首都师范2014年高等代数真题解析

首都师范大学2014年高等代数解（15分求一个3次多项式f(x)，使得f(x)x21的余式是3x4x2x1的余式3x【解答f(x)(axb)(x2x1)3x5(axb)(x21)ax2(b3)x(axb)(x21)a(x211)(b3)x(axab)(x21)(b3)x5f(x)x(x2x1)3x5x3x24x（15分求行列1100010001000001【解答

1D11a1；D21a1a1a2Dn(1an)Dn1anDnDn1an(Dn1Dn2)Dn1Dn2an1(Dn2Dn3累

D3D2a3(D2D1 DD(1)n2(DD)a(1)n2aaa(1)n2 n1

1

innDnDn1(1)n2ai iDn1Dn21)n3ai iD3D2(1)32 i

nDDaaaaaaa(1)n2n 12 123 n2

n j2 Dn1a1a1a2a1a2a3a1a2a3a4 ai1 ai j1 （15分求下列100个变元的方程

x1x2x3x 2x3x4xx3x4x5【解答将相邻的方程组两两相加，得

x98x99x100x99x1001x1x4x71)k 3kx2x5x81)k x981k3kx3x6x91)kx3k3x99k即x3k11)kxk1x3k21)kx21)k1kx3x2x11x1mR

(1)k

n3k1,k n3k2,k(1)k1(1 n3k3,k（15分 bM2阶实方阵组成的线性空间，B

2

义映射fMM

b4fAABBA(AMff下的矩阵【解答

00

0,0

1,0

0,0

11X,YMkRf(kXY)(kXY)BB(kXY)k(XBBX)(YBBY)k(X)f(YX,Ykff(A)ABBAvec(f(A))vec(ABBA)(BTI)vec(X)(ITB)vec(X)(BTIITB)vec(X0f在基0

0,0

1,0

0,0

1下的矩阵1

0

0 BTIITB b 0

b b33

0 b b b 2 2（15分

b4

b4 0x1 设f(x1x2x3(x1,x2x3Ax2为三元实二次型（A为三阶实对称矩阵）B为三维x3 几里得空间V中的单位球面 aa

fB上的最大值为2a3

【解答xTBxaxTxxBa对应的特征向量时，取得等号。事实上，aEB为半正定矩阵，故对任n维列向量x，有xT(aEB)xaxTxxTBxxTBxaxTx。xTBxaxTx当且仅当xT(aEB)x0，由于aEB为半正定矩阵，故当且仅当(aEB)x0，即xB的特征值a对应的特征向量。正交，则Aw与V正交。（15分A为半正定对称矩阵。证明trA)0，并且trA)0当且A0时成【解答AA的特征值均非负，故trA0，并且trA0A的特征值都是0，即A0时成立。（15分设A为78实矩阵。记AT为A的转置阵。证明ATA是半正定对称阵，但不是正定的【解答ATA)TATAT)TATAATA8xxTATAxAx)TAx0，由xATArATA)rA)78ATA不可逆，故不是正定的（15分Anf(x)fA)(f(xA(x))1（A(x)A的特征多项式【解答充分性：若(f(xA(x))1，则存在u(xv(xR[x，使得u(xf(xv(x)A(x1，uA)fAvA)AA)uA)fA)1fA)为可逆阵。fA为可逆阵。记f(xA(x))d(xf(xd(xf1(x于是d(A)不可逆， ！故d(x)1，即(f(x),A(x))1（15分

1设3阶正定对称方阵A的特征值为6,3,3，而1是特征值6的特征向量，求1【解答A的特征值3对应的特征向量即方程(1,1,1)x0的非零解，求之，可得两个正交的解 11

6 ，将三个特征向量单位化，则P ，则P为正交矩阵1,1

2 60

2 PTAP

，因

A