高等数学复习-第10章曲线积分2012版

第十 曲线积分与曲面积一、教学目标及基本要求：3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件二、教学内容及学时分配：2242222三、教学内容的重点及难点：第一节对弧长的曲线积分（第一型内前面我们已经讲过好几种积分，如单积分（定积分一 对弧长的曲线积分的概念与性,（连续L的质量M在曲L上插入若干个分点，比如(n1)点：M1M2Mn1，把L分成n个小段，(xy(xy变化不大，可在这段上任取一点(i,i)，其线密度值(i,i)作为整个小段上的线密度值，即把这段看成是密度为(i,i)的均质曲线段，其质量(i,i

Si为弧Mi1Minn作和得整个曲线形构件的质量的近似值M(i,i为了提高精度，让弧长的最大值0，其极限值即为曲线构件的质量nMlim(i,i)Si0定义Lxoyf(xyLL上任意插入一点列M1M2Mn1L分成n个小段，设第i个小段的长度为si，又(i,i)n第if(i,i)si(i12,n并作和f(i,i)si如果当各小弧段的长度的最大值0f(xyL上对弧长的曲线积分或第一类（型）曲线积分，记作f(xy)dsL即f(xy)dslim

0积分记为vf(x,y)ds。L注：1.可积条件f(xyLf(x,y,z)dslimf(,, 0几何意义f(xy0f(xy)dsxoyLLf(i,i

f(x,

事实上，在L上任意插入一点列M1M2ML分成n个小段，设第i个小段的长度为L

M M

(, f(i,i为高，以sinf(i,i)si(i12,n，柱面面积的近似值为f(i,i)siAlimf(,)sf(xy)ds 0 对弧长曲线积分的性质性质 f(x,y)g(x,y)dsf(x,y)dsg(x,y)ds（线性性 性质 f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds（对弧段的可加性L 性质 设(x,y)L有f(x,y)g(x,y)，f(x,y)dsg(x,y)ds（单调性 f(x,y)dsf(x,y) f(x,y)dsf(L二、对弧长的曲线积分的计算法x(ty(t),tf(x,y)dsf((t),(t))[(t)]2[(t)]2 其中(t),(t具有一阶连续导数，且(t)2(t)20证明：假定当参数tL上的点MABLAM0,M1,M2,Mn1,Mn它们对应于一列单调增加的参数值：t0t1"tn1tnf(xy)dslimf(, 0设(i,i对应于参数值i，即(i,i(i),(i)),ti1i利用积分中值定理si

2(t)2(t)dt2()2( 其中ttiti1,ti1if(x,y)dslim

f(,)Slim

f((t),(t))2()2(ii iilim

f((t),(t))2(t2(t)t（将换为t，用到一致连续，解释 f((t),

yy(xx1xx2xxyy1y11[f(x,y)dsf(x, 11[x( f(x,y)dsf(x(y), (),f(x,y)dsf(()cos,()sin)[()]2[()]2 若积分弧段为(abb f(x,y)ds f(cos(),sin())122( xyy(t，tz

，则ds[x'(t)]2y'(t)]2z'(t)]2dt f(x,y,z)ds=

f(x(t),y(t),

[x'(t)]2y'(t)]2z'(t)]2dt 例 ）设椭圆柱面x2y

1zy

0 x2xALzdsLydsLLx 5cost,y3sint(0t

y9

1（y0 A

yds3sint5sin2t9cos2tdt

54cos2tdcost915lnL

xa2a2x2xa2

a2a2 ln(x2

)计算L

ydsLyx2上从点(0,0到点(1,1 551 yds

1x21y2dx 0

114x2dx 例 计算

R2x2y2dsLx2y2Rxy0Rcos(02则

R2x2y2ds 0

R2sin2

(Rsin)2(Rcos)22R0

R2dR22sindR0计算L

a,0,4

xx2 ds

x2y2 2a2 edeaaded2(ea1) xa2ex2y2dsaexdxaxa22a2e 2a ex2y2ds exdxeaaded2(ea1) 例计算

(x2y2z2)ds，其中xcostysintzt0t 因为x2y2z2=cos2tsin2tt2=1t2，ds (sint)2(cost)21dt 2dt所以

(x2y2z2)ds

(1t2)2dt2(2

) |y|ds，其中为球面x2y2z22与平面xy的交线 的参数方程为xycost,z

2sint，0t2，dsx'2y'2z'2dt2dt根据对称性得到

|y|ds=

2costdt202x2y22 计算2

(x2y2z2)ds，其中

z

(axa解yasint0t2dsz

[x'(t)]2[y'(t)]2[z'(t)]2dt a2(sin2tcos2t)dt

(x2y2z2)ds0

(a21)adt2a(a2x2y2z2中的点(xyz位于曲线上，即(xyz必须满足x2y2z2a21

(x2y2z2)ds

(a21)ds=(a21)ds2a(a2x y例设L为椭圆 1，其周长记为a，则v(2xy3x24y2)ds 三、第一类曲线积分的应用：）、曲线s=d

））

f(x,y,z)ds质心坐标为(xyzx

xf(x,y,z)ds

,y

yf(x,y,z)ds

,z

zf(x,y,;MxIx

y2z2f(xyz)ds例R，中心角为2L （设密度 I yLLxRcosyRsin,I y2dsL

R2sin2

(Rsin)2(Rcos)2dR3(sincos例（）一根位于yoz平面沿半圆y2z21,z0的弯曲金属弧（见图弧上点(xyz(xyz)2z，即该金属弧由下至上其密度逐渐减少，解由于弧yOzzxy0，zz(x,y, (x,y, 其中

x(t)0,y(t)cost,z(t)sint,0t(x,y,z)ds(2sin

x2(t)y2(t)z2(t)dt(2sint)1dt20 z(x,y,z)dssint(2sin

x2(t)y2(t)z2sint(2sint)dt8x18 8 x1

y2z2z 2 4（0，0，0.57教学要求和第二节对坐标的曲线积一、对坐标的曲线积分的概念与性 变力沿曲线所作的 设有变力F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j(P,Q连续)把一G G G G 功WFABFABcosFeAB现在是变力沿曲线作功，采用以前的方法化变为不变LL上插入n1AM0M1Mn②取近似：用 代替 ,且 M

G G，同时取(,M xi yi F(x,y)沿曲线弧M作功，用恒力F(i,i)沿直线段Mi1Mi作功近 即 wiF(i,i)Mi1Mi(P(i,i)iQ(i,i)j)(xiiyijP(i,i)xiQ(i,in③求和Wn

n Bn nnWlim0nlimP(i,i)xiQ(i,i)y0PdxQdyPdx

AM

也可写成向量形式PdxQdy(PQdxdyF定义

另：wi也可看成是恒F(i,i)在点(i,i)沿曲L的单位切线方向e(i,i)G,)长s所做的功，即w ,))s，从

(F( G

e( Wlimwilim(F(i,i)e(i,i0 0 变力作功为：WF(xyexLW L

G F(x,y)drF(x,y)e(x, 或：WPdxQdy(PcosQcos)ds WPdxQdyRdz(PcosQcosRcos 或WF(xyzdrF(xyze 性质⒈（线性性质 (k1F1(x,y,z)k2F2(x,y,z)) k1F1(x,y,z)drk2F2(x,y,z)性质⒉（对于积分曲线弧的可加性设有向曲线被分成两条有向曲线弧1和21和2的方向与的方 JJG

1

F(x,y,z) F(x,y,z)dr

F(x,y,z) 性质⒊（方向性 F(x,y,z)drF(x,y,z)二 对坐标的曲线积分的计算Lx(ty(t，起点对应的参数值为，终点对应的参数值为PdxQdy[P((t),(t))(t)Q((t),(t))L]22LLP(xy)dxQ(xy)dy[P]22L[P((t),

[P((t),(t))(t)Q((t),(t))Lyy(xA(x1y1B(x2y2则PdxQdy[P(x,y(xQ(x,y(x PdxQdy[P(x(y),y)x(y)Q(x(y), 设xx(t),yy(tzz(t，起点的参数值t，终点的参数值为tPdxQdyRdz[P(x(t),y(t),z(t))x(t)Q(t)y(t) 例计算xydxLy2xA(1,1)Lxydx1y2y2ydy 例计算Ly2dxL半径为a

y2dx

(a2x2)dxa

43（2）Ly2dx 0dxa例计算2xydxx2dyL为L（1）yx2上从点O(0,0)（2）xy2上从点O(0,0)（3）有向折线OABO(0,0),A(1,0计算

x3dx3zy2dyx2ydz，其中A(3,2,1)B(0,0,0

tAB对应t1txyAB对应t1txyz3210x3dx3zy2dyx2ydz[(3t)333t(2t)22(3t)22t]dt0 或x3dx3zy2dyx2ydzx3dx

yy2dy09z22zdz87 例计算

x2dxzdyydz，其中xkyacoszasin上从0到 3

k32xdxzdyydz[kasinacos]d= a2 例计算曲线积分c(zydx(xzdy(xydz，其中Cx2y2 先写出曲线C的参数方程，可令xcos，ysin，则z2cossin，为参数，由题设，C的起点、终点对应的参数值分别为2和0；在代入计算公式解曲线C是

xcosysinz2cossin20原式0[(2cos)(sin2cos2sincos(cossin)(cossin 0(2sin2cos2cos21)

0d20 例2F(xy)xyix2j⑴一质点从O(0,0yx2B(1,1⑵一质点从解 据第二型曲线积分的物理意义力场所做的功Wxydxx2dy1(xx2x22x)dx31x3dx x定向直线OAy

x：01，定向直线AB：x y：0yWxydxx2dyxydxx2dyxydxx2dy1x0dx1dy 方向垂直于z轴并且指向z轴，试求一质点沿圆弧xcost,y1,zsint从点(1,1,0)依t增加的方向移动到点(0,1,1)时场力所作的功 解：设作用点的坐标为(x,y,z) G(x,y,x2场力的大小F ，场力的方向与(x,y,0)x2G 对应的单位向量为e , ,0x2x2x2GGG

, F x2y2x2 d(x2y2 场力作功为Wx2y2dxx2y2dy2 x2 k2d(cos2t

lncos2t1 ln0 0

三 二类曲线积分之间的联x(t),y给出，起点A对应的参数为t1，终点B对应的参数值为t2t1t2，2LP(x,y)dxQ(x,y)dy[P((t),(t))(t)Q((t),(t2[P((t),

Q((t),

[[(t)]2[[PcosQcosLP(xyz)dxQ(xyz)dyR(xyz)dz[PcosQcosRcosGA

(P,Q,

Gdxdydz),G(coscoscos)，则上式 G AdrAdsAG 其中Gdxdydz(t),222222222222例1把第二类曲线积分P(x,yz)dxQ(x,yz)dyR(x,yz)dz其中为从点(0,0,0)到点(22

22解的方向向量为(2,2,1)，其方向余弦cos1,cos1,cos 2 2.把第二类曲线积分LP(xy)dxQ(xy)dyL为从点(0,0)沿上半圆周x2y22x到点(1,1)2x解L的参数方程为2x

x01，切向量(xy')(

1 2x单位切向量为(2xx21x)cos2xP(xy)dxQ(xy)dy[P(xycosQ(xycos]ds[2xx2P(xy1x)Q(xy)]ds 教学要求和第三节格林(Green)公式及其应讲稿内容一 格林公 Pdx y D y2

Pdxdy yyox x b 2(x) bydxdydxdyP(x,2(x))P(x,1(x)) 1(x) 而P(x,y)dx P(x,1(x))dx0 P(x, bP(x,2(x))P(x,1a所以PdxdyD D为Y-QdxdyD ③若区域DX-型区域，又是Y- Pdx y D D1D2X-型区域，又是Y-型区域。 BLo BLox 则

dxdy

PdxQdy1 1

y

L1

Pdx 222 2

D Ly xy

dxdyPdxD ①PyQx，则有2dxdyxdy DAdxdy1xdy 2P0,QxALPyQ0AL

例xacosybsin 1 xdyydx [acosbcosbsinasin]d 例求2xydxx2dyLL2xydxx2dy(2x2x)dxdy 例计算ey2dxdyD是以O(0,0A(1,1B(0,1D )ey2dxdydyey2dx1(1) 2P0,Qxey2)1ey)1ey2dxdy xey2dy0dxxe100dxDOAAB0110eydy (1 例计算积分xy2dyx2ydxLaLL:xacost,yasint,t0txy2dyx2ydx2a4sin2tcos2tdt1a4(1cos4t)dt1a xy2dyx2ydx(y2x2)dxdydr2rdr

1aL xy2dyx2ydx1a4xy2dyx2ydx1a4 例 计算

(x22y)dx3xyey)dyLA(2,0)B(0,1)的直线段1yx2y2及从B(0,1)到C(1,0)的圆弧x1y JJJG(x22y)dx(3xyey)dy5dxdy5(121112)5(11则

(x22y)dx(3xyey)dy2x2dx (x22y)dx(3xyey)dy5(1)32 例计算L

x2y解：易知P y2x

(x2y2

x2 林公式条件，可用格林公式x2

0dxdy vxdyydxL

x2

0dxdy0DLx2yLx2y

x2y2

（称为闭路变形原理，可作结论使用Kx2y2r2KDKxdy 2rcosrcosrsinr

x2y r d20xdyydxLx2y例 计算xdyydx，其中L为不通过(0,0)点的简单光滑闭曲线L4x2y:xcos,ysin

:0例计算曲线积分(exsinyy)dxexcosy1)dyC其中C是上半圆周(xa)2y22

(a)2

A(a,0)到O(0,0解：不能直接使用格林公式，添加辅助线OA(exsinyy)dx(excosy1)dydxdy1(a)21a (exsinyy)dx(excosy1)dy1a2(exsinyy)dx(excosy1)dy1a 二 平面上曲线积分与路径无关的条与B的两条曲线l1,l2，恒有PdxQdyPdxQdy 则说曲线积分PdxQdy在G内与路径无关，否则便说积分与路径有L论成立。

PdxQdy0AB及l1l2的任意性，可知下面2l1l2曲线积分在G内与路径无关对于G内的任意闭曲线C有PdxQdyC定理 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域G内具有一阶连续偏导数，则积PdxQdy在G内与路径无关在G内有PQ 证明：充分性：即已知G内有PQ，要证闭CGPdxQdy0 林公式PdxQdyQP)dxdy 必要性：即任意闭CGPdxQdy0，要证G内有PQ 设MG，使QP 0，由于QP连续，所以存在以M为中心 y0 0

x 半径rK，使QP0 PdxQdy(QP)dxdyr20 2xx例计算(x2y)dx(xsin2y)dy其中L是在圆周y2xxL)解：易验证P1Q，所以积分与路径无关 沿O(0,0)A(1,0)B(1,1)的直线段，如 (x2y)dx(xsin2y)dyx2dx(1sin2Lsin2

例 计 (2xy3xsinx)dx(x2yey)dy，其中L为摆线xtsint从 y1cos O(0,0B(,2)B(,C(, 本例若通过L的参数方程直接计算积分之值，显然是非常的。注意到：QB(,C(, B(,2) (2xy3xsinx)dx(x2yey)dyJJJG 3xsinxdx2(2yey)dy223e2 三、二元函数的全微分求积的全微分，并求出该二元函数。即找u(x,y)，使duPdxQdy.定理 设函数P,Q在单连通区域G内具一阶连续偏导数，则PdxQdy在G为u(x,y的全微分(x,yGPQ 必要（）duPdxQdy，则uPuQ，进一步有2u P

yyxxy,x连续，所以xyyxyx充分性：若(xyGPQ2知，在G 只与起点、终点有关。设M0x0y0M(xy)为终点，曲线积分可记为(x,y Qdyx,y的二元函数，记为u(x,y(x,y0

u(x,y)

(x,y(x,y)Pdx0下证duPdxQdy，只须证uPuQ u(xx,y)u(x,

1(xx,y

PdxQdyu(x, (x,y 0 1(x,y (xx,y

x

PdxQdy PdxQdyu(x,y)（取平行坐标轴的直线段 (x,y (x,y 0 lim

P(x,y)dx

P(xx,

P(x,yx0

同理可证u当存在u(x,y)，使得du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy成立时，称u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy的原函数。可以利用原函数u(x,y)PdxQdy

Aduu(B)u(A)u(M)AA这个定理的证明也提供了u(xy的求法：在定理条件下，积分与路径无关，取平行与坐标轴的直线段，得求u(x,y)的公式。 u(x,y)P(x,y0)dxQ(x,y)dyQ(x0,y)dyP(x, 由前面的讨论知，曲线积分与路径无关有下面四个等命题PQ在单连通区域GCG,PdxQdyC任意连接起点与终 径l1,l2，有PdxQdyPdx u(x,y，使duPdx(x,y)G,P 例解：因在全平面成立P2xyQxy2dxx2ydy

(x,y 法1公式法（线积分法）u(x,y)xy2dxx2ydyx2ydy x2y 2偏积法，所求u满足uxy2ux2 所以u xy2dx(y)1x2y2(y)，2x2yux2y(y)(y)0(y)Cu1x2y2 例6 求u(x,y)，使du(xy1)dx(xy23)dy。 因为Q1P (x,y)R2， 线积法u(xy)xy)(xy1)dxxy2x(x1)dxy(xy23)dyCx2xxy1y33y 偏积法 x由于 xy1，两端对x积分得：u(x,y) xyx(y)，(y)待定 求 x'(y)，又由 Q(x,y) 则y)

23，'(y) 3yC，u(x,y) xxy1y

3yy3 y3 下面给出曲线积分与路径无关的四个等价命题中（1）（2）（3）稳定场：场中的物理量只与点M的位置有关，与时间t无关，称为稳定场，通常记为u(M),A(M).时变场：场中的物理量不仅与点M的位置有关，还与时间t有关，称为时变场，通常记为u(M,t),A(M,t).等值面：给定空间数量场u(xyz)，把取相同值C的点所构成的曲面u(xyz)Cu(xyzx2y2z2等值线：给定平面数量场u(x,y，把取相同值C的点所构成的曲线u(x,y)u(xyx2y2向量线：给定空间区域GA(xyzG内这样的因PdxQdy(PQdxdyv(M eG(Me

(PQ)，由物理

知， G表示速度 在曲线v(M v(M) v(M上沿单位切向量的分速度，积分 Gds表示单位时间内，场

沿闭曲线Cv(M)

v(MC动流体的数量，称为环流量。所以，四个

G0沿任意闭路曲线积分等于零，即C

eds v(M)CGv(M

C上任意一点无旋转趋势，称v(M为无旋场积分CPdxQdyAPQ为保守场给定数量场u(xygradu

uG

u

PQ；这里是x y问题，给定向量场APQ)，能否存在数量场u(x,y)graduA。命题（3）给出肯定回答，这样的数量场u(xy存在，此时称u(x,y)为向量场A的势函数A例A(3x26xy,3y23x2是有势场，并求其势函数。教学要求和举2个例子说明格林公式的用法第四 对面积的曲面积讲稿内容定义设曲面是光滑的，函数f(x,yz在上有界。把任意分成n小块（Si同时也代表第i小块曲面的面积，设(i,i,i是Sin

f(i,i,i)Si，如果当各小块曲面的直最大值0f(xyz在曲面的曲面积分或第一类曲面积分，记为n

f(x,y ，即f(x,y,

0

f(i,i,i)Sif(x,yz曲面的直径：曲面中任意两点距离的 (fg)dSfdS （线性性 fdSfdS （可加性1 (x,y),f(x,y)g(x,y)，则fdSgdS（单调性 二、对面积的曲面积分的计算法对曲面积分的计算法：化曲面积分为二重积分，一代二换三投影①设zz(xy，xoyDxy，zz(xyDxy f(x,yz)在 f(x,y,z)dS f(x,y,z(x,y))1z2(x,y)z2(x, 一代：被积函数中的某个变量用曲二换dS三投影：将 投影到相应的坐标面上 ②设xxyzyozDyz f(x,y,z)dS f(x(y,z),y,z)1x2x2 ③设yy(xzxozDxz f(x,y,z)dS f(x,y(x,z),z)1y2y2 ④设曲面方程由参数方程给出:xx(uv),yy(uvzz(uvGif(x,y,z)dSf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

zu f(u,

EGF2

Ex2y2z2GG记Gx(uvy(uvz(u ruru Gx2y2z2GFxv

vyyv

vzzGvu u u ru计算曲面积分1dS，其中x2y2z2a2zh(0ha2x2a2x21xya2x2y a2x2ydS dxdy

aa2x2yxoyx2y2a2h2z1dSz

dxdy

a2x2ya2a2x2y

a2a2

aa2x2y

2

a2

h计算xyzdS，其中x0,y0,z0,xyz1所围成的四面体解：题中的四个平面分别记为12,34，xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS 4:x1y11x2x 3 1 xyzdSdy(1yz)yz 3dydz120

所以xyzdS1203 3x2y例计算(x2y2x2y12

z11:z x2y2(0z2z1(0x2y21)12xoyDxyx2y2(x2y2)dS(x2y2)dS(x2y2 (x2y2)2dxdy(x2y2

x2yd22dd2dx2y 计算I(xyyzx2y22ax

，其中为锥面z 被曲1xyx2y x21xyx2y x2y

dxdy

xoyx2y22ax，对应的极坐标方程为r2aI

2a(r2cossinrsinrrrcos)0

2 dr3(cossinsincos2 4

(2acos

(cossinsincos（利用被积函数的奇偶性4 8

cosd

2a4 x2y2a2z0,zmx(m0xb(ba所a2xa2xa2a2x1y2y a2xa2xa2dSa2xa2xa2 zz3z x3z4计算zdS，其中x2y21z0z1x 如图，123y①1z(x,y)0，则zdS0dSy 21x1x后两部分的方程分别为：y1x1x1Dzx：0z1x，1x111y2y1y2y 11x 1 11 zdSzdSzdS2z

1

2dzdx

dz

dx11 2111z2z 121z2z 12

(x,y)x2y21, 故zdS(1x)2dxdy2d1(1rcos rdr 22(11cos)d （若利用对称性：zdS(1x)2dxdy 2dxdy 2 ) 从而zdS=zdS+zdS+zdS=03 2 3) 解：由于密度为常数，所以xy0,z xRsin球缺面的参数方程为yRsinzR

02,04dSR2sindS

3R2sind(2 1 31 zdSdRcosRsind 2(2 z2(2 教学要求和讲稿内容

第五节定义：光滑曲面，在曲面上任取一点M，在这一点有一法线，让M沿曲面连续移动但不经过曲面的边界，若M回到出发点时，其法线的方向与出发点的方向双侧曲面又分左右侧、内外侧、上下侧等，我们把选定了侧的曲面称为有向曲面设S为xoy面的投影记为(Sxy，投影面积为()xy，则规定：()xy,cos(Sxy)cos 为Sz

cos注意Sxoy面的投影(Sxy实际上就是Sxoy面的投影区域的面积(xy附上一定的正负号。即：若小块曲面S的上侧投影到xoy面为正，则下侧投影到xoy面就为正，说明()xy前的正负号是用来确定曲面的侧的。由的光滑性及S的任意性可以保证Scos0或cos类似可规定有向曲面S对其它坐标面的投影。引例流向曲面一侧的流量Gv(x,y,G

P(x,yzQ(x,yzR(x,yzv(MC(流量：单位时间内通过有向曲面 （通过曲面 若有向曲面变为有向平面A 流速v(x,y,z)变为常量A上给定侧的单位法向量为G则Av G AvcosA(vGnicosi,cosiGv(Mi)P(Mi),Q(Mi),R(MiSiMi(i,i,ii①划分（分：把分成n小块Si（同时也表相应的面积曲面片上任取一点M( ,)，把S上各点的流速视为常量v(M)，并把 G v(Mi)的流量近似等于以Si为底、斜高为v(Mi)的斜柱 M) (v(i

求和（合：v(MininP(i,i,i)cosiQcosiRcosin④求极限（精：记为小曲面Si的直径的最大值n P(,,)cosQcosR0

注意cosiSi是小曲面Si在yoz坐标面的投影，记为(SilimP(,,)(S Q(S R(S)0 iyz izx ixyi1 P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y, 积分P(xyz)dydzP(x,yz在有向曲面yz的曲面积分定义：设为光滑的有向曲面，函数R(xyz在上有界，把任意分成n面面Si（Si同时又表i块小区域的面积，Sixoy面上的投影为(S)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点，如果当各小块曲面的直径的最大值0nlimR(i,i,i)(Si)xyR(xyz在有向曲面xyi记作R(xyz)dxdy，即R(xyz)dxdylimR(,,)(Si 0R(xyz叫做被积函数叫做积分曲面类似可定义函数P(x,yz)在有向曲面上对坐标yz的曲面积分，P(x,y,

，及函数Q(x,yz)在有向曲面上对坐标zx的曲面积分Q(x,y,z)dzdx。以上三种曲面积分称为第二类曲面积分注：①积分P(xyz)dydzQ(x,yz)dzdxR(x,yz)dxdy简记 PdydzQdzdxRdxdyA ②可积条件A(x,yz)(P(x,yzQ(x,yzR(x,yz PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos 或AdSA

AnG G 1(k1A1k1A1)dSk1A1dSk1A1 AdSAdSA1 3AdSA 二、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面zz(xyxoyDxyR(x,y,z)dxdylimR(,,)(S i 0因为(i,i,i所以iz(i,i又cos0,故(SixyinlimR(i,iz(i,i))(ixy（利用二重积分的DR(x,y,z(x,D若积分曲面取下侧，则有R(x,yz)dxdyR(x,yz(x, 解释：设曲面积分的面积元为dxdy一代：将曲面zz(xy代入被积函数；二投：将曲面投影到xoy坐标面；三定向：上侧为正，下其余同理，如若曲面积分的面积元为一代：将曲面yy(xz代入被积函数；二投：将曲面投影到xoz坐标面；三定向：右侧为正，左例计算xyzdxdy，其中x2y2z2x0,y11x21x2y1x2y1x2y

xyzdxdyxyzdxdy DD

1x2y2dxdyDD

1x2y22

1x2ydxdy21x2y

cossin rdr2

1r1r 2例If(x)dydzgy)dxdzh(z)dxdy，式f(xgyh(z是长方体0xa,0y 2解123451x02:xa3:y

4:y

5z06:zc则h(z)dxdy 0000h(0)dxdyh(c)dxdyab[(h(c) f(x)dydzbcf(afg(y)dxdzac(g(b)所以Iabcf(af(0)g(bg(0)h(ch(0) 例计算yz)dydzzx)dzdxxy)dxdy，式中x2y2z2(0z的外表面。解11zh2z2x2y2(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy00(x dr2(cossin)dr (cossin)dr2 (yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy(yz)dydz(yz)dydz0

0 （yoz面为正，后侧投影为负，都为同一个投影区域，所以三、两类曲面积分之间的联系设有有向曲面zz(xyxoyDxy（zz(xyDxy上具有一阶连续偏导数，被积函数在上连续）R(x,y,z)dxdyR(x,y,z(x, 由对面积的曲面积分计算方 R(x,y,z)dS R(x,y,z(x,y))1z2z2

（注意两式不同的地方1z2z 并注意到有向曲1z2z 即有dS1z2z2dxdy dxdy，亦即cosdS R(xyz)dxdyR(xyz 1z2z 如果取下侧，虽1z2z P(xyz)dydzP(xyz Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cos PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos (P,Q,R)(dydz,dzdx,dxdy)(P,Q,R)(cosdS,cosdS, AdSAndSAn, , dS(dydz,dzdx,dxdy)(cosdS,cosdS,cosdS) A GAnprjGA 说明：对坐标的曲面积分必须将曲面可以投影到你觉得方便的某一个坐标面上（合一投影，这就是两种积分在应用上区别。特别注意曲面的侧。上

(P(zx)Q(zy)RDD计算(z2x)dydzzdxdy，其中z1(x2y2z0z 首先，计算(z2x)dydz2zy2zy其中12，1:x ，前侧；2zy2zy(z2x)dydz(z2x)dydz(z2 (z2

2zy)dydz(z2 2zy2zy

(2, (2,2) oDD

2zy2dydz21

y2

2zy2dz1 其次，zdxdy (x2y2)(dxdy) dr2rdr 原积分

2 11(z2x)dydz(z2x)cosds

x2y2)2x)cos1z2z2xy(xy Dxy注意取下侧，cos0,cos 11z2z 1(x2y2)2x)xdxdyDxy2

22

2

x)dydz

(4

y)x)zdxdyx

(4

y

0x2dxdydr2cos2rdr

zdxdyzcosdszdxdy1(x2y2)dxdy12d2r2rdr Dxy 2 教学要求和讲稿内容

第六节高斯公式散一、高斯(Gauss)公格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关定 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)Q(x,yzR(x,yz在 yzdxdydzPdydzQdzdx (PcosQcosQcos该公式称为高斯公式其中是(coscoscos是在点(xyz处的单z轴的直线穿过时与边界的交点恰有两个。如图这时，设123xoyDxy。zz2(x,1zz1(x,zz2(x,1zz1(x,2:zz2(x,y(x,yDxy在以上假设下，可以证明Rdv z2(x,y)因为：zdvdxdy zdzR(x,y,z2)R(x,y,z1)dxdy

z1(x,y

RdxdyRdxdyR(x,y,z1)dxdyR(x,y,z2)dxdy 3 R(x,y,z2)R(x,y,z1

所 Rdv PdvPdydz y轴的直线穿过时与边界的交点恰有两个。QdvQdzdx 时与边界的交点都恰有两个，个辅助曲面，划分使其满足④。如图y1y1的边界曲面为1S2的边界曲面为2S2 yzdxdydzPdydzQdzdxRdxdy

1 1 xy dxdydzPdydzQdzdxRdxdy S 两式相加得

例计算(xy)dxdyyz)xdydz，其中x2y21z0z3所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。(xy)dxdyyz)xdydzyz ddr(rsinz)rdz2 例计算yz)dydzzx)dzdxxy)dxdy，式中(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy(000)dxdydz 例计算xdydzydxdzzdxdy，式中x2y2z2a2z0:xdydzydxdzzdxdy(111)dxdydz32 所以xdydzydxdzzdxdy2a3xdydzydxdzzdxdy2a3 例2Iy2x)dydzz2y)dzdxx2其中z2x2y21z2) 由于非封闭曲面，添加曲面1:z1，1取下侧(y2x)dydz(z2y)dzdx(x223dxdydz3

x2y2232(2z)dz 又y2x)dydzz2y)dzdxx24(x21)dxdy2d1(2cos21)d4 x2y2所以Iy2x)dydzz2y)dzdxx2z)dxdy33 设u(x,y,z),v(x,y,z)在上具有一阶及二阶连续偏导数，证2v2v (uvuvuu( 2

uG

)d z

z其中为n为的外法线方向。PQR zdxdydz

(PcosQcosQcos PuvQuvRuv ：（A）式称为格林第一公式。引入符

（ 斯算子， , ,)（哈密顿算子x

y

z

xy格林第一公式可表为uvduvdSu 在格林第一公式换u,v的位置，vudvudSu

(uvvu)d(uvvu 二 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条PdydzQdzdxRdxdy在G内与所取的曲面无关，而只取决于 条件是(x,y,z)G, 一维单连通区域：空间区域G内，任一简单闭曲线C都可以作出一张以C为边界而完全属于G的曲面。如同心球所围成的区域。三、通量与散度 yzdxdydzPdydzQdzdx (PcosQcosQcosGv(x,yz)(P(x,yzQ(x,yzR(x,yz是速度场中一片有向曲面，速度v(MC(nGcoscoscos为上点(xyzn 指定侧的流体的总质量，称 PdydzQdzdxRdxdyw(P Q Qcos)dS

G

v vn 又由于有向闭曲面 是 的外侧，所以高斯公式右端的又可解释为：单位时间内离闭区域由于流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开的同时，必须产的在单位时间内所产生的流体质量与流出的边界的质量相等。下面给出强度——散度（通量密度）的概念高斯公式两端同除的体积V得1PQR 1 yzdxdydzVvn PQR (,,)x z Vw 让(x,yzP

R

n (x,y,z)Vn上式左端表示单位时间单位体积所产生流体的质量，称为通量密度或散度 为divv，即divvxy直接给出定义为： 定义：设向量场由A(x,yz)P(x,yz)iQ(x,yz)jR(x,yz)kPQR具有一阶连续偏导数，是场内一有向曲面，n是曲面上点(x,yz)

G

(PcosQcosQcos)dSAA G叫做向量场A通过曲面指定侧的通量（或流量G xyzA的散GdivAdvAndS 它说明A通过闭曲面A的散度在所包围的散度的运算：div(cA)div(AB)divAdiv(uA)udivAgradu （u为数量值函数 (uP)(uQ) uPQRuPuQuR Ggradu z div(gradu)G例R为半径的球面S的电通量e，（2）D的散度(xx)2(y(xx)2(yy)2(zzD4r

er,r

,er2 G 2（1） DndS4r2erndS4r2dS4R24R G

G xx0,yy0,zz0qx y zz0 4r2 4r r r xx r23(xx 0 x r ryy r23(yy zz r23(zz 0 0 y r r z r rG x y zz0 4divr r r

教学要求和讲稿内容

第七节斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯(Stokes)公的边界为光滑曲线PQR具有一阶连续偏导数，则有PdxQdyRdzRQ)dydzPR)dzdxQP)dxdy [(RQ)cos(PR)cos(QP)cos 为了便于斯托克斯公式写为下面的形式： PdxQdyRdz

cos z zf(x,y的正向边界曲线为xoy面的投影为CCDxy（显然也是xoy面的投影区域则可以证明

zf(x,PdxPdzdxP （左右两端均化为二重积分设Cxx(tyy(t),t（取参数增大的方向与曲线正向一致则xx(ty