n维欧氏空间上正交变换的分类

论文题目《正交变换的分类》N维欧氏空间上正交变换的分类摘要：本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定义，再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。最后讨论普通几何空间中正交变换的类型。最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分类．关键字：欧氏空间正交变换分类正交变换的概念定义1设V是一个欧氏空间，。是V的一个变换.若。保持向量的内积不变，即Va,卩WV,都有〈。(a),。(0)〉=〈a,0〉 ⑴则称。是V上的一个正交变换.从定义1容易看出，V的正交变换保持向量的长度不变，保持两个非零向量的夹角不变，保持正交性不变．命题1・1欧氏空间V上的正交变换。一定是线性变换.证先证Va,0WV,有Q(a+0)=o(a)+o(0).事实上，(o(a+0)—(a(a)+a(0)),a(a+0)—(o(a)+o(0))〉=1o(a+0)|2—2〈a(a+0),a(a)+a(0)〉+la(a)+a(0)l2=la+012—2〈a(a+0),a(a))—2(a(a+0),a(0)〉+la(a)l2+|a(0)|2+2〈a(a)，a(0)〉=|a+0|2—2〈a+0,a〉—2〈a+0,0〉+lal2+l0l2+2〈a，0〉=la+0l2—2〈a+0，a+0〉+la+0l2=0，所以a保持加法运算.同理可证a(ka)=ka(a),VaEV,k^R.故a是V的一个线性变换. 口从命题1.1和定义1容易得出,正交变换保持两个向量之间的距离不变.命题1.2欧氏空间V上的正交变换a—定是单射.因此，有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换.证因为〈a(a),a(a)〉=〈a,a〉，所以VaEKeraoa(a)=0o〈a(a),a(a)〉=0o〈a,a〉=0oa=0.从而Kera=0.因此a是单射.此时，当dimV=n,则a是满射，所以a是双射，故a可逆. 口注意到欧氏空间V的任一自同构a均保持内积不变，因此由命题1.2立得推论1・1有限维欧氏空间V的变换a是正变变换的充分且必要条件为a是欧氏空间V的自同构. 口我们可从另外一个角度来刻画正交变换，即定理1・1欧氏空间V到自身上的变换a是正交变换的充分且必要条件为a是保持向量的长度不变的线性变换.证必要性从定义1和命题1.1立即得到.充分性设aEEndV,且保持向量的长度不变，则a,0EV,有〈a(a+0),a(a+0)〉=〈a+0,a+0〉. (2)(2)式的左边、右边分别为:q(a)+q(卩)q(a)+q(卩)=|q(a)I2+2；q(a)q(卩)；：+|q(卩)I2=IaI2+2\Q(a),q(卩)+I卩I2,Ia|2+2〈a,卩〉+'|B12.所以，〈o(a),o(0)〉=〈a,0〉.故。是正交变换. 口显然，欧氏空间V的任两正交变换。，t的乘积仍然是正交变换．n维欧氏空间的正交变换定理1・2设。是n维欧氏空间V的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：TOC\o"1-5"\h\z。是正交变换； _若a〔，…,a是V的一个标准正交基，则a(ai),—,a(a)也是V的标准1正交基； 1 n。在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵.证1)=2)因为〈。(a.),。(a.)〉=〈aa.〉=3力丄1，2,…,n；且o(a)H。，.=1，…，n〔所以〔(a〉，•…a(a)是V的一个标准正交.基． 1 n=3)任取V的一个标准正交基a1，-,a.由假设知a(a[)，•・・，a(a)也是V的标准正交基.从而由基a：，…，a到基。(a丿，…，。(a")的过渡矩阵A是正交矩阵，即 "1no(a…，a)=(a…，a)A. (3)⑶式说明。在基a…,a下的矩阵是A，故3)成立.=1)取V的一个标准正交基a^…，an，设。在这个基下的矩阵是正交矩阵A.Va=(a，…，a)X，卩=(a；…,a)Y^V，则1n 1no(a)=(a…,a)(AX),a(p)=(a…,a)(AY).由于a…,a是V的标准正交基，所以 n1〈o(a),。(卩)〉=(AX)f(AY)=Xf(AA)Y=XY=〈a,p〉.因此。是正交变换.口据上，在标准正交基下，n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应．因而可利用正交矩阵将正交变换分类．注意到正交矩阵的行列式等于1或－1．因此，行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于－1的正交变换称为第二类的．n维向量空间的任意一个n－1维子空间称为一个超平面．例1在欧氏空间V中取一个标准正交基a「…,a.定义V上的一个线性变换。，使得 1na(a)=—a，a(a.)=a.，.=2，…，n，则。在基a「…,J下的矩阵为A=diag(—1,I」).显然A是正交矩阵，因此。是正交变换.由于IAI=—1，因此—。是第二类的.这个正交变换是关于超平面W=L(a2，…，a)的一个镜面反射(参见本节习题第2题)． 2 n普通几何空间中正交变换的类型

下面讨论几何空间V2和匕的正交变换有哪些类型？设。是V2的一个正交变换，。在V2的一个标准正交基｛Y1，Y2｝下的矩阵是U='ab、，、cd丿则U是一个正交矩阵.因此a2+c2=1，b2+d2=1，ab+cd=0． (4)由第一个等式，存在一个角3使a=cos3,c=±sin3.由于cos3=cos(±3)，±sin3=sin(±3)，因此可设a=cosq,c=sinq.这里申=3或一3•同理，由(4)的第二个等式，存在一个角屮，使b=cos屮，d=sin屮.将a,b,c,d代入(4)的第三个等式得cos^cos屮+sin^sin屮=0，或cos(申一屮)=0.最后等式表明，申一屮是巴的一个奇数倍•于是2cos屮=sinq，sin屮=土cosq.所以•、•、一sinqcosq丿sinq一cosq?对前一情形，。是将V2的每一向量旋转角q的旋转；对后一情形,o将V2中以(x，y)为坐标的向量变成以(xcosq+ysinq，xsinq—ycosq)为坐标的向量•这时o是关于直线y="anq]x的反射.这样，V2的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射2．若是后一情形，可以取V2的一个标准正交基｛筠，卩3｝，使o在基世，卩」下的矩阵为卩0]•现在设o是V3的一个正交变换，o的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r.令Y]是o的属于特征值r的一个特征向量，并且取Y]是一个单位向量•再添加单位向量Y2，Y3使｛Y],Y才Y3｝是V3的一个标准正交基.则可设o在这个基下的矩阵为(rst]

U=0ab•fcd丿由于U是正交矩阵，则有r2=1，rs=rt=0，从而r=±1，s=t=0.于是

ff土1ff0,0由U的正交性推出，矩阵bj是一个二阶正交矩阵•由上面的讨论，存在一个角申使在前一情形，f土1ff0、00cos申

f土1ff0、00cos申

sin申在后一情形，根据对V2的正交变换的讨论，我们可以取V3的一个标准正交基｛Y],卩2,卩3｝使。在这个基的矩阵是T=f土1ff0,0若在T中左上角的元素是1,则重新排列基向量，。在基｛卩3,卩2,YJ的矩阵是 3232f-1ff0,0若左上角的元素是一1,则。在基｛卩2,盯丫｝下的矩阵是231(100、00、0-10二ff0cos兀-sin兀100-1J:0sin兀cos兀丿这样，V3的任意正交变换。在某一标准正交基｛矩阵是下3列三种类型之一：a1，a2,a3｝下的、f-100、，ff010丿:001丿9f-100、00、f-100、ff0cos申-sin申—ff0cos申-sin申ff0101