概率论与数理统计4.1-4.2

第四章作业题

P99:1,2,4,6;P105:1,2,4;P111:1,3,4;P115:1,2,3,4;P122:1,3,5;P128:1,4;P136:1,2;P144:3,5,6,12,13,15.

第4章多维随机变量及其分布§4.1多维随机变量及其联合分布

有些随机现象用一个随机变量来描述不够，例如1、在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.

2、飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标）来确定的等等.3、研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标4、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。

设随机试验E的样本空间是Ω.X=X()和Y=Y()都是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的变量(X,Y),称为二维随机变量.

二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究.

为此,首先需要引入二维随机变量(X,Y)的分布函数的概念.定义：设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：

称为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数

X的分布函数一维随机变量X

如果把(X,Y)看成平面上随机点的坐标.

取定x,yR1，

F(x,y)就是点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率.

见右图.由上面的几何解释,易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:

x1<x≤x2,y1<y≤y2

内的概率

P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)

说明二维分布函数F(x,y)的四条基本性质1.F(x,y)是单变量x,y的非减函数.

即yR1取定,当x1<x2时,

F(x1,y)≤F(x2,y).

同样,xR1取定,当y1<y2时,

F(x,y1)≤F(x,y2).2.x,yR1

有0≤F(x,y)≤1

yR1,F(-∞,y)=0，

xR1,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1其中:3、F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)

即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。4、P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0（I）二维离散型随机变量

如果二维随机变量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是二维离散型随机变量.

二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值也是有限个或可列无穷个.

二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律i,j=1,2,…k=1,2,…离散型一维随机变量Xk=1,2,…X的概率分布联合分布律也可以用表格表示.(II)二维联合分布律与二维联合分布函数设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

piji=1,2,;j=1,2,.

于是

(X,Y)的分布函数例：设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1—X中等可能地取一个整数值，试求（X，Y）的联合分布律。

并计算P(X>Y)

解：于是（X,Y）的联合分布律为例

设有10件产品,其中7件正品,3件次品.现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回.令:X=1：若第一次取到的产品是次品.X=0：若第一次取到的产品是正品.Y=1：若第二次取到的产品是次品.Y=0：若第二次取到的产品是正品.求:二维随机变量(X,Y)的联合分布律.例、设X~Exp(λ),令求(Y1,Y2)的联合分布律(I)联合概率密度函数

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y).如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,总有则称(X,Y)为连续型随机变量,f(x,y)为二维随机变量的联合概率密度.(III)二维连续型随机变量（X,Y）~

X~对二维连续型r.v(X,Y)，其联合概率密度与联合分布函数的关系如下：在f(x,y)的连续点例设(X,Y)的概率密度函数为其中A是常数.(1)求常数A.(2)求(X,Y)的分布函数；(3)计算P{0<X<4,0<Y<5}.例：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

（1）求概率P(X<1);(2)求概率1、n维随机变量或n为随机变量：E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e},设是定义在Ω上的随机变量，由它们构成一个n维变量，叫做n维随机变量或n为随机变量2、随机变量的分布函数或联合分布函数：常见多维分布(一)多项分布-二项分布的推广设每次试验共有k种不同的可能结果将该实验独立地重复n次，用X1,X2,…Xk表示发生的次数，则(X1,X2,…Xk)服从多项分布，其联合分布律为(二)二维均匀分布定义

设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:则(X,Y)称

服从D上的均匀分布.(X,Y)落在D中某一区域A内的概率P{(X,Y)A},与A的面积成正比而与A的位置和形状无关.P{(X,Y)A}=A的面积/d解:例2

设(X,Y)服从圆域x2+y2≤4上的均匀分布.

计算P{(X,Y)A},

这里A是图中阴影部分的区域

圆域x2+y2≤4的面积d=4

区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5

∴P{(X,Y)A}=0.5/4=1/8若二维随机变量（X,Y）具有概率密度记作（X,Y）～N()则称（X,Y）服从参数为

的二维正态分布.其中均为常数,且(三)二维正态分布

§4.2多维随机变量的边缘分布(一)边缘分布函数

二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).

其分量X和Y也都是随机变量,也有自己的分布函数,将其分别记为FX(x),FY(y).依次称为X和Y的边缘分布函数.

而把F(x,y)称为X和Y的

联合分布函数.FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)

X和Y的边缘分布函数,本质上就是一维随机变量X和Y的分布函数.之所以称其为边缘分布是相对于(X,Y)的联合分布而言的.

同样地,联合分布函数F(x,y)就是二维随机变量(X,Y)的分布函数,之所以称其为联合分布是相对于其分量X或Y的分布而言的.注意求法例:

设(X,Y)的联合分布函数为求关于X和Y的边缘分布函数(λ>0).一般，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为(X,Y)关于Y的边缘分布律为X和Y的联合分布律为(二)二维离散型随机变量的边缘分布律

0123

012

0.8400.0300.0200.0100.0600.0100.0080.0020.0100.0050.0040.0010.9000.0800.0200.9100.0450.0320.0011.000

（三）、二维连续随机变量的边缘密度函数X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X,Y的边缘密度函数为例设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度例、设(X,Y)的联合密度函数为求（1）边缘密度函数（2）例

设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布,求:X和Y的边缘概率密度.解:当x<-1或x>1时当-1≤x≤1时（注意积分限的确定方法）

由X和Y在问题中地位的对称性,将上式中的x改为y,就得到Y的边缘概率密度:（X,Y）～N()X~N(0,1),Y~N(0,1)

结论

说明对于确定的1,2,1,2,当不同时，对应了不同的二维正态分布。对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系