结构动力学基础

《结构动力学基础》2010年9月《结构动力学基础》目录绪论体系的运动方程建立单自由度体系的振动多自由度体系的振动频率和振型的实用计算方法一、绪论1.1动力荷载及其分类1.2结构动力学的研究内容和任务1.3结构动力分析中体系的自由度1.4结构的动力特性1.5建立结构运动方程的一般方法1.1动荷载及其分类

所谓动荷载是指：随时间变化，且作用结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不可忽视，这种荷载称动力荷载，简称动荷。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。1.1动荷载及其分类

动荷载可有多种分类方法，常见的是：动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载1.2结构动力学的研究内容和任务

结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.2.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第一类问题：反应分析——正问题1.2结构动力学的研究内容和任务

结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.2.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示控制系统（装置、能量）输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第二类问题：参数（或称系统）识别1.2结构动力学的研究内容和任务

结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.2.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示控制系统（装置、能量）输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别。二、三为反问题1.2结构动力学的研究内容和任务

结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.2.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第四类问题：控制问题1.2结构动力学的研究内容和任务1.2.2结构动力学的任务结构动力学的任务是:

讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。1.2.3与其它课程间的关系首先，结构动力学要求较熟练掌握已学过的力学知识。其次，要求较好地掌握已学的数学知识（数学中未学的，在学习过程中将会介绍）。结构动力学为工程结构的抗震、抗风设计等提供依据。结构动力学基本原理、方法适用于一切工程。1.3结构动力分析中的自由度1.3.1自由度的定义

确定体系中质量位置的独立坐标数，称作体系的自由度数。

应注意：自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系。1.3.2实际结构自由度的简化方法实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：1)集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。1.3结构动力分析中的自由度2)广义坐标法以简支梁无限自由度体系为例，设梁上任意一点的位移可分离变量成y(x,t)=Y(x)T(t)，而Y(x)和里兹法一样可用满足位移边界条件的“基函数”（例如正弦级数）线性组合来逼近，组合系数就是广义坐标，从而将无限自由度系统变成有限个广义坐标的系统。因此，简化系统的自由度就是广义坐标数。

如果不考虑轴向变形，则图示平面集中质量系统的自由度分别为：

如果不考虑轴向变形，则图示空间集中质量系统的自由度分别为：

请考虑计轴向变形结果如何？222334641.3结构动力分析中的自由度3)有限单元法和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。由于将专门介绍，这里不再赘述。

虽将简单介绍有限单元法，但本部分主要讨论集中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解，但如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知量个数一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。1.4结构的动力特性

结构受动荷载作用，它的反应不仅和动荷载有关，而且还和结构本身固有的特性（包括结构阻尼、频率谱和振型等）有关。设有单自由度的刚架和桁架，如果它们具有相同的阻尼、频率，在相同动荷载下将具有相同的反应。可见结构的固有特性能确定动荷下的反应程度，因此将他们称作结构的动力特性。1.4.1自振频率和频率谱外界干扰消除後，系统在平衡位置附近所产生的振动，称作自由振动（无外荷作用的振动）。自由振动的频率称自振频率，简称自频。1.4结构的动力特性

实际结构有小于等于（一般等于）自由度数的自振频率，将其按从小到达依次排列，此排列称作频率谱。频率谱中最小的频率称作基本频率，简称基频。其后依次称为第二、三等等频率。他们可以通过计算和试验得到。不同结构频率谱的分布是不同的。象单跨梁、不计扭转振动的房屋等，相邻两频率间隔较大，这样的频谱称稀疏型的。对于空间结构、考虑扭转振动的房屋等，频谱中存在密集区，这样的频谱称密集型的。结构的动力反应和它的频谱有密切关系。1.4结构的动力特性1.4.2结构的振型当在一定条件下结构按频谱中某一频率振动时，在任意时刻各质量的位移都保持同一比例，也即变形形状是固定的。这一变形形式称作此频率对应的振型。与基频对应的振型称第一振型或基本振型，其他依次称第二、第三振型等等。振型也可通过计算或实验得到，在多自由度体系分析时，它是重要的工具。1.4.3结构的阻尼实际结构的自由振动都是衰减的，经一定时间后将仍处于平衡。这说明振动过程有能量耗散，这种能量耗散作用称作阻尼。1.4结构的动力特性

产生能量耗散的原因很多，如材料的内摩擦、周围介质对能量的吸收等等。至今为止，对阻尼机理仍然是没有解决的问题。为了在动力分析中考虑阻尼的影响，使分析更符合实际，人们提出了种种关于阻尼的假定。这些假定统称作阻尼理论。限于学时，这里只介绍一种常用的“等效粘滞”阻尼理论。所谓等效粘滞阻尼是假设：导致能量耗散是由于存在阻尼力，它和运动的速度成正比，方向和速度方向相反。这比例系数称阻尼系数，其数值由试验确定。根据这一理论，单自由度的阻尼力为。阻尼系数速度1.5建立结构运动方程的一般方法

要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方法很多，择常用的简单介绍如下：1)应用达朗泊尔原理，通过列瞬时“动平衡”方程来建立。由于下一章将专门介绍，这里不赘述。2)虚功法根据达朗泊尔原理和所假设的阻尼理论，在质量上考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该处于“动平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力（动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚变形功。也即通过列虚功方程象1)一样来获得运动方程。由于是用虚功方程来建立平衡条件，称虚功法。1.5建立结构运动方程的一般方法3)利用哈密顿原理来建立运动方程——变分法分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、势能和耗能（分别记作T、EP、V），获得如下哈密顿泛函根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于零来建立“动平衡方程”——运动方程。当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则，是有阻尼情况。用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、阻尼力和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。二、体系的运动方程建立2.1建立运动方程的基本步骤2.2运动方程建立举例2.3体系运动方程的一般形式2.4应注意的几个问题2.5刚度法、柔度法列方程的步骤2.6运动方程建立总结2.1建立运动方程的基本步骤

作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为：

1)确定体系的自由度——质量独立位移数；

2)建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；

3)根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；

4)根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；

5)取质量为隔离体并作受力图；

6)根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程就是运动（微分）方程。列平衡方程称刚度法2.1建立运动方程的基本步骤

作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为：

1)确定体系的自由度——质量独立位移数；

2)建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；

3)根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；

4)根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；列位移方程称柔度法5)将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。2.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系运动方程例-1)试建立图示结构的运动方程。h

m

EIP(t)解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设x坐标向右（右手系）。

又设横梁（质量m）位移为u，以它为隔离体，受力如图所示。P(t)h

列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为

图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实际直接可由形常数）得到2.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系运动方程解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。

将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定l/2l/2m例-2)试建立图示抗弯刚度为EI简支梁的运动方程。（不计轴向变形）l/2l/2fIfdP(t)P(t)

由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为因此在所示“外力”下，质量的位移为2.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系运动方程例-3)试建立图示结构的运动方程。h

m

EIP(t)解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设质量m位移为u，向右为正。根据达朗泊尔原理和假设的阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受力如图。P(t)h

由超静定位移计算可得（如图示意）h

1

因此，外力下位移为显然，整理後结果和例-1）相同，k=-12.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系运动方程解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。l/2l/2m例-4)试建立图示抗弯刚度为EI简支梁的运动方程。（不计轴向变形）P(t)因此由所示“外力”平衡可得1RP(t)RRfI+fd

利用对称性由（形常数）可得质量点处所加支杆竖向位移v时的R（=？）。以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定显然,整理後结果和例-2)相同，k=-12.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系运动方程解：将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定仅在P(t)作用下m的位移由位移计算得l/2l/2m例-5)若例-2)简支梁动荷载作用在3l/4处,试建立其运动方程l/2l/2fIfdP(t)P(t)

由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为思考：P-1的物理意义是什麽？

因此在所示“外力”下，质量的位移为2.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系运动方程解：设质量水平位移为u，向右为正。例-6)试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽象化模型的运动方程。因此由所示“外力”平衡可得mk

以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力fe。根据达朗泊尔原理和阻尼假定cmP(t)P(t)fIfefd

由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运动方程的最终形式都是一样的。2.2运动方程建立举例单自由度体系运动方程建立小结

任何单自由度结构，运动方程都可写为式中：m质量；c阻尼系数；k刚度系数；Peq为等效动荷载。当动荷载直接作用在质量上时，Peq为动荷载的合力在运动方向的投影；当动荷载不作用在质量上时，Peq为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力。

用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。

没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系运动方程

以矩阵方程表示，整理後可得记作[d]称位移阵记作[P]称荷载阵记作[f]称柔度阵记作[M]称质量阵记加速度、速度矩阵分别为和则上式可写为记作[C]称阻尼阵

取质量为隔离体，加惯性力fIx、fIy，阻尼力fdx、fdy和弹性恢复力fex、

fey。2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系运动方程fIxfdxfexPxfIyfeyfdyPy

由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结果可得

列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下记作[k]称刚度阵由两例系数结果可证[k]=[f]-12.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系运动方程解：为用刚度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移。例-7)试用刚度法建立图示剪切型结构的运动方程。k1和k2为层侧移刚度。

由层刚度定义可得1h1h2k1k2h1h2