专升本高等数学知识点汇总复习过程

精品文档精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：ykxb2 一般形式的定义域：xCRyaxbxck y-分式形式的止义域：xw0xyJx根式的形式定义域：x>0ylogax对数形式的定义域：x>0二、函数的性质1、函数的单调性当xix2时，恒有f(xi)f(x2),f(x)在xi,x2所在的区间上是增加的。当x〔x2时，恒有f(xi)f(x2),f(x)在xi,x2所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性定义：设函数yf(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若xD,则有xD)⑴偶函数f(x) xD,恒有f(x)f(x)o⑵奇函数f(x)——xD,恒有f(x)f(x)o三、基本初等函数i、常数函数：yc,定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。

2、幕函数：yxu,（u是常数）。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数x止义：yf（x）a,（a是常数且a0,a1）.图形过（0,1）点4、对数函数定义：yf(x)定义：yf(x)logax,（a是常数且a0,a1）。图形过（1,0）点5、三角函数5、三角函数⑴正弦函数：yT2,D（f）（⑵余弦函数：yT2,D（f）（⑶正切函数：ysinx,),f(D)[1,1]cosx.,),f(D)[1,1]tanx.T , D(f) {x|x R,x (2k1)-,k Z}, f(D)(,).(4)余切函数：ycotx.T , D(f) {x|x R,x k,kZ}, f(D)(,).5、反三角函数(1)反正弦函数：yarcsinx,D(f)[1,1],f(D)[—,—]022(2)反余弦函数：y arccosc, D(f) [1,1],f(D)[0,]。⑶ 反正切函数：y arctanx, D(f) ( , ),f(D)(一,一)。22(4)反余切函数：yarccotx,D(f)( , ),f(D)(0,)。

极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法(1)利用极限的四则运算法则求极限。(2)利用等价无穷小量代换求极限。(3)利用两个重要极限求极限。(4)利用罗比达法则就极限。函数极限的四则运算法则设limuAxlim(u

xv)limulimvABlim(u

xlim(u

xv)limulimvABlim(u

xv)limulimvAB.xx推论(a)lim(C

x(a)lim(C

xv)Climv,

x(C为常数)(b)limun (b)limun (limu)nx xu limu A(3) limu -- A,(xv limv Bx0).(4)设P(x)(4)设P(x)为多项式P(x)n n1a0x a1xan,则limP(x)P(x0)xx)(5)设P(x),Q(x)均为多项式,且(5)设P(x),Q(x)均为多项式,且Q(x)0,则limPx)xxoQ(x)P(X0)Q(x0)三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当12cosx xo2x0时，sinx~x,常用的等价无穷小量代换有：当12cosx xo2arcsinx~x,ln(1x)~x,ex对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当□ 0时,sinD~D,其余类似四、两个重要极限重要极限1 x吟1。它可以用下面更直观的结构式表示:lims™它可以用下面更直观的结构式表示:lims™0x1重要极限IIx1重要极限IIlim1—e。xx□ 1其结构可以表小为：lim1-e□□八、洛必达(L'Hospital)法则0”型和，”型不定式，存在有limf(x)limfgA(或)0 xag(x)xag(x)一元函数微分学一、导数的定义设函数yf(x)在点X0的某一邻域内有定义，当自变量x在刈处取得增量x(点Xo x仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量yf(x一元函数微分学一、导数的定义设函数yf(x)在点X0的某一邻域内有定义，当自变量x在刈处取得增量x(点Xo x仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量yf(xo x)f(x。)。如果当x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限lim—=lim-f-(-0 x)-f(x0)=f(xo)注意两个符号x和xo在题目中可能换x0xx0 x成其他的符号表示。、求导公式1、基本初等函数的导数公式(C) 0(C为常数)(x)x1(为任意常数)(ax)axlna(a0,a1)特殊情况(ex)ex(10gax)1,1 1-logae (x0,a0,a1),(Inx)一x xlna x(sinx)cosx(cosx)sinx⑺(tanx)(8)(cotx)12-cosx1「一2sinx(9)(arcsinx) (1x1)1x2

(10)(arccosx)1(10)(arccosx)--(1x1)(11)(arctanx)(⑵(arccotx)11x211x22、导数的四则运算公式[u(x)v(x)]u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)[ku]ku(k为常数)(11)(arctanx)(⑵(arccotx)11x211x22、导数的四则运算公式[u(x)v(x)]u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)[ku]ku(k为常数)u(x)

v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)3、复合函数求导公式：设yf(u),u(x),且f(u)及(x)都可导，则复合函数yf[(x)]的导数为dy

dxdydu

dudxf(u).(x)。三、导数的应用1、函数的单调性f(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调增加。f(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调减少。2、函数的极值' …>、一一f(x)0—点 函数f(x)的驻点。设为Xo(1)若x X0时，f'(x) 0; x Xo时，f'(x) 0,则f(Xo)为f(x)的极大值点。(2)若x Xo时，f(x) 0； x Xo时，f(x) 0,则f(x0)为f(x)的极小值点。(3)如果f(x)在X0的两侧的符号相同，那么f(Xo)不是极值点。3、曲线的凹凸性f(x)0,则曲线yf(x)在(a,b)内是凹的。f(x)0,则曲线yf(x)在(a,b)内是凸的。4、曲线的拐点(1)当f(x)在xo的左、右两侧异号时，点(x°,f(x。))为曲线yf(x)的拐点，此时f"(xo)0.(2)当f''(x)在xo的左、右两侧同号时，点(xo,f(x。))不为曲线yf(x)的拐点。5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dyf'(x)dx,求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数 +C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质[f(x)dx]f(x)df(x)dxf(x)dx

，一、 ' _r、 _F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C(x)dx。(x)dx。kf(x)dxkf(x)dx(k为常数且k0)。2、基本积分公式(要求熟练记忆)0dxCxadx—xa1C(a1).a11-dxInxC.x- 1V一adx——aC(a0,a1)InaexdxexCsinxdxcosxCcosxdxsinxC… 1 . 八—2—dxtanxC.cosx,八 1 . ,八—2—dx cotxC.sinx(10)(11)(10)(11)3、第一类换元积分法对不定微分g(x)dx,将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dxf[(x)]'(x)dxf(x)d(x),这是关键的一步常用的凑微分的公式有：/、• 1•f(axb)dxf(axb)d(axb)af(axkb)xk1dx—f(axk b)d(axkb)ka精品文档精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档精品文档f(6)1=dx2f<xd6xxf(1)4dx f(-)d1xx xxf(ex)exdx f(ex)d(ex). 1 f(lnx)dxf(lnx)d(lnx)xf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx)f(tanx)d(tanx)f(cotx)d(cotx)，、… 、 f(tanx)d(tanx)f(cotx)d(cotx)f(tanx)——2—dxcosx，、• 1f(cotx)—2—dxsinxf(arcsinx)dxf(arcsinx)d(arcsinx)f(arccosx)7dxf(arccosx)d(arccosx)f(arcsinx)dxf(arcsinx)d(arcsinx)f(arccosx)7dxf(arccosx)d(arccosx)f(arctanx)d(arctanx)f(arctanx)d(arctanx)1 ,f(arctanx) 2dx1x(14)—(x^dxd(ln(x))((x)0)(x)4、分部积分法udvuvvdu、定积分公式1、(牛顿一莱布尼茨公式) 如果F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的任意b个原函数，则有f(x)dxF(b)F(a)o/ ax收集于网络，如有侵权请联系管理员删除ao2、计算平面图形的面积

x收集于网络，如有侵权请联系管理员删除ao如果某平面图形是由两条连续曲线yig(x),y2f(x)及两条直线％a和X2b所围成的(其中yi是下面的曲线，y2是上面的曲线)，则其面积可由下式求出：bSa[f(x)g(x)]dx.a3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线yf(x)(f(x)0)和直线xa,xb(ab)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出：b2 b 2Vx a f(x)dx a f(x)dx.a a多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：dzdf(x,y)AxBy。3、复合函数的偏导数一一利用函数结构图如果u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数—,—,xy—,—,且在对应于(x,y)的点(u,v)处，函数z f(u,v)存在连续的偏导数TOC\o"1-5"\h\zx y卫，-z,则复合函数zf[(x,y),(x,y)]在点(x,y)处存在对x及y的连续偏u v导数，且z z u zv z z u zv一,一。x u x vx y u y vy4、隐函数的导数对于方程F(x,y)0所确定的隐函数yf(x),可以由下列公式求出y对x的导数y’:'‘ Fx(x'y)Fy(x,y)'2、隐函数的偏导数对于由方程F(x,y,z)0所确定的隐函数zf(x,y),可用下列公式求偏导数：z Fx(x,y,z) z Fy(x，y，z)' 'x Fz(x,y,z) y Fz(x,y,z)5、二元函数的极值设函数z f(x0,y0)在点(M,y0)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且' ' '' ''fx(x0,y0)。，fy(x0,yO)0又设fxx(x0,y°)A,fxy(x0,y0)B,''fyy(x0,y0)C,则：(1)当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值。(2)当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处无极值。(3)当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x0,y°)处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。平面与直线1、平面方程

(1)平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点 Mo(X0,yo,Z0),以n{A,B,C}为法向量的平面方程为A(xxo)B(yyo)C(zz0)0称之为平面的点法式方程(2)平面的一般式方程AxByCzD0称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程AxByCz0表示过原点的平面方程AxByD0表示平行于Oz轴的平面方程AxBy0 表示过Oz轴的平面方程CzD0 表示平行于坐标平面xOy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面i:AixBiyCizDi02:A2xB2yC2zD2 0平面1和2互相垂直的充分必要条件是：AlA2B1B2C1C20A2 B2 C2 D平面1和A2 B2 C2 D平面1和2重合的充分必要条件是：分且£13A2 B2 C2 D4、直线的方程(1)直线的标准式方程过点M0(x0,y°,z°)且平行于向量s{m,n,p}的直线方程〜0，称之为直线的标准式方程(又称点向式方程、对称式方mnp程)。

常称s{m,n,p}为所给直线的方向向量(2)直线的一般式方程A1xB1yC1zD10称之为直线的-般式方程A2xB2yC2zD205、两直线间关系设直线ll,12的方程为xXi yyizZili： , TOC\o"1-5"\h\zm1 n1 p1xX2 yy2 zZ2li： ■m2 n2 p2直线li,l2平行的充分必要条件为色上；m2 n2直线li,l2互相垂直的充分必要条件为m〔m2n1n2 PiP206、直线l与平面间的关系设直线l与平面的方程为XXoyyozZomnp:A(xxo)B(yyo)C(zzo)0... ABC直线l与平面垂直的充分必要条件为：--Cmnp直线l直线l与平面平行的充分必要条件为:AmBnCpOAmoBnoCpoD直线l落在平面直线l落在平面上的充分必要条件为AmBnCpO

AmoBnoCpoDO将初等函数展开成事级数1、定理：设f(x)在U(X0,)内具有任意阶导数,且f(n1)()limRn(x) 0,Rn(x) (-^(xx°)n1则在U(x0,)内n (n1)!f()(x0) nf(x) (xxo)n0n!称上式为f(x)在点X0的泰勒级数。或称上式为将f(x)展开为XX0的幕级数。2、几个常用的标准展开式②11xn。"2n1④sinx(1)n n0 (2n1)!2n⑤cosx(1)n TOC\o"1-5"\h\zn0 (2n)!nxln(1x)(1)一n0 nn… xln(1x)n0n常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程若一阶微分方程F(x,y,y)0通过变形后可写成g(y)dyf(x)dx或yf(x)g(y)则称方程F(x,y,y)0为可分离变量的微分方程.2、、可分离变量微分方程的解方程g(y)dyf(x)dx必存在隐式通解G(y)F(x)C。其中：G(y)g(y)dy,F(x)f(x)dx.即两边取积分。(2)一阶线性微分方程1、定义：方程yP(x)yQ(x)称为一阶线性微分方程.(1)次齐次方程一一Q(x)0;⑵齐次方程 yP(x)y0.2、求解一阶线性微分方程(1)先求齐次方程yP(x)y0的通解：yCeP(x)dx,其中C为任意常数P(x)dx(2)将齐次通解的C换成u(x)。即yu(x)e(3)代入非齐次方程yP(x)yQ(x),得P(x)dx P(x)dxye q(x)edxC2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、y f(x)型的微分方程1、例3:求方程y-e sinx的通解.分析：yydx-ecosxC1;4yydx-e2xsinxC1xC2.82、yf(x,y)型的微分方程解法:

⑴令py,方程化为pf(x,p)；⑵解此方程得通解p(x,C1);(3)再解方程y(x,Ci)得原方程的通解y (x,