大连理工自控电子教案CHAPTER4

第四章

根轨迹法

4-1根轨迹的基本概念

4-2根轨迹的绘制方法

4-3其它形式的根轨迹

4-4增加开环零极点对根轨迹的影响

4-5闭环零极点分布与系统性能指标4-1根轨迹的基本概念根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从0到+∞变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些曲线。根轨迹方法是一种图解方法。系统的闭环传递函数为:系统特征方程为:解方程得闭环特征根为:K取不同值对应的闭环根

s1,s2

K01/81/41/2……∞S10-0.146-0.5-0.5+j0.5……-0.5+j∞S2-1-0.854-0.5-0.5+j0.5……-0.5-j∞K=0K=0K=0.25K=0.5K=0.5K=1.25K=1.25系统的开环传递函数一般可写为为系统的m个开环零点;为系统的n个开环极点;为系统开环跟轨迹增益.K为系统的开环增益;ZeroPoles4-2根轨迹的绘制方法一：幅角条件及幅值条件

控制系统的闭环传递函数一般写为:

特征方为:

向量形式表示为:

幅值幅角MagnitudePhaseangle例4-1设有一反馈控制系统的开环传递函数为::1)利用幅角条件-P1-P3-P2-Z1S126O45O79O120O解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以检验点s1=-1.5+j2.5是否在根轨迹上;

并确定与其相对应的

值.

2)由幅值条件求s1相对应的

值=12.15二、根轨迹的基本规则

结论:

由此求得根轨迹的起点为系统的开环极点;

根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点1.根轨迹的起点和终点

其二:是在n>m时,只有当s→∞时其一:1)当

=0时,由幅值条件,必有2)当

→∞时,由辐值条件,存在两种可能:

起点终点2.根轨迹的分支数

4.实轴上的根轨迹

根轨迹的分支数等于开环极点数.若试探点S1右边零点极点总数是奇数，则S1点所在的线段是根轨迹的一部分.渐近线在实轴上均交于一点,其座为:

渐近线的倾角为:S160oThenumberofseparatelociSymmetry3.根轨迹的对称性

根轨迹或是在实轴上,或是对称实轴.5.根轨迹的渐近线

Asymptote会合点Convergingpoint分离点Breakawaypoint(1)重根法(2)用幅角条件6.根轨迹的分离点及会合点

一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有一个会合点.7.根轨迹与虚轴的交点

(1)直接利用特征方程例4-2系统的特征方程为

以s=jw代入

-j3.74j3.74=0=0因此,与虚轴交点的坐标为±j3.74(2)利用劳斯判据将系统特征方程展开为:

=0

K=60

10+K

劳斯阵列表为:

1

14

5

10+K

8.根轨迹的出射角和入射角(1)出射角Theangleoflocusdeparturefromapole(2)入射角Theangleoflocusawivalatcomplexzeros例4-3一系统开环传递函数为33.5o63.5o135o90o9.闭环极点之和系统满足n-m≥2时系统闭环极点之和等于开环极点之和。

10.闭环极点之积

系统的n-m≥２且有开环零点位于原点时系统闭环极点之积就等于开环极点之积。3.根轨迹对称实轴。

5.渐近线6.分离点和会合点4.实轴上的根轨迹分布三、根轨迹绘制举例解按照绘制根轨迹的基本规则,有1.画出开环零、极点分布图.-1-2-32.根轨迹有两条分支。画极点画极点画零点分离点会合点例4-4已知一系统的开环传递函数为:试绘制根轨迹。

=0.172=5.8183.根轨迹对称实轴。

4.实轴上的无根轨迹分布。5.渐近线和实轴的交点。6.分离点和会合点。7.根轨迹与虚轴的交点。例4-5某负反馈控制系统的开环传递函数为解:画出开环零、极点分布图

-12.根轨迹有四条分支。

分离点试绘制根轨迹图。484-4=0得=121=121-j11.2j11.2=121例4-6若一控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹。

解:画出开环零、极点分布图

-1-22.实轴上的根轨迹分布。3.渐近线和实轴的交点。4.分离点和会合点。-0.425.根轨迹与虚轴的交点。=0K=6j1.414K=6K=6-j1.414正反馈此时为零度跟轨迹渐近线和实轴方向的夹角为±2/3.实轴上的根轨迹为(-2,-1)及线段及(0,+∞)线段.故-1.58为分离点.-1.584-3其它形式的根轨迹例4-7设一随动系统如图所示。图中参数Ks为速度反馈系数。试绘制以Ks为参变量的根轨迹。

解:画出开环零、极点分布图

2.实轴上的根轨迹分布。3.分离点和会合点。4．求复数极点的出射角90o108o198o4-4增加开环零极点对根轨迹的影响一:增加零点对根轨迹的影响例4-10一控制系统的开环传递函数为下式试采取何种措施使系统的稳定性提高.解:60oj0.2ω1=0.17Kc=0.778-j0.2ω2=-0.17Kc=0.778ω3=0Kc=0.278ω1=0Kc=0.278-0.06-0.027二:增加极点对根轨迹的影响K=0K=0∞←K4-5闭环零极点分布与系统性能指标典型控制系统的闭环传递函数为

单位阶跃输入时的瞬态响应为

例4-11一随动系统,其方框图如下所示.试分析开环系统增益K值对系统性能的影响,并计算速度误差系数Kv=10时系统的性能指标.最大超调量sp=37%调节时间ts=３秒1.371闭环零极点对系统瞬态性能的影响1.极点的分布决定了瞬态响应的类型。

2.零极点的分布决定了瞬态响应的曲线的形状及指标。3.远离虚轴的极点(或零点)对瞬态响应的影响。4.偶极子对瞬态响应的影响。

5.主导极点。

6.零点对瞬态响应的影响。

7.极点对瞬态响应的影响。

零极点与系统的定态品质系数单位反馈系统的误差传递函数为:

例4-12已知I型系统,为减小系统定态速度误差,应如何配置零点?解:设系统具有一对复数主导极点,配置零点位于-z，如图所示。若取1/z=2z/wn