三角函数必备知识点及练习

三角函数必备知识点.任意角的三角函数：弧长公式：laR R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。1一扇形的面积公式：S—lR R为圆弧的半径，l为弧长。2三角函数(6个)表示：a为任意角，角a的终边上任意点P的坐标为(x,y),它与原点的距离为r(r>0)那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是:y一,cotaxx一,seyrr.yca—,xcsca②商数关系：tanasinacotacosacosasinay xsina—，cosa—，tanar r同角三角函数关系式：①倒数关系：tanacota1③平方关系：sin2acos2a1(5) 诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) k-/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性x函数sinxcosxtanxcotxasinacosatanacota2asinacosatanacotaa2cosasinacotatana.两角和与差的三角函数:(1)两角和与差公式：cos()cos()cosacossinasinsin(a)sinacoscosasintana(atanatan1tanatan注：公式的逆用或者变形(2)二倍角公式:sin2a2sinacosa- 2 .2 2 - 2 )cos2acosasina12sina2cosa1tan2a2tana tana(atanatan1tanatan注：公式的逆用或者变形(2)二倍角公式:sin2a2sinacosa- 2 .2 2 - 2 )cos2acosasina12sina2cosa1tan2a2tana 从二倍角的余弦公式里面可得出1tana降哥公式：cos2a(3)半角公式(可由降哥公式推导出)：1cos2a2,2 1cos2asina 2,a1cosaa1cosa,a1cosasin- J---,cos-J ,tan- 、 2 2 2 . 2 2 ，1cosasina1cosa1cosasina3.三角函数的图像和性质：(其中kz)三角函数ysinxycosxytanx定义域(-OO,+oo)(-OO,+oo)xk2值域[-1,1][-1,1](-OO,+oo)最小正周期T2T2T奇偶性奇偶奇单调性[2k 2,2k 万]单调递增3[2k -,2k -]单调递减[(2k1),2k]单调递增[(2k,(2k1)]单调递减(k2,k "2)单调递增对称性xk—2(k,0)xk(k一,0)2j0)零值点xkxk2xk最值点xk — ymax12xk- ymin 12x2k, ymax1；x (2k1) ,ymin1无4.函数yAsin(x)的图像与性质:(本节知识考察一般能化成形如 yAsin(x)图像及性质)(1)函数yAsin(x(1)函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期都是T函数yAtan(x)和丫Acot(x )的周期都是T口3一五点法作yAsin(x )的简图，设tx，取0、一、 、士一、2来2 2求相应x的值以及对应的y值再描点作图。关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。(附上函数平移伸缩变换)函数的平移变换:①yf(x)yf(xa)(a0)将yf(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)②yf(x)y(上加下减)函数的伸缩变换：①yf(x)y1②yf(x)y(上加下减)函数的伸缩变换：①yf(x)y1八 一一倍(w1缩短，0w②yf(x)y的A倍(A1伸长，函数的对称变换：f(x)b(b0)将yf(wx)(w0)将yw1伸长)Af(x)(A0)将y0A1缩短)f(x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来①yf(x)yf(x))将yf(x)图像绕y轴翻折180°(整体翻折)(对三角函数来说：图像关于x轴对称)②yf(x)yf(x)将yf(x)图像绕x轴翻折180。(整体翻折)(对三角函数来说：图像关于 y轴对称)③yf(x)yf(x)将yf(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)④yf(x)yf(x)保留yf(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动).三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换， 提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：asinbcos aa2b2sin()其中cos-=J=,sinLba2b2 a2b2常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”。哥的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降哥处理，有时需要升哥例如：J1cosa常用升哥化为有理式。公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、 逆用及变形。结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较

去选择更合适、简捷的方法去解题目。利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： sinacosa,sinacosasinacosa,已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法)：①yasinxb(或acosxb)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②yasinxbcosx型：引进辅助角化成y后一b2sin(x )再利用有界性③yasin2xbsinxc型：配方后求二次函数的最值，应注意sinx1的约束④yasinxb型:反解出sinx,化归为sinx1解决csinxd⑥ya(sinxcosx)bsinxcosxc型：常用到换元法： tsinxcosx,但须注意t的取值范围：t注意t的取值范围：t<2。(3)三角形中常用的关系：sinAsin(BC),sin2Asin2(BC),练习题：. 一 、2 /口1.y(sinxcosx)1是(A.最小正周期为2冗的偶函数C.最小正周期为冗的偶函数cosAcos(BC),cos2Acos2(BC))B.最小正周期为D.最小正周期为,ABCsincos 2 22九的奇函数冗的奇函数,一•一…正…一，…一一一…-…一….为得到函数ycosx,一•一…正…一，…一一一…-…一….为得到函数ycosx—的图象，只需将函数 ysinx的图像(3兀A.向左平移」个长度单位6C.向左平移55个长度单位6.若sin0且tan 0是，则. 兀B.向右平移」个长度单位6D.向右平移5工个长度单位6是()A.第一象限角B.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角4.函数f(x)sinxcosx的最大值为( )A.1B.J2C.<3D.25.函数ysin(2x&)图像的对称轴方程可能是(2 2 2 22 2 2 2A.xB.X12C.X6D.X126.函数6.函数y=cosx(x£R)的图象向左平移式为()A.-sinxB.sinx7.已知函数f(x)一个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析2C.-cosxD.cosx(1cos2x)sin2x,xR,则£(*)是(C、C、最小正周期为的偶函数A、最小正周期为 的奇函数、最小正周期为—的奇函数2、最小正周期为一的偶函数28.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为( )A.-3,1 B.-2,2C.-3,3 D.-2,-2 29.将函数ysin(x)的图象F向右平移一个单位长度得到图象3F',若F'的一条对称9.将函数ysin(x)的图象F向右平移一个单位长度得到图象3F',若F'的一条对称轴是直线的一个可能取值是(A.152B.512C.1112D.111210.函数f(x)10.函数f(x)sinx 是xsinx2sin2A.以4为周期的偶函数为周期的奇函数C.以2为周期的偶函数A.以4为周期的偶函数为周期的奇函数C.以2为周期的偶函数为周期的奇函数11.若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于MN的最大值为( )12 12 C. 3 D.2一， 冗 4L-一， 冗 4L-，12.已知cos— sin—v3,则sin6 57工的值是(A.23B.2、3C.D.13.sin330A.B.C.A.23B.2、3C.D.13.sin330A.B.C.D.332.tanxcotxcosx()A.tanxb.sinxc.cosxD.cotx.把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动 一个单位长度，再把所得图象31 一上所有点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，得到的图象所表布的函数是(上所有点的横坐标缩短到原来的2A.ysin2xB.sinC.ysin2xD.sin2x、一516.设a sin—72cos72tan7abacbcD.17.A.ysin2xB.sinC.ysin2xD.sin2x、一516.设a sin—72cos72tan7abacbcD.17.函数y(sinxcosx)21的最小正周期是A.一2C.D.18.在同一平面直角坐标系中,2函数ycos(x1一)(x[0,2])的图象和直线y-的交点个数是()A.0 B.1 C.2 D.419.若角的终边经过点P(1,2),则tan2的值为20.fxcosx-620.fxcosx-6的最小正周期为一，其中0,则521.设21.设x 0,—,则函数22sin2x1y 的最小值为sin2xcos23cos2.右sin(一)一，则2 5.函数f(x)=43sinx+sin(2+x)的最大值是.求函数y74sinxcosx4cos2x4cos4x的最大值与最小值。

0)的最小正周期为久..已知函数f(x)sin2x3Ss\nxsinx— (0)的最小正周期为久.2(I)求的值；(n)求函数f(x)在区间0,2」上的取值范围.3226.已知函数226.已知函数f(x)2cosx2sinxcosx1(xR,0)的最小值正周期是-.(I)求的值;(n)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.27.已知函数f(x)cos(2x—)2sin(x—)sin(x—)27.已知函数(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程(n)求函数f(x)在区间［—,一］上的值域12228.已知函数f(x)28.已知函数f(x)2sin-cos-273sin2-73.4 4 4(I)求函数f(x)的最小正周期及最值;(])令g(x)(])令g(x),判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.222兀2兀3练习题参考答案:.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A1.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.CTOC\o"1-5"\h\z.4 20.1021. 33 22. 7— 232\o"CurrentDocument"3 2524.解：y74sinxcosx4cos2x4cos4x\o"CurrentDocument"2 272sin2x4cosx1cosx2 .272sin2x4cosxsinx2.72sin2xsin2x21sin2x62由于函数zU1 6在 1,1中的最大值为2Zmax 11 610最小值为2Zmin 11 66故当sin2x1时y取得最大值10,当sin2x1时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降哥，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25.解：(I)f(x)25.解：(I)f(x)1cos2x2旦n2x2'.3.c1 -——sin2x-cos2x2 2花sin2x-6因为函数f(x)的最小正周期为冗，且0,2所以父冗，解得1.2TOC\o"1-5"\h\z, 兀 1(n)由(I)得f(x)sin2x一 一.\o"CurrentDocument"6 2因为0WxW

一 兀所以一w2x6所以—<sin2x-01,

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