2020中考数学 圆的压轴题练习

2020中考数学圆的压轴题练习(含答案)1.如图，e0是&ABC的外接圆，AC是直径，过点0作0D丄AB于点D'延长DO交e0于点P，过点P作PE丄AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF•若zPOC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；(结果保留兀)求证：OD=OE；求证：PF是eO的切线.【解答】(1)解：QAC=12CO=6，答：劣弧PC的长为：2".(2)证明：QPE丄AC，OD丄AB，zPEA=90°，zADO=90°在AADO和APEO中，'ZADO=ZPEO<ZAOD=ZPOE，OA=OP•APOE=AAOD(AAS)，•OD=EO；(3)证明：法一：如图，连接AP，PC,QOA=OP，:.ZOAP=ZOPA,由（2）得OD=EO,:.ZODE=ZOED,又QZAOP=ZEOD,:.ZOPA=ZODE,.AP//DF，QAC是直径，:.ZAPC=90。,:.ZPQE=90。:.PC丄EF,又QDP//BF,:ZODE=ZEFC，QZOED=ZCEF，:ZCEF=ZEFC，:CE=CF，:.PC为EF的中垂线，:ZEPQ=ZQPF，QACEPsACAP:ZEPQ=ZEAP，:ZQPF=ZEAP，:ZQPF=ZOPA，QZOPA+ZOPC=90°,:.ZQPF+ZOPC=90°,:.OP丄PF,•:PF是eO的切线.法二：设eO的半径为r.QOD丄AB,ZABC=90。,OD//BF,/.AODEsHCFE又QOD=OE,1./FC=EC二r-OE二r-OD=r--BC21:.BF=BC+FC=r+—BC21QPD=r+OD=r+㊁BC./PD=BF又QPD//BF，且上DBF=90°,/.四边形DBFP是矩形/.ZOPF=90°/.OP丄PF,•/PF是eO的切线.方法3、QAC为直径，:.ZABC=90°又QZADO=90°,/PD//BF:ZPCF=ZOPCQOP=OC,:ZOCP=ZOPC:ZOCP=ZPCF，即ZECP=ZFCPQPD//BF，:.ZODE=ZEFCQOD=OE，:.ZODE=ZOED又QZOED=ZFEC,.•.ZFEC=ZEFC:.EC=FC在APEC与APFC中'PC二PC<ZECP=ZFCPEC二FC.APEC=APFC(SAS):.ZPFC=ZPEC=90。四边形PDBF为矩形ZDPF=90°,即PF为圆的切线.2.eO是AABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作°O的直径PG交弦BC于点D,连接AG、CP、PB．如图1,若D是线段OP的中点，求ABAC的度数；如图2，在DG上取一点K,使DK二DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH丄AB.【解答】(1)解:Q点P为BC的中点，AB为°O直径,BP=PC，PG丄BC，CD=BD，/.ZODB=90。，QD为OP的中点，11OD二一OP二一OB，22./cosZBOD二二1，OB2/.ZBOD=60。，QAB为°O直径，/.ZACB=90°，/.ZACB=ZODB，/AC//PG，/.ZBAC=ZBOD=60°；(2)证明：由(1)知，CD=BD，一CD二BD在APDB和ACDK中，\ZBDP二ZCDK，DP二DK/.APDB二ACDK(SAS)，.•.CK=BP,ZOPB=ZCKD,QZAOG=ZBOP,.AG=BP,AG=CK,QOP=OB,/.ZOPB=ZOBP,又QZG=ZOBP,.AG//CK，/四边形AGCK是平行四边形；(3)证明：QCE=PE,CD=BD,.DE//PB，即DH//PBQZG=ZOPB,.PB//AG，.DH//AG，/ZOAG=ZOHD,QOA=OG,:.ZOAG=ZG,/ZODH=ZOHD,:.OD=OHOD二OH在AOBD和AHOP中，｛ZBOD二ZHOPOB二OP:.AOBD=AHOP(SAS),:.ZOHP=ZODB=90。,.:PH丄AB.663.如图，，O是AABC的外接圆，BC是eO的直径，ZABC=30。，过点B作eO的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作eO的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.1)求证：AACF^ADAE；2)若S=3，求DE的长；AAOC43)连接EF，求证：EF是eO的切线【解答】（1）证明:QBC是eO的直径,/.ZBAC=90。,QZABC=30°,:上ACB=60°QOA=OC,:.ZAOC=60°,QAF是eO的切线，:上OAF=90°,:.ZAFC=30°,QDE是eO的切线，:上DBC=90°,:上D=ZAFC=30°:上DAE=ZACF=120°,:,AACF^ADAE；(2)QZACO=ZAFC+ZCAF=30°+ZCAF=60。,:上CAF=30°,:,ZCAF=ZAFC,:.AC=CFOC=CF,QSAAOC4QSAAOC4AACF4QZABCAACF4QZABC=ZAFC=30°,AB二AF,QAB=2BD2AF二一BD,2•ZBAE=ZBEA=30°,AB二BE二AF,QAACFsADAE,SAF1•AACF二()2二,SDE9ADAEc9羽ADAE4过A作AH丄DE于H,.SA.SAADE二2DEgAH二/.DE=3J3；(3)Q上EOF=ZAOB=120。,_ZOBE=ZOAF在AAOF与ABOE中，\zOEB=ZAFO,OA=OB:.aaof=abeo,:.oe=of,...ZOFG=2(180。—ZEOF)=30。,:.zafo=zgfo,过O作OG丄EF于G,.ZOAF=ZOGF=90。，'zoaf=zogf在aaof与aogf中，\zafo=zgfo,of=of:.AAOF=AGOF,.oG=oA，•：EF是是O的切线.4.如图，AB是eO的直径，AB=4訂，点E为线段OB上一点（不与O,B重合），作CE丄OB，交eO于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF丄PC于点F，连接CB.（1）求证：CB是ZECP的平分线；（2）求证：CF=CE；CF3（3）当CF=3时，求劣弧BC的长度（结果保留沢）CP4【解答】(1)证明：QOC=OB，:上OCB=ZOBC，QPF是eO的切线，CE丄AB，:上OCP=ZCEB=90。，:.ZPCB+ZOCB=90°，ZBCE+ZOBC=90。,/.ZBCE=ZBCP，BC平分ZPCE.(2)证明：连接AC．QAB是直径，:上ACB=90°，:上BCP+ZACF=90°，ZACE+ZBCE=90°,QZBCP=ZBCE，.ZACF=ZACE，QZF=ZAEC=90°，AC=AC，/.AACF=AACE，.CF=CE.

解法二：证明：连接AC.QOA=OC:上BAC=ZACO,QCD平行AF,:上FAC=ZACD,.•.ZFAC=ZCAO,QCF丄AF,CE丄AB,CF=CE.(3)解：作BM丄PF于M.贝VCE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,QZMCB+ZP=90。,ZP+ZPBM=90。,/.ZMCB=ZPBM,QCD是直径，BM丄PC,.ZCMB=ZBMP=90°,/.ABMCsAPMB,BM_CM・/,PMBM./BM2二CMgPM二3a2,/.BM=\：'3a,/.tanZBCM二輒二空，CM3/.ZBCM=30°,/ZOCB=ZOBC=ZBOC=60°,BC的长二BC的长二60gig2v'32^3180〒5.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD,以AB为直径的°O经过点C,连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD//BC；（2）若tanZABC=2，证明：DA与°O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交°O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长.【解答】解：（1）连接OC，在AOAD和AOCD中,OA二OCAD二CD，OD二OD.•.AOAD二AOCD(SSS)，.•.ZADO=ZCDO，又AD=CD，DE丄AC，QAB为°O的直径.ZACB=90。，.•.ZACB=90°，即BC丄AC，AC(2)QtanZABC二二2，BC设BC=a、贝VAC=2a,AD=AB=JAC2十BC2=、5a,QOEIIBC，且AO=BO,111OE二一BC二一a,AE=CE二一AC二a,222在AAED中，DE二JAD2—AE2二2a,在AAOD中，AO2+AD2二(宇上+(冋2二25a2,OD2二(OE+DE)2二(2a+2a)2二25a2,:.AO2+AD2=OD2,:.ZOAD=90。,则DA与eO相切；(3)连接AF，QAB是eO的直径，:.ZAFD=ZBAD=90°,QZADF二ZBDA,:AAFDsABAD,•:DF二竺，即D