偏微分方程的数值解法课后习题答案概要

第二章习题答案1.试讨论il近对流方程—=0的差分方程。

dt班此广1―熄〃”一般尸1)/ L+」 -*1)T h2)3 L+u——=0口r 2b的截断误差。~

1）解：设点为（犬JJMl）中则吟=认、&)="(,&+])+驾也(―切+0(?).dt口;1；二汉（力一口;1；二汉（力一1，/必）=笈（%.//J+加巧•应十1）dx所以截断误差为：裂我，】一口;所以截断误差为：裂我，】一口;我;“-我E= L+_i ：t h—(把+包”

dtdxdx「h—dx「h—。图）-尸…+di=0（r+h）72）®!设点为：（却，£叶I）“则吗=以勺&)=〃(,&+1)+ (f)+0(T>（我2）+口dt（我2）+口算"1="Oj+iJ/J=〃(兀jJ/i)+ ; (卜)+以4；：；="（％_1，4+1）=打（仃，44；：；="（％_1，4+1）=打（仃，4十］）+法（f%gdxM）+”/）*.-.就新误差为；"qip〃*一尸 也出E=上——+ 」一（―+—）~r h didx也（彳「与心）._ 双灯&+1）一双弓・/+】）+—耳—丁+0口）T

加f¥.£八/川X.f.,、2.试用积分插值法推导畀上。逼近的差分格式”71—般;或71工——+__^=o0~T hMg四、丁口「， 、7c解：11(—+—)^^=|(^,+OTj^=Op•3优dr,U JU-附近+玩2汇+笈3｝一亮4&=0E(j-1,n)F(j」n)G(j,n+l)H(广1通十l)v，4-ftjn2=〃； “3=”： "4=〃；-ih=hr=r,一成h+K"+LL；*h一笈:=Ouu JJ J,P784J.如果如'（0）=0,则称而是J（0）的驻点（或稳定点）。设矩阵A对称（不必正定），求证而是J。）的驻点的充要条件是！大。是方程Ax=b的解.dj2证；充分性；①⑷=JQo）+a（③oT㈤+二（4,力2①⑷=(刃/一瓦工)+2(工Zx)①'(0)=0而一九X)8若&（0）=0,即5仆一次力=0txw及鼠■飞一8=0即Ax=b^则x0是方程Ax=b的解。必要性：若为是方程Ax=b的解“则j4x0-i=0Q4xq—瓦1)=On$（0）二（念0-瓦力=01所以所是J（x）的驻点，P93p3=证明非齐次两点边值问题，+夕归=/a<x与下面的变分问题等阶：求以EH19%.（以）=G使J@.)=mmJ(w)其中u“（2）T，⑷=；以3,切—5%-「⑻短⑻，乙而以3"）如（2.13）（提示，先把边值条件齐次化）证明；令=vp(x)+v(z)其中印(兀)=a+(1一以)^^(a)=av(a)=0v(b)=0^所以〃TOC\o"1-5"\h\z上以二一;0号)+"=」欧dx 口dr,dwdp、、/ 、r=_~rlp{—十丁)]+Q+M=jax dx ax人「 出, 如、 ，，及 处 、上令 =-—(^―)+^v=/-(--7?--+^)=f^dx ax ax ax所以(1)的等价的形式。rd,孙、， /Lu=--(p-)^^=f1daxaxu(a)=a/(»)=0-^其中左二，一(一字+qw)，axax则由定理2.2知，y•是边值问题(2)的解的充要条件是JE明且满足变分方程”以口㈤-5J)=0WE*又9/)一(工⑷u=|(Zvt-fy)tdx+p@)v；(班® (3)y・2①⑷=，&)=J&.+丸〉=-a(u^+为”+龙)-(丁必+上)—p(b)规以♦⑻+龙⑼]21=3)+孙3，/)-(/~@)龙(砌+彳。3乙日3•/）一（〃）- d=’6字小+q以/_fiW-p®恿3）*'，°axax=「（£氏-/,小+「@）〃；（句“勾一户（4）4（3）=>（4）所以可证得。3必要性：若电是边值问题（1）的解.则卬・7=0“:3）二产所以a3.x）一（/X）—「。）#@）二0 ①'（6=0且而用>二中@〃解：由上一题知:(2.28)等价于口rd/小八，/ddwv£2^="-Qi?)+^v=/-(--^―+^)=/^以ax axaxv(a)=0 v'(^)=0^v|(Zv一f^idx=|p +qvt一jQdx=0*,g gdxdx' 」即a(yQ-Gi©=0"又因为以①⑷一(加)=「加一九纭k+9(如'⑸我如*e所以v(b)=/3)-M®=-®-g卜一衣=Lu-f所 以①/)—(力©=『⑪-力以天+M句以1(g@)一7。)#3)二o,♦2又因为血£)-(/,£)“也dudt「一=[p---+qui-ft]dx^、。dx西=p@)t/@)£@)+|{Lu-所以得⑶#@)=0"即以是(2.28)的解的充分必要条件为，4@〃)一(九0一》@)就@)=。口P93y5：试建立与边值问题尸.d%. ,La=-j-+玄=/ a<x<匕》加u(a)=u'(b)=0 %0)=/(5)二0的等价变分问题J解：设Vve/fi且v(a)=v\a)=Ov(b)=v=0^『3 r$fO?RdI(Zw-fy^dx=i——vd?x+Imv-•2 皿办'「号曲 dv,—rvL_—r—dx.'dx?y治d必必/八一,、 ■,八，八、■‘、、、f"d"ad^v.(b)v(^)-u@>@)+打⑷y⑷+「加戒d"=2⑶ t/@"⑻+a'(a)S⑷+(^~^udx3qd£又v(a)=v(a)=v(i)=v(h)=0^所以f整小小余介-4广力 r?V-d所以I{Lu—f)vdx=Iu——-+Iwv-Jvdx^・2 皿靖s_2.4*y 一其中次讥》=|u—r-+uv)dx是一个双线性泛函。J・。d?x4所以迫值问题的变分问题为“求u&Hg使得da@”)-CAM=0，爪e*且v(a)=v(a)=0找出)=/(b)=UpJ⑸=3(&X>—(/M〃乙P103^3；试就pazsso^方程。.3)的非齐次定值条件(3.31)——+anI=5a:>=0^

沏lr导出等价的变分问题。解:取一特定函数入2C%)+”■+叫|二户令v=ti-u^则dndv.门—+^vL="&?则得(3.3) (3.31)的等价问题会—Av=j+A%二尸v加 I p——+dtvl=0~灰lz所以7(v)=1(-Av,V)-(F,p)^2=；①,y)-(F,r)"乙Ti【(少+(第收的+；Iavds-f|Fvdxdy^2-dx砂 2•y-1nr/^\2/次」tfduM也也。2JQ勺)+(—)dxdy-I[-___+—--]^279zdy7也所在中常数算+—|ailds—|aiitiQds-|\fitdxdy-(\h.ii^udxdy+TOC\o"1-5"\h\z21 )—p•aja」般/a?j •Ajy ・・=Jg)R俘等+=等收砂+J(粤-灼加T他遇心办工力Bxdydy ;dn -+常如其中J(u)-［f［史史1+丝_曳£］欧砂+|au"而一(jjudxdy^:以办办8； -1；又由格林第一公式知道〃［JuIT仔答+*筌两办一］争功7 7班班®® :独原问题的变分问题的为〃求li,eH\(u)使得UJQJ=minSa..--wjj|J(y)=—|j[- jau2ds-||judxdy-|肉ds2』.小小 办办2； •』 ；6.P104/4/试就腌圆方程第一边值问题，口(3.32)-V(r7%)+g=」,(x,y)eG,w|r=g建立等价的极小位能原理和虚功原理，其中左=左(i,y)e/(G),噢>0,"beC@),b20Je£“◎geC(T),而〃「「「、d,.du.ddie、V(归V%)二 (k )+ (k )."dxdxdydy解；（1）极小位能原理；d设劭wc"。）为一特定的数，w0\T=g令解；（1）极小位能原理；d设劭wc"。）为一特定的数，w0\T=g令v=u-u^则得（3.32）的等价问题；~〜 a%,-V（A：Vv）+ov=尸=」+—（纪一^）—明勿沙 8JIt=0J(y)=1(―v07切+ —(F,y)2=-||-V(Wv)v^+-||加七二心,|[四心心乙G 乙G G*J||-V(^Vv)vcfx^y加、1)1—)]vdxdy=- v+尢udxdxd2vv]dxdyi v+ V飞dxdxdydykv)dxdy]Gre近%一公式N，dk:5vdk:111 v+ v股o+d皤等等岫砂一年"oxoxcyoy j,o）2=脑少+（即M星砂班dyTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"：i•dv3udv *.,・令4=H^(——+——f)dxdy+Hcuvdxdy^砺赤方力 。点则九w=Le»）—（艮y）“2下面回到原问题♦,八 1J⑺=5以忆切一（凡日乙=；U上噂一筌）2+仪当_等）2]小砂+1。6以一%）2石右2飞®k uy 2飞一口L/+3（左等）+（（上等）-g°]3-%）心功》dxdxdydy1rrri/也、全,,班、）、,,ft-du面介du独力、,,{t>n,二K伏%-）+上（77）]以的一武丁二一十kK"）"不分十©&xdy2^oxdy 3&x&x&ydy力-II -||JudTdy-|j[^-（^^）* * %浙班第二章第三章第四章第五章第六章pl99“1.试从二次泛函〃出发导出差分方程。，解：J（〃）=•!4 |（%_-,匚）2小一々（"匕+七2工士无H2〜等（%-*，）|*2£a= 2J（〃）对小走偏导等于0*-,/-%-i/-%-i_%」—%_2r-h--h-2J•»T17fdx--|/dx=CM2xu“i-2%+%]但一/-2=/1=12…,N“i%其中0i=77T（I/dx+l了dx）〃2力；_ ；1.用积分插值法导出逼近微分方程（2.1）的差分方程。

JUi•(2.1)Lu=——(p—)+rdxdxJUi•a<x<bp,q,r」eC（l＞可以直接积分"a<x<b在［a,对内任一小区间［x⑴⑵］上积分有一w(x⑴)-w(x⑶)+J尸竺dx+［q葭dx=J/x("dx* 人其中w(x)=p也在［a,3］上连续.,dxr—ax+

dxIqudx=取［X⑴，五⑵］为对偶单元［五1，五r—ax+

dxIqudx=W(X］)=—W(X1)吃 啊/ 、du•.•W(X)=p——dx也=皿dxp(x)du,cw(x),——dx=-dxpdx/p(x)R/T%%逢W(x1)f—!—dx(中矩形公式)y… 4/。⑶w（x,1）领/%-i）（j -（；J-y-，三 二P（x）K瓦二。⑶令名=（—f」-dx）（XquXqudxR々+々包％4其中同=——［2 %十如X!q(x)dx。p200.4^4.构造逼近♦（p〃"）"+‘打"+广w=/于（4,b）"（a归以'（a）=0，〃（5）=〃'（/＞）=03的中心差分格式。6解：取少+1个节点,以=而＜xi＜……＜号＜……人= 1J=l,2, ,N, h=max无”X1=:(为-1+号)7=12 N")2则有，d〃du %一%-I2 L—J.1L—J1—； 一一： d2udx入dx力如加"3 %+/ %+/~2~ -Fd2d2u“必"[以加一4 %一%-i1 22)[乌p吗卜/d/2rdd，,rddM[7Pyr〕i-丘。"7^].i信.l+'idxdx1+]axdxr« -信.l+'i[。/+l-[p曲[p^-[pR>\ ]. ： -Pi[-陶+2+自.1)4.12__(公]2__(公]+%)公1 垢1%一%-; 2 -% %+%)%-2（%+如）如d2d2d2d2u1 1[pi+i(/a-2%.i+%〉-2Pi(%.「2%+%.iP210d1,用积分插值法构造逼近方程~（3.21）-V（kVu）="[W.虫）+2（先生）卜/的第-dxdx分格式，这里k=发（五，y）> >0^-'解：1)正则内点解：1)正则内点d于G0.上积分(3.21)式，一-J[V(kVu)dxdy=JJfdxdy^由Green第一公式得：小-[^kds

京dn=\\Jdxdy^J+J+LZ、+J4)•上ds=]JJdxdy/du.?du.—kds=———kdn dy也7Jdu? J—"，J?——kds=——ki%=ki—— 饱，dndx，♦衬 ，\Jh[r du 以3 —%3I—kds=—k1况i=k ~~士h!加dy国3 % ’f—kds=—k]h2=k]上山_—%~；dndx ，"J力]；.综上有：“以；，•[—tii,, 以丘1,，i tlqiliq,,-[<i岑2+ki「：J±+k-””+k2方 力2 ’V "1 2、 %="/,其中做/=3"/dxdy«力也G1)非正则内点"

2.用积分插值法构造逼近方程（3。21）的第二边值问题的五点差分格式。解：1）正则内点，同第一题中1）标2）非正则内点2）非正则内点9同第一题中2）♦在界点口处于曲边三角形ABC上对(3.21)式积分,-jjV(kVu)dxdy=JJfdxdy^hABC IlABC~ff^-kds=JJjdxdy^~(~(.U)—kdsJJ/dxdy/

aabc，B(x,y)kds=3ok，B(x,y)kds=3ok於鑫*一 »1 »0— —AB