第02章 轴向拉伸与压缩a

第二章轴向拉伸与压缩一、轴向拉压杆的概念二、轴向拉压杆的内力和应力材料力学三、轴向拉压杆的变形四、材料在拉压时的力学性质五、强度条件、安全系数、许用应力六、拉压杆的超静定问题§2.1

轴向拉压杆的概念一、定义二、工程实例第二章轴向拉伸与压缩一、定义轴向拉伸§2.1

轴向拉压杆的概念线方向伸长的变形形式——载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴（轴向压缩）（缩短）木压杆二、工程实例§2.1

轴向拉压杆的概念1.桥的拉杆§2.1

轴向拉压杆的概念2.挖掘机的顶杆§2.1

轴向拉压杆的概念3.火车卧铺的撑杆§2.1

轴向拉压杆的概念4.广告牌的立柱与灯杆§2.1

轴向拉压杆的概念5.小亭的立柱§2.1

轴向拉压杆的概念6.网架结构中的杆§2.1

轴向拉压杆的概念§2.2

轴向拉压杆的内力§2.2轴向拉压杆的内力Ⅰ.内力的概念材料力学中内力指的是：物体受到外力作用而产生变形，所引起的物体内部各质点之间相互作用力改变量的合力。Ⅱ.横截面上的内力(截面法+平衡方程）由

Fx

=0：得到§2.2轴向拉压杆的内力mmⅡFFN

轴力FN轴力的符号规定：§2.2轴向拉压杆的内力——作用线与杆的轴线重合的内力指离截面为+，指向截面为-。轴力图——轴力沿轴线变化的图线Ⅱ.横截面上的内力mmⅡFFN例1画出图示直杆的轴力图。解：1-1截面：求得：1.求轴力由Fx=0：§2.2轴向拉压杆的内力例1画出图示直杆的轴力图。2-2截面：求得：由Fx

=0：解：1-1截面：1.求轴力§2.2轴向拉压杆的内力例1画出图示直杆的轴力图。求得：由Fx

=0：3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求轴力§2.2轴向拉压杆的内力例1画出图示直杆的轴力图。3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求轴力讨论：

1．在求内力时，能否将外力进行平移

？注意：1．在用截面法求内力时不能随意进行力的平移；2．用截面法一次只能求出一个截面上的内力。2．能否一次求出两个截面上的内力

？§2.2轴向拉压杆的内力例1画出图示直杆的轴力图。轴力图不仅能显示出各段的轴力大小2.作轴力图而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求轴力§2.2轴向拉压杆的内力试作图a所示杆的轴力图。例题§2.2轴向拉压杆的内力由轴力图可见例题§2.2轴向拉压杆的内力[例2-2]

杆受力如图，容重,画出轴力图解:(1）求轴力FN（x）x(2）画轴力图xPPxFN（X）FNxP+ALP§2.3轴向拉压杆的应力§2.3横截面上的应力§2.3轴向拉压杆的应力一.研究应力的意义在求出截面上的内力后，并不能判断构件是否破坏构件的破坏与单位面积上的内力有关FFAFF2A试问：下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？

应力

——单位面积上的内力（即内力的集度）一、应力的概念§2.3轴向拉压杆的应力二、拉压杆横截面上的应力1、几何分析变形现象：推知：（1）横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线

——

平面假设（2）两横截面间的纵向线段伸长相同(均匀变形）两横向线相对平移§2.3轴向拉压杆的应力即：应力均匀分布（2）应力的方向与轴力相同。的应力相同（1）横截面上各点FFsN§2.3轴向拉压杆的应力结论：二、横截面上的应力2.物理分析FFa'd'c'b'3.正应力公式正应力的符号规定：拉应力为

+，压应力为

-。

拉应力——背离截面的应力

压应力——指向截面的应力§2.3轴向拉压杆的应力二、横截面上的应力FFa'd'c'b'FFsN（2）不适应于集中力作用点附近的区域（圣文南原理）（1）载荷的作用线必须与轴线重合适用范围[例]悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作应力。（1）分析AB受力:当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究解：QBCC1.9m0.8m§2.3轴向拉压杆的应力QA不计变形带来的结构尺寸变化，仍按未变形尺寸计算。QABCAQBCBC1.9m0.8m(2)求AB杆的最大工作应力§2.3轴向拉压杆的应力试求图a所示正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。例题§2.3轴向拉压杆的应力1.作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力Ⅱ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)§2.3轴向拉压杆的应力实验表明：有些构件是沿横截面破坏的有些构件则是沿斜截面破坏的§2.3轴向拉压杆的应力三、斜截面上的应力铸铁轴向拉伸铸铁轴向压缩1.斜截面上的内力斜截面上：§2.3轴向拉压杆的应力横截面上：FFkkNa即：FFkkam横截面上：斜截面上：全应力2.斜截面上的应力FFkkNapaFFkkam§2.3轴向拉压杆的应力正应力和切应力：§2.3轴向拉压杆的应力结论：和是

的函数。2.斜截面上的应力FkkpatsaantaFFkkampFFkkNaa讨论：1.横截面

=

0，2.纵截面

=90，3.斜截面

=45，4.斜截面

=

-45，F§2.3轴向拉压杆的应力几个特殊截面上的应力§2.4轴向拉压杆的变形、胡克定律一、纵向变形和横向变形二、胡克定律第二章轴向拉伸与压缩三、纵向变形和横向变形关系一、纵向变形和横向变形§2.4轴向拉压杆的变形、胡克定律纵向线应变：1.纵向变形符号：伸长为+，缩短为–

纵向伸长：线应变无量纲一、纵向变形和横向变形横向线应变：横向缩短：横向变形与纵向变形反号2.横向变形§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律二、胡克定律(英国科学家Hooke，1676年发现)§2.4轴向拉压杆的变形、胡克定律1.第一种形式实验表明：当载荷小于某一数值时引入比例常数E，因F=FN，有

E—材料的弹性模量。反映材料抵抗弹性变形的能力，单位：Pa

EA—杆的抗拉(压)刚度。表明杆抵抗纵向弹性变形的能力2.第二种形式

将第一种形式改写成即称为应力—应变关系二、胡克定律(英国科学家Hooke，1966年发现)§2.4轴向拉压杆的变形、胡克定律三.纵向变形和横向变形关系实验表明：当载荷小于某一数值时式中——泊松比，为无量纲量，(Poisson,法国科学家)即为材料常数

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律2）构件的工作应力（线弹性范围内）；3）轴力FN、横截面面积A为常量——等直杠两端受轴向力；讨论：1.轴力变化时1）l为“+”时伸长，为“-”时缩短，符号规定与轴力一致。拉为“+”，压为“-”。2.横截面变化时：三.公式的应用范围与注意事项BCA

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律CAB阶梯状杆徐变截面杆：锥角较度小，如≤10

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律

例图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l解:

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律例:求受拉锥度杆的总伸长量FFLxdxx解：徐变截面杆取dx微段研究：故：

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律由

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律解：1）求轴力FN（x）2）求变形：取微段dx研究FNxF+ALFFFxxxdxFN（x）[例]求考虑自重影响的等直杆变形。已知P、杆长L、A、E、容重。dxFN（x）+dFN（x）FN（x）

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律[例]求图示结构结点A的垂直位移。解:②①

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律解:[例]求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

例题§2.3轴向拉压杆的应力用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图b所示。由SFy=0，得径向截面上的拉应力为解§2.3轴向拉压杆的应力求题中所示薄壁圆环的直径改变量Dd。已知E=210GPa

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律解:1.已求出圆环径向截面上的正应力为

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律2.薄壁圆环沿圆环切向的线应变e（周向应变）与径向截面上的正应力s

的关系符合胡克定律，即

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律圆环直径的改变量(增大)为3.圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系：

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律1、应变能

§2.5轴向拉压杆的应变能§2.5轴向拉压杆的应变能也可2、应变能密度（比能）对于均匀变形，单位体积的应变能也可

§2.5轴向拉压杆的应变能BBC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。E=200GPa，P=60kN，试求B点的铅垂位移。解：（1）分析构件受力：取B点研究P（“-”表示与图示方向相反，为压力）PB[例]简单托架如图。DC4m3m

§2.5轴向拉压杆的应变能BDC3mPP4m（2）分析计算B点的位移：假想把B节点松开，B受力后B点移到其位移

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律

§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律

§2.5轴向拉压杆的应变能§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质一、标准试样二、低碳钢在拉伸与压缩时的应力—应变曲线§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质三、灰铸铁在拉伸与压缩时的应力—应变曲线材料的力学性能——在载荷作用下材料所表现出的变形与破坏等方面的特性§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质试验条件：常温(室温)、低温、高温静载、动载低碳钢和灰铸铁是力学性能比较典型的常用工程材料一、标准试样

采用标准试样的目的：为了比较不同材料的力学性能§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质1.拉伸试样l——标距（1）圆形截面§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质一、标准试样一、标准试样（2）矩形截面l

——标距或1.拉伸试样§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质一、标准试样（1）短圆柱形（2）

立方形2.压缩试样l=1.0~3.0d§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质二、低碳钢在拉伸与压缩时的应力—应变曲线1.低碳钢在拉伸时的应力—应变曲线§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质（1）拉伸图（载荷——变形图、F—l

图）

F—l

图与

A和l

有关反映该试样在某一标距下的力学性能

材料的力学性能应与试样的几何尺寸无关将载荷——变形图改造成应力——应变图§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质取：（2）应力—应变曲线（

—

曲线）§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质做法：Ⅰ.弹性阶段(Ob)

线弹性阶段(Oa)变形过程的四个阶段：

应力与应变成正比§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质Ⅰ.弹性阶段(Ob)线弹性阶段(Oa)变形过程的四个阶段：即：——胡克定律§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质Ⅰ.弹性阶段(Ob)

线弹性阶段(Oa)比例极限(p)——线弹性阶段最高点

a

所对应的应力值变形过程的四个阶段：弹性极限(e)——弹性阶段最高点

b

所对应的应力值§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质屈服应力(s)——屈服阶段最低点

c

所对应的应力值变形过程的四个阶段：Ⅱ.屈服阶段(bc)

又称为屈服点(流动阶段)§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质变形过程的四个阶段：Ⅱ.屈服阶段(bc)(流动阶段)§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质抗拉强度(b)——强化阶段最高点

e

所对应的应力值变形过程的四个阶段：Ⅲ.强化阶段(be)§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质Ⅳ.颈缩阶段(ef)：变形过程的四个阶段：(局部变形阶段)§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质在强化阶段卸载时（3）两个现象即：使材料的比例极限提高，塑性变形减小的现象2.冷作硬化卸载时的应力与应变成线性关系§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质1.卸载定律（4）两个塑性指标a.伸长率

规定：

=10

<5%的材料为脆性材料低碳钢：=20

~

30%§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质=10

5%的材料为塑性材料——反映纵向塑性变形程度的量值（4）两个塑性指标b.断面收缩率低碳钢：

=

60

~

70%§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质——反映横截面的塑性收缩程度的

量值三.其他材料的拉伸性能有些材料拉伸过程中没有明显屈服阶段，如Mn钢通常规定以产生0.2％的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用σP0.2来表示名义屈服极限§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质2.低碳钢在压缩时的应力—应变曲线§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质拉压时低碳钢的σP、σe、σs几乎相同，低碳钢的拉压性能相同二、灰铸铁在拉伸与压缩时的应力—应变曲线§2.6材料在拉伸和压缩时的力学性质灰铸铁的拉压性能不同，耐压不耐拉例：填空题。1．低碳钢的拉伸应力应变曲线有四个特征点，其中

比例极限是确定

是否适用的界限；弹性极限是

的界限；

强度极限是产生

现象的开始。胡克定律颈缩材料不产生残余变形2．

材料的强度指标是

，

它们是衡量材料的

；

材料的塑性性能指标是

，

它们是衡量材料的

。

屈服极限和强度极限抵抗破坏的能力塑性变性的能力伸长率和断面收缩率

3．低碳钢的拉伸应力应变曲线如图，若加载至强化阶段的c点，然后卸载，则应力回到零的路径是沿

。

4．三种材料的应力应变曲线如图，则弹性摸量最大的材料是

。强度最高的材料是

。塑性性能最好的材料是

。§2-7强度条件、许用应力和安全因数一、失效的概念二、危险截面与极限应力三、许用应力与安全因数§2.7强度条件、安全系数、许用应力一、失效的概念§2.7强度条件、安全系数、许用应力

2.塑性屈服

3.压杆失稳失效的形式：

1.脆性断裂失效——构件不能正常工作的现象二、危险截面与极限应力危险截面极限应力(u)最大工作应力(max)1.几个名词§2.7强度条件、安全系数、许用应力——由于载荷引起的构件内最大应力——最大工作应力所在的横截面—材料达到失效时的应力值2.极限应力的选取低碳钢铸铁§2.7强度条件、安全系数、许用应力三、许用应力与安全因数安全因数（n）许用应力（[]）

反映了安全与经济之间的矛盾即:显然，n>1，根据材料的性能与工程等级等因素而定§2.7强度条件、安全系数、许用应力——保证材料安全工作的最大应力值—保证材料安全工作的安全储备①计算模型与实际结构之间的差距；②材料性能具有一定的分散度；③制造尺寸的误差；④载荷估计带来的误差。（1）主观认识与客观实际之间的差距（2）安全储备§2.7强度条件、安全系数、许用应力安全系数（

n）四、强度条件§2.7强度条件、安全系数、许用应力对于等直杆对于非等直杆强度计算的三类问题

2.选择截面：

1.校核强度：

3.确定许用载荷：

已知[]、F和A，检验已知[]和

F

，求已知[]和A，求

§2.7强度条件、安全系数、许用应力例：图示三角形托架,其杆AB由两根等边角钢组成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,选择等边角钢型号。解：

例图示起重机，钢丝绳AB的直径d=24mm，[σ]=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载P。解：由平衡方程得：根据强度条件即：应力集中——在孔、槽等截面尺寸突变或集中力作用的

附近区域内，应力局部增大的现象。FF2-8应力集中§2.8应力集中1.应力集中的概念光弹性等差线图§2.8应力集中光弹性等差线图§2.8应力集中2.应力集中系数应力集中系数——最大局部应力max与其所在截面上的平均应力的比值即：显然，k>1，反映了应力集中的程度§2.8应力集中3.减小应力集中的措施（1）将突变改为缓变，做成圆弧形；（2）使用塑性材料。塑性材料对应力集中敏感性小§2.8应力集中§2.9

简单拉压超静定问题一、超静定问题的概念二、超静定问题的一般解法三、装配应力四、温度应力一、超静定问题的概念§2.9简单拉压超静定问题平面力系：共线力系汇交力系平行力系平衡方程数：未知力数：

122122§2.9简单拉压超静定问题平面力系：共线力系汇交力系平行力系平衡方程数：未知力数：122234二、超静定问题的一般解法(1)列出平衡方程；(3)列出物理方程（即胡克定律）；(2)根据杆或杆系的变形几何关系，建立变形几何方程（变形协调方程、变形协调条件）；(4)联立求解。§2.9简单拉压超静定问题例图示两端固定直杆，已知：F，l1，E1，A1，l2，E2，A2，求：FA，FB。

解：为一次超静定问题1．静力平衡方程2．变形几何方程(1)(2)3．物理方程(3)ABlll12CFFAB1F2FAFN1FBFN24．联立求解，得到讨论：当E1=E2，A1=A2时

例

一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F作用下各杆的轴力解:

(1)受力分析--平衡方程1

2

3

l

a

a

a

2

B

C

A

D

F

F

D

A

B

C

F

N1

N2

F

N3

F

(2)

变形分析—协调条件（求补充方程）(3)胡克定理(4)联立求解得A

B

B'

C

D

D

l

1

D

l

2

C'

D

l

3

得出补充方程三、装配应力1.装配应力的概念装配后为：静定结构超静定结构§2.9简单拉压超静定问题装配应力——由于装配后所产生的应力2．计算方法

按超静定问题求解§2.9简单拉压超静定问题[例]如图结构，中间杆短h,求装配后内力。解：静力平衡条件：变形协调条件：引用胡克定律：例

两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为l=200mm。现需将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计。解：画出结构装配简图，并可确定装配后3杆受压，1、2杆受拉B

B

1

A

A

2

C

C'

3

C

C

1

1

1

a

a

D

e

l

1

=

D

l

1

2

D

l

A

C

B

B'

A

C

B

1

2

1

1

1

C'

A'

D

l

3

(1)列出平衡方程,一次超静定问题

变形分析—协调条件（求补充方程）

因铸件可视作刚体，其变形相容条件是