高三年级数学(理科)综合内切球及外接球问题(附习题)

...wd......wd......wd...高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点。一、直接法(公式法)求正方体的外接球的有关问题例1假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为______________.解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故外表积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的外表积为，那么该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3〔2007年天津高考题〕一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，那么此球的外表积为.解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的外表积为.例4、各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，那么这个球的外表积为〔C〕.A.B.C.D.解析：长、宽、高分别为2，2，43.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，那么这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为，高为，那么有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径..小结此题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，那么其外接球的外表积是_______________.解把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.那么有.∴.故外表积.小结一般地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，那么就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，那么有.出现“墙角〞构造利用补形知识，联系长方体。例6.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为〔A〕A.B.C.D.解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为例7〔2006年山东高考题〕在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，那么三棱锥的外接球的体积为〔C〕.A.B.C.D.解图3析：〔如图3〕图3，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全一样了例8〔2008年浙江高考题〕球的面上四点A、B、C、D，，，，那么球的体积等于.解析：，那么此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.〔如图4〕图4图42、构造长方体例9.点A、B、C、D在同一个球面上，，，假设，那么球的体积是.图5解析：构造下面的长方体，于是为球的直径〔如图5〕图5三.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，那么此球的体积为.解球心必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.∴.∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.五.确定球心位置法例5在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，那么四面体的外接球的体积为〔C〕A.B.C.D.解点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，.故.【例题】：三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。解：所以知所以取斜边的中点，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为1.〔陕西理•6〕一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是〔〕A．B．C．D．答案B2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假设,，那么此球的外表积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的外表积为.3．正三棱柱内接于半径为的球，假设两点的球面距离为，那么正三棱柱的体积为．答案84.外表积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，那么此球的体积为A．B．C．D．答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，那么此球的直径为，应选A。5.正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于〔〕A.2B.C.D.答案D6.〔2006山东卷〕正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9答案C7.〔2008海南、宁夏理科〕一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为．答案8.〔2007天津理•12〕一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，那么此球的外表积为．答案9.〔2007全国Ⅱ理•15〕一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的外表积为cm2.答案ABCPDEF10.〔2006辽宁ABCPDEF锥的侧面积是________．答案11.〔辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考〕棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案12.〔2009枣庄一模〕一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体外接球的外表积为 〔〕 A． B． C． D．以上都不对答案C13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为EQ\f(2\r(3),3)，那么它的外接球的外表积为〔〕 A．B．2πC．4π D．答案C1．〔20