物理-流体第2章

第二章流体静力学工程流体力学第一节流体静压强及特性当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应力只有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应力就是静压强流体静压强的两个特性：特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向流体静压强及其特性边长

δx、δy、δz

静压强

Px、Py、Pz和Pn

密度

ρ单位质量力的分量fx、fy、fz流体静压强及其特性第一节流体静压强及特性

特性二：静压强与作用面在空间的方位无关，只是坐标点的连续可微函数力在x方向的平衡方程为

由于

忽略无穷小量流体静压强及其特性※证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数静压强可表示为：第一节流体静压强及特性

由N-S方程可得欧拉平衡方程常数时，直接求解，联立求解压强分布体积力压强梯度00u=v=w=0，

对静止流体第二节欧拉平衡微分方程等压面力函数1.欧拉平衡微分方程由欧拉平衡方程称为压强全微分式，表示体积力在任何方向的投影为该方向的压强增量。沿等压面压强增量为零，即。或称为等压面微分方程式，上式表明体积力处处与等压面垂直。静止流体中等压面为水平面;绕垂直轴旋转的流体中，等压面为旋转抛物面。2.等压面设密度分别为ρ1和ρ2

的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。

[例]

两种液体的分界面：等压面

解：在分界面上任取相邻dr的两点A和B，dp=pA-pB

。

对液体1dp=ρ1(fxdx+fydy+fzdz)dp=ρ2(fxdx+fydy+fzdz)对液体2两式分别除以ρ1

和ρ2

，再相减可得

由于ρ1≠ρ2，要使上式成立,只有dp=0，证明分界面必为等压面。讨论：当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态时其分界面也是等压面。

AB即体积力必须有势：为势函数上式成立的充分必要条件是3.1对均质流体，ρ

=常数,压强全微分式化为重力是有势力因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。3.流体平衡的条件3.2对正压流体，ρ=ρ(p)

引入一个压强函数上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在重力场中也能保持平衡状态。3.3对斜压流体ρ=ρ(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：[例]贸易风：流体平衡条件大气满足完全气体状态方程p=RρT

(B1.4.5)

差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。用于静止流体上式适用于全流场，表示总势能守恒。若写成表示总水头保持不变。(a),(b)式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的同种均质重力流体。将伯努利方程(a)(b)第三节重力场中流体的平衡◆流体静力学基本方程流体静力学基本方程的常用形式为说明两点的测压管水头相等。当保持不变时，改变引起同时改变，这就是帕斯卡原理.均质静止流体ρ=常数，u＝v＝w＝0在重力场中上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。积分可得1.压强分布一般表达式由N-S方程可得◆静止重力流体中的压强分布2.具有自由液面的重力液体压强公式为自由面上的压强，h为淹深(1)在垂直方向压强与淹深成线性关系(2)在水平方向压强保持常数3.等压面在连通的同种流体中的等压强面称为等压面。在静止重力流体中的等压面为水平面h＝常数右图中3－3为等压面非等压面1－1为不连通液体2－2为不同液体[例]

静压强分布图1.压强计示方式习惯上压强基准真空度完全真空绝对压强表压强大气压强由压强公式p0提供压强基准◆压强计示方式与单位2.压强单位标准大气压atm(标准国际大气模型)液柱高：•国际单位制（SI）：帕斯卡Pa毫米汞柱mmHg（血压计）米水柱mH2O（水头高）测压管高度h=pA/ρg[例1]

单管测压计（2－1）已知：图示密封容器中液体(ρ),在A点接上单管测压计求：

与测压管高度h的关系解：(表压强)h为被测点的淹深，称为测压管高度.讨论：液面在压强推动下上升至h高度，压强势能转化为重力势能。

压强势能重力势能[例1]

U形管测压计（2－2）解：沿U形管右支液面取等压面，列平衡方程已知：图示封闭容器中为水,U形管水银测压计 中Δh

=10cm求：

(,表压强真空压强绝对压强）[例2]

U形管差压计解：沿U形管左支液面取等压面1－1已知：图示盛满水封闭容器高差, U形管水银测压计中液面差Δh

=10cm求：

(,表压强绝对压强）当液体以等加速度a作直线运动或以等角速度（向心加速度 )旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程fg

为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f=fg–a

也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。

设液体以等加速度a沿水平方向作直线运动

1.体积力分量f

x=-a

,

f

y=0,

fz

=-g

第四节液体的相对平衡◆等加速度直线运动由压强全微分式积分得压强分布式设坐标原点在液罐底部中点，静止时的液位为z0

,即x=0，z=z0

，p=p0,，可得C=p

0+ρgz0

压强分布式为压强分布由dp=－ρ(adx+gdz)=0

，等压面方程为C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x=0,z=z0

)上C=gz0

。设自由液面垂直坐标为zs

，方程为等压面ax+gz=C

或代入压强分布式，令h=zs－z

，可得

证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。[例]匀加速直线运动液体的相对平衡(2-1)

已知:用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=L×b×h=0.6×0.3×0.5m3，静止时缸内水位高d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。求:(1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am；

解：建立坐标系Oxz如图示。设鱼缸加速度为a，体积力分量为等压面微分方程为(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am'。

fx=-a，fz=-g

ax+gz=C

液面中点的坐标为（0,d），C=gd

。液面方程为

ax+gz=gd

[例]匀加速直线运动液体的相对平衡(2-2)

加速度表达式为

(2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（－b/2,h）相应的加速度为(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（－L/2,h）相应的加速度为

可见，鱼缸横向放置水不易溢出。

工程背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律等。条件：均质液体，体积力为重力。图示斜平壁和坐标系Oxy

,O点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。在面积A上取面元dA

，纵坐标y

，淹深为第五节均质流体对平壁的总压力◆平壁总压力大小作用在dA

和A上的总压力在几何上面积A

对x

轴的面积矩

pc为形心压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积。yc

为面积A形心的纵坐标,为淹深。设压强中心为D，由力矩合成法则1、积分法

总压力

设面积惯性矩

可得◆平壁总压力作用点建立辅助坐标系,由平行移轴定理f称为压强中心对形心的横向偏心距,当图形对称时为零。再引入关于轴的回转半径x称为压强中心对形心的纵向偏心距。同理可得表FD1（查附录表FD1）[例1]矩形平壁总压力：积分法(2-1)已知:矩形闸门长×宽=l×b=4×2m2,b边与自由液面平行,l边θ=30°。

求:闸门顶边分别位于(1)水面内；(2)水下H=2m深处时的水总压力F大小和压强中心D的纵向偏心距e。

解：坐标系Oxz，x轴位于自由面中，y轴沿闸门纵轴向下

(1)闸门顶边位于水面内yc1=l/2=2m，rξ2=l2/12

说明压强中心位于矩形的下三分点上。hc1=0.5lsin30°=l/4=1m[例1]矩形平壁总压力：积分法(2-2)(2)

闸门顶边位于水面下2m深处讨论：(1)两种情况中回转半径rξ不变，e仅与形心坐标有关，与闸门宽度无关；(2)闸门沿斜壁下移一个长度位置，总压力增加至3倍：F2=3F1；纵向偏心距缩短至原来的1/3：e2=。y

c2=hc2/sinθ=3l/2=6m,不变

hc2

=H+hc1=2+1=3

m

[例2]圆形平壁总压力(2-1)已知:封闭油柜侧壁上有一圆形封盖,d

=0.8mh=1.2m

,ρ=800kg/m3.

求:p0分别为(1)

5kPa

;(2)－2kPa时总压力F和偏心距e。解：(1)

当p01=5kPa时，在封盖中心的压强为

pc1=p01+ρgh=5+0.8×9.81×1.2=5+9.42=14.42(kPa)O1

点位于油面上方p01

/ρg处

hc1=0.5lsin30°=l/4=1m[例2]圆形平壁总压力(2-2)O2

点位于油面下方|p02

|

/ρg处

(2)当p0

2=－2kPa

时

pc2=p02+ρgh=-2+9.42=7.42

(kPa)F2=pc2

A=7.42×0.503=3.73

(kPa)圆板rξ2

=d2

/16=0.82/16=0.04

m2，偏心距为

归结为求平面线性平行力系的合力。压强分布图2.几何法

当矩形平壁与液面平行时可用几何法求解。图示液面与b边平行，与l边夹角为θ。面积分可化为线积分矩形＋三角形＝梯形F矩形平壁总压力：几何法用几何法重新求解例1

解:(1)l=4m,h=0,θ=30°

(2)l=4m,h=2m，θ=30°

例3取决于重心G

与浮心C

相对位置1、潜体的稳定性(浮心不变)

潜体：水下舰艇、水雷、气艇、气球等。浮体：水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。平衡条件：(1)浮力＝重力；(2)浮轴＝重力线(1)G

在C下方：稳定平衡(2)G在C上方：不稳定平衡(3)G

与C重合：随遇平衡第六节液体作用在浮体和潜体上的总压力GM=CM–CG

(2)G

在C下方：稳定平衡(3)G

在C上方：不稳定平衡(1)G

与C重合：随遇平衡2、浮体的稳定性(浮心改变)