信号与系统的状态空间

第八章状态方程引

言§8.6系统的可控制性与可观测性§8.1连续时间系统状态方程的建立§8.2连续时间系统状态方程的求解§8.3离散时间系统状态方程的建立§8.4离散时间系统状态方程的求解§8.5状态矢量的线性变换

系统分析，简言之就是建立表征物理系统的数学模型并求出它的解答。描述系统的方法可分为输入－输出法和状态变量法。输入—输出法也称为端口法，它主要关心的是激励（输入）与响应（输出）之间的关系。前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于输入－输出法。由于输入－输出法只将系统的输入变量和输出变量联系起来，它不便于研究与系统内部情况有关的各种问题（譬如，系统的可观测性、可控制性等）。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分析法。引

言研究单输入－单输出系统；着眼于系统的外部特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。产生于20世纪50至60年代；卡尔曼(R.E.Kalman)引入；利用状态变量描述系统的内部特性；运用于多输入－多输出系统；用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统。二．状态变量分析法一．输入－输出法（端口法）三．状态变量分析法优点

(1)提供了系统的内部特性以供研究；(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行数值计算；(3)便于分析多输入－多输出系统；(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道时这组变量和时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间的行为。状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的。状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变量，可以看作矢量的各个分量的坐标。称为状态矢量。状态空间：状态矢量所在的空间。状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。四．名词定义§8.1连续时间系统状态方程的建立

状态变量

用来描述网络中一状态随时间变化的变量，称之为状态变量。

状态方程

描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励关系的一阶微分方程，称为状态方程。一．状态方程的一般形式和建立方法概述一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即为系统的k个状态变量。m个输入信号r个输出信号状态方程输出方程如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：表示为矢量矩阵形式状态方程输入方程状态方程和输出方程分析的示意结构图是积分环节，它的输入为，输出为。

若矩阵是的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的各元素都为常数，不随改变。状态变量的特性每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：直接法——主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；间接法——常见于控制系统研究。二．由电路图直接建立状态方程(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。中必然包含，注意只能将此项放在方程左边。(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包括，对连接有电容的结点列结点电流方程，其(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。状态变量的个数等于系统的阶数。

对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程假定某一物理系统可用如下微分方程表示此系统为k阶系统，输入信号的最高次导数也为k次系统函数为为便于选择状态变量，系统函数表示成当用积分器来实现该系统时，其流图如下取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的状态方程输出方程表示成矢量矩阵的形式状态方程输出方程简化成对应A,B,C,D的矩阵分别为（二）用流图的串联结构形式列状态方程四．将系统函数分解

建立状态方程将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。（一）用流图的并联结构形式列状态方程时域方法……借助计算机变换域方法……简单由状态方程求系统函数§8.2连续时间系统状态方

程的求解一．用拉普拉斯变换法求解状态方程方程，起始条件方程两边取拉氏变换整理得因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的一步是求。若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。

1．矩阵指数的定义二．用时域法求解状态方程(一)矩阵指数式中为方阵,也是一个方阵2.主要性质(二)用时域方法求解状态方程1.求状态方程和输出方程若已知并给定起始状态矢量对式(1)两边左乘，移项有(1)化简，得两边取积分，并考虑起始条件，有对上式两边左乘，并考虑到，可得为方程的一般解求输出方程r(t)依此原理，将无穷项之和的表示式中高于次的各项全部化为幂次的各项之和，经整理后即可将化为有限项之和对于方阵A有如下特性：凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamitontheorem）：也即，对于，可利用以下幂次的各项之和表示，式中为各项系数。(2)(3)式中各系数c

都是时间t的函数，为书写简便省略了变量t。按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数c

，最后解出。具体计算步骤：求矩阵A的特征值；

将各特征值分别代入式（3），求系数c。第一种情况A的特征值各不相同，分别为，代入式(3)有(4)第二种情况若A的特征根具有m阶重根，则重根部分方程为其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求的系数。(5)§8.3离散时间系统状态方程的建立状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入

—输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程一．状态方程的一般形式和建立方法概述离散系统的状态方程：一阶差分方程组为系统的r

个输出信号。为系统的m

个输入信号；为系统的状态变量；输出方程：状态方程：如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即状态方程：输出方程：

可见：n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。表示成矢量方程形式各矩阵说明若系统是线性时不变的，则A,B,C,D

各元素都为常数，不随n改变。若A,B,C,D矩阵是n的函数，表明系统是线性时变的，图中，是延时单元，它的输入为，输出。示意结构图二．由系统的输入

—输出差分方程建立状态方程对于离散系统通常用下列阶差分方程描述（输入—输出方程）其系统函数为考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为其流图形式选延时单元输出作为状态变量，则有表示成矢量方程形式为其中三．给定系统的方框图或流图建立状态方程给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。四．由研究对象的运动规律直接建立状态方程§8.4离散时间系统状态方程的求解矢量差分方程的时域求解An的计算离散系统状态方程的z变换解离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。一．矢量差分方程的时域求解离散系统的状态方程表示为此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。设给定系统的起始状态为：在，则按式(1)有以下用迭代法，求时刻的值：（1）对于任意n

值，当可归结为上式中，当时第二项不存在，此时的结果只由第一项决定，即本身，只有当时，式(2)才可给出完整的之结果。(2)如果起始时刻选，并将上述对值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有还可解得输出为由两部分组成：一是起始状态经转移后在时刻得到的响应分量；另一是对时刻以前的输入量的响应。它们分别称为零输入解和零状态解。其中称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中的含义类似，也用符号表示，写作它决定了系统的自由运动情况。可以看出，零状态解中，若令，则系统的单位样值响应为可见，零状态解正是与的卷积和，也可写作关键：计算状态转移矩阵，即。二．的计算利用凯莱一哈密顿定理，(3)设为A的n个独立的特征单根，用下列联立方程组求系数将分别代入（3），即可。若的特征根为重根的情况，例如为A的m

阶重根，则对重根部分计算为三．离散系统状态方程的变换解

和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。由离散系统的状态方程和输出方程两边取变换整理,得到取其逆变换即得时域表示式为:状态转移矩阵即为或§8.5状态矢量的线性变换从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有用的。一．在线性变换下状态方程的特性矢量形式

系数间的关系设原基底下状态方程表示为

经变换后或系数间的关系二．系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。三．A矩阵的对角化在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量，以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开。四．由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状态方程，则由A阵的对角化分析可知，A矩阵对角化后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断这需要解方程转移函数分母的特征多项式此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。离散系统稳定性的判断即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值§8.6系统的可控制性

与可观测性系统的可控性定义、判别法系统的可观性定义、判别法可控、可观性与系统转移函数之关系一．系统的可控性定义、判别法

可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。判别法1.根据状态方程的参数矩阵判别即:当为对角阵形式时,中的0元素对应不可控因素。设系统的状态方程2.可控阵满秩