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常微分方程习题课(13)课件制作：王利平周金华湖南大学数学与计量经济学院1/31/20231作业难点讲解典型例题讲解思考与练习题内容总结1/31/20232因此对于给定微分方程,判断其类型是解题的关键！n定义方程的阶数

Pi(x)是否为函数定义常系数与否

f(x)是否为零定义是否齐次方程

ki是否全等于1定义方程是否线性一、内容总结完1/31/20233当n=1时,要求我们掌握变量分离型方程、齐次方程、一阶线性微分方程即分离变量积分即得.作变量代换化为分离变量型.q(x)=0为分离变量型.q(x)=0,常数变易.Bernoulli方程完1/31/20234设曲线积分在右半平面内与路径无关,其中f(x)可导,且f(1)=1,求f(x).例1解:设曲线积分在右半平面内与路径无关,则即二、作业讲解(P20-T3)1/31/20235方程是一阶非齐次线性微分方程.可以用常数变易法解上关于f(x)的线性非齐次方程,也可以用求解公式,此时q(x)=1,求得又f(1)=1,求得完1/31/202361.设函数是微分方程的两个不同的特解,则该方程的通解为____________.三、典型例题分析例2概念类型2.微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程的充要条件是

______________.1/31/202373.若是的任意两个解,则

必须是方程_______________的解.完4.方程的通解为_______________.1/31/20238参考答案完1/31/20239解1.原微分方程可以化为可以用常数变易法解上关于y的线性非齐次方程,也可以用求解公式,此时p(y)=-1,q(y)=2ye-y求得求解微分方程例31/31/202310解2.原微分方程可以化为1/31/202311解3.原微分方程可以化为所以原微分方程为全微分方程,存在函数u(x,y)满足1/31/202312于是代入u(x,y)的表达式得1/31/202313解4.……判断出原微分方程为全微分方程,存在函数u(x,y)满足完1/31/202314解方程例4解:由分子分母组成的线性方程组得交点(1,1)令X=x-1,Y=y-1,原方程化3为解上齐次方程得代回原变量得完1/31/202315解方程y(1+xy)dx-xdy=0例5*解:由原方程重写得完ydx-xdy+xy2dx=0积分因子全微分方程1/31/202316求解下列一阶微分方程.exe1四、思考与练习题完1/31/202317提示：1.化为齐次方程求解;2,8.伯努利方程,化为线性方程求解;4.非齐次线性方程,常数变易或公式;5.作u=x+y代换,化为已知方程;６.非线性方程,作变量代换y'＝p求解;７.同时乘以

凑成为全微分方程;3.全微分方程；完1/31/202318exe2完exe3质量为1kg的质点受到外力F作用做直线运动,外力F与时间t成正比,与质点的

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