倍，2相切时，最大值为'TJ故B错误；对于^当丁『一斗’。）时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故C错误；D）对于口：当.•一、4'”时动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故D正确；如图所示：故选：AD.故选：AD.直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质及三角函数与斜率的关系的应用判断A、B、C、D的结论.本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.即圆台的高为3,即圆台的高为3,所以其体积一声而=^x3x(52=^x3x(52+42+5x4)61",故答案为：6".由题意可知圆台的下底面为球的大圆，利用勾股定理求出圆台的高，再由圆台的体积公式即可求出结果．本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积公式，考查了学生的计算能力，是基础题.1.【答案】：【解析】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为八则,?T. _tan-)=2,1上力/日tQ刀fl二三解得!，1所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为:-；，-3.1故答案为：3;-3.设正方形一条边所在的直线倾斜角为国，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2,结合倾斜角与斜率的关系求出口仃地，利用正方形的性质即可得到答案.本题考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用、互相垂直的直线斜率关系的应用，解题的关键是求出其中一条边的斜率..【答案】％七"；'：【解析】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是P.""」’,又最小正周期为2,故函数可为n.故答案为："一".先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案.本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．.【答案】32【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差。在J「』"」」）的概率不小于u，'9545,邛则。J）匚JI5f.5）且？门， '门，0.5之2M所以…，解得，九仝北，即n的最小值32.故答案为：32.根据正态曲线的对称性知，要使得误差。在5川,5）的概率不小于U，9s45,问题转化为1j口-15。5）且1打…可求.本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量门和。的应用，考查曲线的对称性，属于基础题..【答案】证明：C）各项都为正数的数列白匚;.满足[J+22汽,：+1I，得，汽，+1-匚+2WL+1I"/,所以数列J+i：•是公比为3的等比数列；_33）因为“?,所以n管与」由11）知数列[匚+1；•是首项为2,公比为3的等比数列，

所以汽，"C|l所以汽，"C|l..'+L/父3',13"1 _3”i _1所以2 "，即％ 2,以E也符合.a3nl【解析】C）根据等比数列的定义，结合已知变形得，Q"。,.+2丸Q,"l"/，可证明;12）结合，；1）可得Q,"L，+L2x3，'」，变形得XV］，从而可求.本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的判断中的应用，还考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于中档题．3AR=_.【答案】解：！1）在四边形ABCD中，，ID,）］,若2,cos^ADB=2 2 2f—cos^ADB=2 2 2f—)24-I2-I22ABBD3=4所以:由于,"〃一D,所以乙川”：乙1BD,3ancos/lBDC=cosaABD=-即 斗，^t.rBC2=B/)2+CD2-2-BZ)-CD-COSzBDC=l2+l2-2xlxlx|=1所以,；二)设Bl卜:，则JB21*，，，,,人、丁e,口,人、丁e,口cosaADB—由余弦定理得：的+占关里/(2X)：+/一12ABBD2-=X,C05ZBDC=ZCD-BD2X1X1CD2^BD2-BC212+12-^52-x2C05ZBDC=ZCD-BD2X1X1x解得'3-1或-\：’3-11：负值舍去).所以门z"""1.【解析】！"直接利用余弦定理的应用求出结果；■J利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果.本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题..【答案】解：C)设部件1,2,3需要调整分别为事件A,B,C,由题意可知Phi)。1,PB)“上，P，"13,各部件的状态相互独立，所以部件1,2都不需要调整的概率PQ-B)P3l)PWDi4故部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1-『31”128.(2)工的所有可能取值为0,1,2,3,3；X,P。/・门P；Y)P；『〕P：.门8乂1715。4,,=1)=P(A-B-Q+P(A-B-Q+P(A-B-Q=0.1X0,8X0-7+0,9X0.2XD.74-0.?XO.0X0,30.398 ,：-l)PhlBfJL1MO.2XU；LUO6,,x,1-P(.k0"P(.T,-P(X,0』92,所以X的分布列为X0 1 2 3P15g U,U92 UjIUAE(X)=0x0.504+1x0.39+2x0.092+3x0.006=0.6.【解析】。)由相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可；(2)匕的所有可能取值为0，1,2,3,求出事件发生的概率，即可求得分布列及数学期望.本题主要考查了相互独立事件概率的计算，以及离散型随机变量的分布列及方差属于中档题．.【答案】解：。)因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，所以四棱锥的总曲率为5乂2卜4小G)设多面体的顶点数为V,棱数为£,面数为F,每个面分别记为加三口)边形，TOC\o"1-5"\h\zF F£(n「2)tt=h£〃「2vF=7tNE-2vF=2tf(E-F)则所有面角和为 , ' ,则多面体的总曲率为2" 4”，故这类多面体的总曲率是常数.【解析】。)利用多面体的总曲率的公式即可求解；（利利用多面体的总曲率的概念即可证明.本题考查了总曲率的概念的应用，考查了学生的推理转化能力，属于中档题．_b2_c2-a2.【答案】解：11）当广I|B广|且户广L1F时，有。 。=£=?所以汽，1；，则’。；；心八.由）由（I）可知，双曲线C：小一3小，^^B（asec6j3Gt（ine）（0<e<^可设（当|BF||.1「|且那」」「时，工“J2二巴IF‘9U''；T当BF与AF不垂直时，设上BJF-^atan0-0yl3tanQ乃力网。t~rjfifY— — —则, '心'J-"1汽.门I1IIJ心门，43sin6

7 ton2cy=2tfina_ 1+CO50ton2cy=Be6,7TT^）8（l+c。响 ^3sind212「“门-1j（.口c/iJ）3”sR-1，^3atariQ#sinOtan^BFA ^-r-tan2a而 Q"i”-Lt；心门-1 ，又小3E1，二孔lF<x，所以乙邛,12d2TB.1F._b2_c2-a2【解析】11）利用已知条件可得，L"口口，化简得到a和c的关系，即可得到答案；②设"＜‘"％】，然后分两种情况进行证明，（当BFL1F时，工＞£125L1F力「；」当BF与AF不垂直时，设工凡1F1■，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明.本题考查了双曲线的综合应用，涉及了双曲线上动点的设法、同角三角函数的应用、二倍角公式的应用，解题的关键是设B（f?sec0,\13.【答案】解：3）证明：/）…退……】,「（X）=ex-cosxA-sinx=e^sin（》-4）,（x）=g（x）=exA-sinx-\-cosx=e^A-^2sin（x-l--）,考虑到「（“）U,「1“）”,_,5un. /r-., _所以3当15-4时，"，此时门fJ当；*'4'打时，mru,所以「3：）单调递增，所以「2"fU）u,所以函数.「（门单调递减，“工）3"〕」）u,ro迦］|”当