二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题1、如图11,抛物线与轴相交于A、B两点(点A在点B右侧)，过点A的直线交抛物线于另一点 C,点C的坐标为(-2,6).(1)求a的值及直线AC的函数关系式；(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M,交x轴于点N.①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点 M,使得4CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 M的坐标(不必写解答过程)；如果不存在，请说明理由解：(1)由题意得6=a(-2+3)(-2-1) a=-21分,・抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B(-3,0)、A(1,0)设直线AC为y=kx+b,则有0=k+b6=-2k+b解得k=-2b=2・・直线AC为y=-2x+2(2)①设P的横坐标为a(-2<a<1),贝UP(a,-2a+2),M(a,-2a2-4a+6)4分PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92=-2a+122+92・・当a=-12时，PM的最大值为92②M1(0,6)M2(-14,678)2、如图9,已知抛物线y=x2t2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为 B,与抛物线对称轴交于点 O',轴于点C,连结O'C,将^ACO沿OC翻折后，点A落在点D的位置.(3分)求直线l的函数解析式；(3分)求点D的坐标；(3分)抛物线上是否存在点Q,使得&dqc=Sadpb?若存在，求出所有符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.(1)配方，得y=(xN)2-1,•♦・抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点为P(2,-1). 1 分取x=0代入y=x2心+1,得y=1,•••点A的坐标是(0,1).由抛物线的对称性知，点A(0,1)与点B关于直线x=2对称，，点B的坐标是(4,1). 2分设直线l的解析式为y=kx+b(kw0)将B、P的坐标代入，有

k1 解得k匕，直线l的解析式为y=x-3.b3.(2)连结AD交OC于点E,二•点D由点A沿OC翻折后得到，丁•OC垂直平分AD.由⑴知，点C的坐标为(0,€),「.在Rt^AO'C中，OA=2,AC=4,O'C=2j5.4—•.AE=_J5，54—•.AE=_J5，5AD=2AE=8.55AD、OC作DF^ABAD=2AE=8.55AD、OC•.AF=&AC=3OCDF=OCOA=85.OA=1,•・•点D的纵坐标为i-85.••点D的坐标为(16,-|).显然，OP//AC,且。为AB的中点,•.AF=&AC=3OCDF=OCOA=85.OA=1,•・•点D的纵坐标为i-85.••点D的坐标为(16,-|).显然，OP//AC,且。为AB的中点,.・•点P是线段BC的中点，，Sadpc=Sadpb.故要使Sadqc=Sadpb,只需Sadqc=Sadpc. 7分过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于Sadpc,故m与抛物线的交点即符合条件的容易求得过点 C(0,V)、D(—,5Q点.3-3)的直线的解析式为5y=3x-3,

4据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=0x-5令—x2-2x+1=—41y2=一,84x5,解得xi=2,x2=7,代入y=32 2 425x-2kr*rr11、一），使得S^dqc=Sadpb.8因此,抛物线上存在两点 Qi(2,T)(即点P)和Q2(7因此,2分(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分)3、如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点(不包括端点)，作/AEF=90,使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n).(1)若m=n时，如图，求证：EF=AE;(2)若mwn时，如图，试问边OB上是否还存在点E,使得EF=AE?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若m=tn(t>1)时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=(t+1)AE成立?并求出点E的坐标.(1)由题意得(1)由题意得m=n时，AOBC是正方形.如图，在OA上取点C,使AG=BE,则OG如图，在OA上取点C,使AG=BE,则OG=OE./EGO=45,从而/AGE=135.由BF是外角平分线，得/EBF=135,/AGE=/EBF.ZAEF=90,•••/FEB+/AEO=90.在RtAAEO中，:/EAO+/AEO=90,/EAO=ZFEB, AAGE^AEBF,EF=AE.(2)假设存在点E,使EF=AE,设E(a,0).作FH^x轴于H,如图.由(1)知/EAO=/FEH,于是RtAAOE^RtAEHF.FH=OE,EH=OA.，点F的纵坐标为a,即FH=a.由BF是外角平分线，知/FBH=45，.=BH=FH=a.又由C(m,n)有OB=m,「.BE=OB—OE=m—a,EH=m—a+a=m.又EH=OA=n, m=n,这与已知mwn相矛盾.因此在边OB上不存在点E,使EF=AE成立.(3)如(2)图，设E(a,0),FH=h,则EH=OH-OE=h+m-a.由ZAEF=90,ZEAO=/FEH,得△AOEs^EHF,EF=(t+1)AE等价于FH=(t+1)OE,即h=(t+1)a,且第岩即整理得nh=ah+am—a2整理得nh=ah+am—a2, h2amaa(ma)把h=(t+1)a代入得a(ma)(t1)a,na即m—a=(t+1)(n—a).而m=tn,因此tn—a=(t+1)(n—a).化简得ta=n,解得a-.t•••t>1, nvnvm,故E在OB边上.t・♦・当E在OB边上且离原点距离为-处时满足条件，此时tE(f0).把h=(t+1)a代入得a(ma)(t1)a,na即m—a=(t+1)(n—a).而m=tn,因此tn—a=(t+1)(n—a).化简得ta=n,解得a-.t•••t>1, nvnvm,故E在OB边上.t・♦・当E在OB边上且离原点距离为-处时满足条件，此时tE(f0).4、已知：直线1 …… y-x1与y轴交于A,与x轴交于d,抛物线bxc与直线交于A、E两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当4PAE是直角三角形时，求点P的坐标.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标.(1)将A(0,1)、B(10)坐标代入y1 2-xbxc得2解得••・抛物线的解折式为y3x1人I.2(2分)(2)设点E的横坐标为 1 cm,则匕的纵坐标为一m223m12又•.•点E在直线3-m23m21-x21m21).1上,1.解得m10(舍去)，m24.・•.E的坐标为(4,3).(I)当A为直角顶点时(4分)过A作APi,DE交x轴于P点，设R(a,0).易知D点坐标为（2,0）.由RtzXAODsDOOA由RtzXAODsDOOAOA即OPRt^POA得1 . 12（n）（出）：,0（5分）同理，当E为直角顶点时，P（n）（出）：,0（5分）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（11八、一，0）.2（6分）当P为直角顶点时，过E作EF±x轴于F，设P3（b,0）.由OPAFPE90°,得OPARtAAOP^RtAPFE.,AO由——PFOP得,EF4b解得b1,AO由——PFOP得,EF4b解得b11,b2 3..・・此时的点P3的坐标为0）或（30）.（8分）综上所述，满足条件的点的坐标为（1,0）或（1,0）或（3,0）或（112 20）（9分）（9分）•••B、C关于XMCMB.要使|要使|AM MC|最大，即是使|AMMB|最大.由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M在同一直线上时|AMMB|的值最大.（10分）易知直线AB易知直线AB的解折式为y3，由2，由12（ii分）5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2y=a(x1)c(a0)与x轴父于AB两点(点A在点B的左侧)，与y轴父于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为kx3,与x轴的交点为N,且CO点为M,若直线MC的函数表达式为10(i)求此抛物线的函数表达式；在此抛物线上是否存在异于点 C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC^条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P的坐标：若不存在，请说明理由；过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物

线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 ？向下最多可平移多少个单位长度？四、(共12分)2K解；(1)•.•直线MC的函数表达式为v=ix-3,•••点C(0,-3). ……1分二侬1.必m.工皿阳血厂io-汨，•,・可设|。。1=攵。＞0)」8口;代则由勾股定理，得I。川而lOCl=3/=3,.\t=1.•••|。川二1.，点6(1,0).丁点8(1,0)0(0,-3)在抛物线上.4a+c=0,

q+c=-3.解得[c=-4.・•・抛物线的函数表达式为y=(«+1)2-4 +2x-3.••••••2(2)假设在抛物线上存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形.①若PN为另一条直角边.•・,点M(-1,-4)在直线 上,,-4=4-3,即4=1./.直线MC的函数表达式为y=x-3.易得直线MC与z轴的交点八的坐标为M3,0).v|OC|=|0N|,二乙CNO=45：在y轴上取点。(0,3)，连结ND交抛物线于点P.•/[ONl=\0D\.:.乙DNO=45：，乙PNC=90：设直线ND的函故表达式为y=/nx+n.[3m+n=0,fm=-1,叫"3 叱=3.：.直线NO的函数表达式为)•=-"3.设点P(x,・4+3).代入抛物线的函数表达式，得・"3=J421-3，即/+3x-6=0..•・满足条件的点为片(壬画,匚竺"(韦丝,y).②若PC是另一条直角边.•点一4是魏物线与士轴的另一交点，，点4的坐标为(-3月1连结乂£: 二|。口，上£优/=45：又£OCN=45・，/.£."：Nm90：「，点A就是所求的点产式-3*). ……1分I或;求出宣线述。的函数表达式为丁学-#-3.设点收叫代人抛物线的函数表达式.得-~3=?+2r-3,即F+乳=0,解得27巧=0•.二力=0,力£-3一•・点P式-3⑼£07)(舍去)J综上可知,在拗物线上存在满足条件的点，有3个，分别为：中士丝衿骂耳鼻坦笞笑)中7,。).……1分(3)①若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b(b>0)个单位，可设函数衰达式为，=/+方-3+或行=/*2#-3+b由， 清去九得x”+b=0J=x-3a要使抛物线与线段NQ总有交点，必须△=1-4810,即bw；.二0<6(44 4二若抛物线向上平移，最多可平移品个单位长度・ ……2分②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移6(6>0)个单位•可设函数表达式为7=/+2x-3-A丁当，£-3时,,=-与当#=3时.丁=12-庆易求得Q(-3,-6),又N0,0).一要使抛物线与线段W总有交点*必须4b黄-6或12-g。,即屣6或6<12工0《必W】工,若融物线向下平移,最多可平稗I2个单位长度. ……1分［或:若抛物线沿其对称轴向下平移,设平移>0)个单位•则力=工,+2工-3-6,力二工-3在-3E黑百3总有交点.Hflv)=r1+2x^3-A-x+3=j3+x^i=0在〜3Wh£3总有实数根-l*T 1令T=a*工=(工+木)'一方.在一3 时t-彳石产方】工Z *T %,要使-6=。在I3。场3有解,6必须滞足q优二—押6的最大值为IX/.向下最多可平移】2个单位长度，］综上可知.若将施物线沿其对称轴上下平移,使枷物线与线段W总有公共点『则向上最多可平移!个单位长度,向下最多可平移12个单位长度4……J分6、已知：抛物线yax2bxC与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点 C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长(OA<OC)是方程2x5x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x1.

过点求A、B、C三点的坐标；过点求此抛物线的解析式；若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合)D作DE//BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围. S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由.解：(1).「OA、OC的长是x2—5x+4=0的根，OA<OC.•.OA=1,OC=4•・,点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴一4),「抛物线yax2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为・•・A、B、C三点坐标分别是:3,0)A(—1,0),B(3,0),C(0,—4)(2)二•点C(0,—4)在抛物线ax2bxC图象上将A(―1,0),B(3,0)点C在y轴的负半轴一4),「抛物线yax2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为・•・A、B、C三点坐标分别是:3,0)A(—1,0),B(3,0),C(0,—4)(2)二•点C(0,—4)在抛物线ax2bxC图象上将A(―1,0),B(3,0)代入yaxabx4得9a3b解之得0•••所求抛物线解析式为:(3)根据题意，BDm,则AD42

x34m在Rt^OBC中，BC=、OB2OC2=5DE//BC,ADE^AABCOCCBA=一BCDEBCDE过点E45EFDEADABADBCAB5(4m)205m作EF±AB于点F,4 4••EF=DE=5 5205m =4—m4EDF=sin•SaCDE=SaADC—SaADE1, 、一(4—m)21 2c—m2+2m2x4：(4—m)(4—m)(0<m<4)-S=1(m-2)2+2,・•・当m=2时，S有最大值•••点D的坐标为(1,0)a=1<022.7、如图9,a=1<022.(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式；(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式；(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：Si-S?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.3解：(1)设正比例函数的解析式为yk1x(k10),因为ykix的图象过点A(3,3),所以33ki,解得ki1.这个正比例函数的解析式为 yx. (1分)设反比例函数的解析式为 y坛(k20).x因为y坛的图象过点A(3,3),所以x3k2,解得k29.9TOC\o"1-5"\h\z这个反比例函数的解析式为 y9. (2分)9(2)因为点B(6,m)在y—的图象上，所以x93 3 …m——,则点B6,—. (3分)62 2设一次函数解析式为yk3xb(k30).因为yk3xb的图象是由yx平移得到的,所以k3 1,即yxb.

3一.又因为yxb的图象过点B6,-,所以2TOC\o"1-5"\h\z3 926b,解得b9,9一次函数的解析式为yx一. (4分)2一一、， 9 9(3)因为yx—的图象交y轴于点D,所以D的坐标为0,—•\o"CurrentDocument"2 2设二次函数的解析式为yax2bxc(a0).因为yax2bxc的图象过点A(3,3)、B36「、和D0,2因为yax2bxc的图象过点A(3,3)、B36「、和D0,29a3b3,12'所以36a6b(5分)解得4,92这个二次函数的解析式为 y4xI(6分)9 一 9(4)Qyx一交x9 一 9(4)Qyx一交x轴于点C,点C的坐标是一,0,\o"CurrentDocument"2 2如图所示，s-6-66-33-332 2 22 2994518-42814假设存在点E(x0,y0),使Si2s——红.3 43 2Q四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方， y00,SiSaqcd Saoce1991922222gy08197门994y0994y081273y81273y02(7分)QE(Xo,yo)在二次函数的图象上,12

12

2x04xo 9解得x02或x0解得x02或x06... 3当％6时，点E6,—2与点B重合，这时CDOE不是四边形，故X06舍去, 3 -点E的坐标为2,一• (8分)28、如图，已知抛物线yx2bxC经过A(1,0),B(0,2)两点，顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)将4OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为Bi,顶点为Di,(第26题)若点N若点N在平移后的抛物线上,且满足z\NBBaq面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标.积的2倍，求点N的坐标.解：(1)已知抛物线y2 , 一_一一xbxc经过A(1,0),B(0,2),解得所求抛物线的解析式为 yx23x2.⑵QA(1,0),B(0,2),⑵QA(1,0),B(0,2),OA1,OB2可得旋转后C点的坐标为(31)当x3时，由yx23x2得y2,可知抛物线yx23x2过点(3,2)将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.图图（16）图图（16）平移后的抛物线解析式为:yx23x1.(3)Q点N在y2 2一x23x1上，可设N点坐标为(Xo,Xo3xo1)将yx23x1配方得y 3其对称轴为x-.23①当0x0—时，如图①，2QS»ANBB12s△NDD11 1.3—1 xo 2 — 1 — xo\o"CurrentDocument"2 2 2Qxo12此时xo 3xo1 1图①N点的坐标为（1,1）.3②当％2时，如图② 1 1 3同理可得一1xo2 xo-2 2 2xo3此时x23xo11点N的坐标为（31）.综上，点N的坐标为（1,1）或（31）. 1o分图②9、如图（16）,在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，。为坐标原点.若OA、OB（OAOB）的长分别是方程2x4x3o的两根，且DAB45.（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C,求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD图图12于点P,求C、D到直线l的距离分别为d1、d2，试求d1+d2的最大值.解：（1）解方程x24x30得x1或x3,而OAOB,则点A的坐标为（1,0），点B的坐标为（3,0） 1分过点D作DD1x轴于D1,则D1为AB的中点.Di的坐标为（1,0）又因为DAB45°,AD1DD12.2令抛物线对应的二次函数解析式为 ya（x1） 2.Q抛物线过点A（1,0）,\o"CurrentDocument"2令抛物线对应的二次函数解析式为 ya（x1） 2.Q抛物线过点A（1,0）,\o"CurrentDocument"■1 11 1则04a2,得a21c 1c3故抛物线对应的二次函数解析式为 y—（x1）22.（或写成y-x2x-） 4分2 2 2（2）QCAAD,DAC90°. 5分又QDAB45°, CAD145°.令点C的坐标为（m,n）,则有m1n. 6分1 2Q点C在抛物线上， n-（m1）22. 7分化简得m24m50.解得m5,m1（舍去）.故点C的坐标为（5,6）. 8分（3）由（2）知AC6也而AD2短,DCJaD2AC24后 过A作AMCD.八1八 1八Q-ACAD-DCAM,2 2

AM24 6545 510分QS*AADCSAAPDAM24 6545 510分QS*AADCSAAPDSAAPC'ACADAPd1 APd2.11分d1d224 24一＜11分d1d224 24一＜——APAM246、,54.5,10、如图12,10、如图12,已知二次函数y图1013分即此时d1d2的最大值为13分12一xbxc(c0)的图象与x轴的正半轴相交于点2A、B,与y轴相交于点C,且OC2OAOB.(1)求c的值；(2)若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使^PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.TOC\o"1-5"\h\z8.解：(1)设小孙,0),8(0.0), 1分J_2bx-2c=0,则盯+x2=26,盯■/=—2c, 2分・,二次函数y=-$2+m+c的图象与y轴相交于点C,.\C(O,c),……3分由已知0C%，0A•0B得，，二々•力,，c?=-2c,又•••c<0,c=-2, 4分(2)Saabc=*5・0C二/1电一%I，J-cJ 5分 6分 7分 8分 6分 7分 8分又/该一次球的对称轴汴y轴的右侧，「.b>0./.6=-1-又/该一次球的对称轴汴y轴的右侧，「.b>0./.6=-1-,该二次函数的解析式为y=-y^2+1%-2,(3)过8作BE_LAC并延长到步使=B£,则点F和3关于直线AC对称,连结DF,交直线AC于点P,则PB+PD二PF十PD=Fl)t 9分点。，则PB+P0=PT+PD〉FD,，.PB+PD<PB+PD,」.直线人。上的所有点中，存在点P到点3和点。的距离的和最小，而03是定值,故所求作的点P满足△P8〃的周长最小. 10分011分作出S典碘为任由一次画女"〜白+壬"sQ011分•••4(1,0),8(40),。得卷),•.04=1,OB=4,优=2,Lo•/乙REA=LAOC=90。".刖E=乙OAC,•一56")”.tMREOC，而A8二九・•・丛切sc%二四=行，屈=而・•.AE=手,BE|触由及由，而A8二九:.FH=告"B=y,-OH=y-4=y,^(-y,设过点”出,一),F(-告马的亢线的解析式为y=辰+丁则Zo □j17■44 17 2323一."5+TPn而过点4(1,0)和点C(0,-2)的直线的解析式为，=2x-2,17,23L-17,23L-彳+IT,得y=2/-212分-I，，点F得学为所求12分^=7xx11、（2008四川省广安市）如图10,已知抛物线yx2bxC经过点（1,-5）和（-2,4）（1）求这条抛物线的解析式.（2）设此抛物线与直线yX相交于点A,B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线xm0mJ51与抛物线交于点M,与直线yx交于点N,交x轴于点P,求线段MN的长（用含m的代数式表示）.（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM,是否存在m的值，使^BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由.七，解:U）由题意蹲\ *./I解为6n-2,c=-4TOC\o"1-5"\h\z/ ，此抛物线解析式为：了=丁-2工-4 3分5 （2）由隅意得：［二］. 4分/ ［y-21-41 解为广一 广”E=T I力三4，点"的坐标为14.4J 5分将工=用代入y=X条件用y-m，，点W的坐标为(*同理点M的坐标为(明疝点产的坐标为 6分PN匚ImI.Mt1=lm-r-2n1-410<m</5+1M/V=FN+MP=-nff3m44 g 分(3)作SC1HN于点C员lHC=4-mtOF*=m 9 分S二:yV，fM；MN，BC=2(-m*+3m+4)--2(m_'Z")*+12。 …■….1|分J 1-/-2工0二当…10即吁:时§有能大值 - 12分26题图12、(重庆市)已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，26题图矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2,OC=3.过原点。作/AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DELDC,交OA于点E.(1)求过