保险精算学-确定年金

五种利息支付方式：dd(p)/p

d(p)/pd(p)/p…………d(p)/pi(p)/p

i(p)/pi(p)/p…………i(p)/pi时间01/p2/p3/p(p-1)/p11111利息贴现

在日常生活零存整取、债务分期偿还等都是在相等的时间间隔上做的一系列支付，我们称之为年金。

第2章年金

(Annuity)

年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出。

年金的分类一般地，年金可以分为如下的两大类：

1.

确定年金：只要事先约定就会确定支付的年金；

2.

或有年金：收付的发生，以某指定事件是否发生而定.比如，生存年金以被保险人生存为支付年金的先决条件.其它分类方法收付时点不同：

1.普通年金或期末付年金

2.预付年金或期初付年金时间期限不同：定期、延期、永续年金.时间间隔不同：年度、一年多次、连续年金.利率变动与否：变动利率年金和不变利率年金。标准年金确定年金的标准型：由于年金的形式多种多样，为了便于研究，常常确定一个年金的标准型。标准年金：指付款时间间隔相等、每次付款额相等、在整个付款期内利率不变且计息转换周期与付款周期相同的年金。

2.1

确定年金的现值(1)n年定期年金的现值..例1：某君从银行借款20,000元，规定在今后十年内等额还清，还款时间为每年年末，若贷款复年利率为5%，求每年的还款额.例2：某君从银行借款50000元，计划从第7个月开始每月底等额还款，从借款时算起，期限3年还清.设复年利率为6%（不是名义利率），求每月的还款额X.分析：还款周期为月，3年为36个月，因为从第7个月开始还款，必须30个月还清.

我们先计算还款的现金流在第7个月初的现值，然后，再计算它在借款时的现值...2.2年金终值

(AccumulatedValueofAnnuity)年金终值是一项年金在全年金收付期末的价值，它等于一系列等额收付款在年金收付期末的终值之和.(1)n年定期年金的终值n-1n-2年金特点：每年年末支付1元，一共支付n次n-2等比数列{an}的前n项之和

总结:基本年金公式推导例4：某君每月初存款50元，共存了10年，设年利率为9%（不是名义利率）.问：如果按复利计算，则10年末能得多少元？2.3变额年金n

年定期递增年金(期末收付年金):

12kn金额012kn

年份第一年末收付1元，以后每年末收付增加1元，一共收付n

次。求其现值：....期末收付时的终值期初收付n

年定期递减年金期末收付：n

n−1

1

金额012n

年份第一年末收付n元，以后每年末收付减少1元，一共收付n

次。期末收付期初收付永续递增年金2.2.4连续年金t变动利率年金的现值当年金每年的利率并不固定时，就是一个变动利率年金。设第t年的年实际利率为it,年金额为1，期末支付。则变动利率年金的现值计算分为两种：

1.每次支付的现值都是以支付时的利率计算

2.每笔支付在不同的时期都以当期利率计算2.5年金例题

在日常生活零存整取、债务分期偿还等都是在相等的时间间隔上做的一系列支付，我们称之为年金。

第2章年金

(Annuity)

年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出。

年金的分类一般地，年金可以分为如下的两大类：

1.

确定年金：只要事先约定就会确定支付的年金；

2.

或有年金：收付的发生，以某指定事件是否发生而定.比如，生存年金以被保险人生存为支付年金的先决条件.其它分类方法收付时点不同：

1.普通年金或期末付年金

2.预付年金或期初付年金时间期限不同：定期、延期、永续年金.时间间隔不同：年度、一年多次、连续年金.利率变动与否：变动利率年金和不变利率年金。标准年金确定年金的标准型：由于年金的形式多种多样，为了便于研究，常常确定一个年金的标准型。标准年金：指付款时间间隔相等、每次付款额相等、在整个付款期内利率不变且计息转换周期与付款周期相同的年金。

2.1

确定年金的现值(1)n年定期年金的现值..例1：某君从银行借款20,000元，规定在今后十年内等额还清，还款时间为每年年末，若贷款复年利率为5%，求每年的还款额.例2：某君从银行借款50000元，计划从第7个月开始每月底等额还款，从借款时算起，期限3年还清.设复年利率为6%（不是名义利率），求每月的还款额X.分析：还款周期为月，3年为36个月，因为从第7个月开始还款，必须30个月还清.

我们先计算还款的现金流在第7个月初的现值，然后，再计算它在借款时的现值...2.2年金终值

(AccumulatedValueofAnnuity)年金终值是一项年金在全年金收付期末的价值，它等于一系列等额收付款在年金收付期末的终值之和.(1)n年定期年金的终值n-1n-2年金特点：每年年末支付1元，一共支付n次n-2等比数列{an}的前n项之和

总结:基本年金公式推导例4：某君每月初存款50元，共存了10年，设年利率为9%（不是名义利率）.问：如果按复利计算，则10年末能得多少元？2.3变额年金n

年定期递增年金(期末收付年金):

12kn金额012kn

年份第一年末收付1元，以后每年末收付增加1元，一共收付n

次。求其现值：....期末收付时的终值期初收付n

年定期递减年金期末收付：n

n−1

1

金额012n

年份第一年末收付n元，以后每年末收付减少1元，一共收付n

次。期末收付期初收付永续递增年金2.2.4连续年金t变动利率年金的现值当年金每年的利率并不固定时，就是一个变动利率年金。设第t年的年实际利率为it,年金额为1，期末支付。则变动利率年金的现值计算分为两种：

1.每次支付的现值都是以支付时的利率计算

2.每笔支付在不同的时期都以当期利率计算2.5年金例题........例8某公司决定用五年时间建立一笔专用基金，办法如下：每年初存入一笔款，数量为逐年等额递减2万元。从第六年开始每年末提取1万元作为奖金。假如年利率为3%，求第一年初的存款额。解：设第一年存款额为X万元。分解与平衡（一）01234567.....XX-2X-4X-6X-8011……..分解XXXXX0-2-4-6-811……..平衡点选择平衡关系式：收入现金流的终值=支出现金流的现值....分解与平衡（二）01234567.....XX-2X-4X-6X-8011……..分解XXXXX0-2-4-6-811……..平衡点选择平衡关系式：收入现金流的现值=支出现金流的现值

为什么是5次方？..........2.6随机现金流的期望现值下面，我们讨论资金的期望价值.习题3、某君每月初存款100元，共存了5年，设年利率为5%，问：如果按复利计算，则5年末能得多少元？4、某单位每年末存入银行20万元，5年后，每年末取出一部分作为专项奖励基金发放，共发放8年，每年发放金额相等，若年利率按3%计算，求每年能发放的最大金额。01234567AAABBBB5%7%5、如图所示，考虑一个两阶段的年初付的变额年金：第一阶段：1~3年，金额A=100元，年利率=5%；第二阶段：4~7年，金额B=200元，年利率=7%。按复利计算此年金的现值及终值。6、有一项年金，第一年初支付100元，以后每年递增100元，直至永远，如果年利率为3%，求其现值。假如该年金规定10年后可以按新的年利率等额支付，仍为永续年金，假设新的利率为5%，在原有基金的基础上，求10年后每年的支付额。假若，10年后改为5年定期等额年金，年利率为5%，求每年的支付额。7、有一项特殊年金，第一年末支付1000元，然后每年递增500元，增加到最高值10万元后，又逐年递减，每年减少1万元，减到5万元后保持不变，直至永远，年利率恒为5%，求其现值。0123…199200201202203204205…