皖南八校2023届4月高三第三次联考数学文参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，,,则（ ）2.若复数,,则（ ）D．3．为平行四边形的一条对角线，（ ）4.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若，则⊥D．若，则5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）A．1B．2C．3D．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A．60种B．63种C．65种D．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A．8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为（）．A． B．C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ；若点，则的最大值为 .10．如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于 ．11．在等比数列中，，则公比 ； ．12．在中，若，则边上的高等于 ．13．已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．14.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心，其中；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．16．（本小题共14分） 如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.18．（本小题共13分）已知函数是常数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；（Ⅲ）讨论函数零点的个数．19．（本小题共14分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:)石景山区2023—2023学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案2；69①③(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为，所以.所以函数的定义域为 ……………2分 ……………5分 ……………7分（Ⅱ）因为，所以 ……………9分当时，即时，的最大值为； ……………11分当时，即时，的最小值为. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在△中，.又.由.…………4分（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．……5分．设为平面的一个法向量，因为所以，令，得.所以为平面的一个法向量． ……7分设与平面所成角为．则．所以与平面所成角的正弦值为． …9分（Ⅲ）设,则 …12分当时,的最小值是．即为中点时,的长度最小,最小值为．…14分17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为. …3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有＝， …5分所以，. ……7分（Ⅲ）的所有可能取值为. ……8分所以，=＝. ……11分分布列为：所以，. ………………13分2．（本小题共13分）（Ⅰ） …1分，，所以切线的方程为，即． …3分（Ⅱ）令则↗最大值↘…6分，所以且，，，即函数的图像在直线的下方． …8分（Ⅲ）令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为. 所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. …13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为． …4分（Ⅱ）将代入并整理得，解得． …7分（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，，则． …9分所以直线的斜率互为相反数． …14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数. …3分（Ⅱ