第 3 章(II)多自由度系统的振动

第3章

多自由度系统的振动李映辉西南交通大学2015.092023年2月1日《振动力学》22023年2月1日中国力学学会学术大会‘2005’22023年2月1日2声明本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。不可用于任何商业目的。本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2023年2月1日《振动力学》3教学内容多自由度系统的振动2023年2月1日《振动力学》3教学内容两自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统固有特性的近似解法2023年2月1日《振动力学》4教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法2023年2月1日《振动力学》4多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2023年2月1日《振动力学》5多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法1邓柯莱法（Dunkerley）

该方法由邓柯莱在用实验确定多圆盘轴横向振动频率时提出，作为系统基频估算公式。

设n自由度系统质量阵、柔度阵为自由振动方程为2023年2月1日《振动力学》6多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法特征方程为

式中λ=1/ω2。展开设上式根λ1=1/ω12，λ2=1/ω22，…,λn=1/ωn2,则（3.101）可表为2023年2月1日《振动力学》7多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法展开得比较（3.101）和（3.103）得即因ω1<<ω2、ω3、…、ωn,1/ω2、1/ω3、…、1/ωn较小，得式中δii=1/kii，则2023年2月1日《振动力学》8多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法故上式即为邓柯莱公式，ωii是系统在质量mii单独作用下（其他质量为零）系统的固有频率。因（3.105）左边舍去了一些正项，由（3.105）计算的1/ω12值比实际大，ω12实际值小。2023年2月1日《振动力学》9多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法【例3.10】图3.15为等截面简支梁。其有3集中质量是m1、m2、m3，梁弯曲刚度为EI，质量不计。用邓柯莱法计算系统第一阶固有频率的近似值。已知：m1=m3=m,m2=2m。【解】由材料力学知，简支梁在单位下的挠曲线公式为a、b分别为力作用点到左右端的距离。2023年2月1日《振动力学》10多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法求得柔度影响系数为由（3.107）得求得的ω1值比精确值小2.5%。2023年2月1日《振动力学》112023年2月1日《振动力学》11教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法2023年2月1日《振动力学》11多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2023年2月1日《振动力学》12多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法2瑞雷法（Rayleigh)多自由度系统的动能T与势能U的表达式为系统作某一阶主振动时代入（3.108）和(3.109)得系统在作第i阶主振动时，最大动能Tmax与最大势能Umax2023年2月1日《振动力学》13多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法由机械能守恒定律，Tmax=Umax得在（3.115）中A(i)代入假设振型A，结果以R1表示，则称为瑞雷商。这种计算系统固有频率的方法称为瑞雷法.

因很难选A(i)接近高阶主振型，通常不用瑞雷法求高阶固有频率，只用它求低阶固有频率。2023年2月1日《振动力学》14多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法

取接近一阶主振型的假设振型A代入（3.115），则瑞雷商为一阶固有频率平方近似值。证明如下：

如假设振型A不是主振型，将其用正则振型线性表示

有瑞雷商为2023年2月1日《振动力学》15多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法若A接近于一阶主振型A（1），则C2/C1<<1,C3/C1<<1,…,Cn/C1<<1,则由（3.118）有一般以静变形作假设振型，可得相当准确的结果。如选取A有困难，可任选一A。与动力矩阵D(=M)相乘，得B1=DA，然后以B1或与其成比例的B1作A(1)的近似振型，再按（3.116)计算R1，可得ω12好的近似。2023年2月1日《振动力学》16多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法也可用于以柔度阵δ建立振动方程的情况，这时系统势能U等于外力的功，即在振动过程中，只有惯性力作用，即因x为得2023年2月1日《振动力学》17多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法势能、动能最大值由Tmax=Umax，得当A为第i阶主振型，由（3.122）得第i阶固有频率的平方值ωi2。在（3.122）中代入假设振型A，结果用R2表示，则有上式称为第二瑞雷商。2023年2月1日《振动力学》18多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法注意：用（3.115）或（3.123）计算的ω12总比精确值ω12大。因任选一A，即对系统增加了约束，提高了系统刚度，使频率增大。【例3.11】用瑞雷法求例3.10中一阶固有频率的近似值。【解】由例3.10系统质量阵M和柔度阵δ为2023年2月1日《振动力学》19多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法三点处静挠度为最大势能为各点最大速度为ωy1、ωy2、ωy3，最大动能为2023年2月1日《振动力学》20多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法由（3.124）得此结果比真实值略高，误差为0.02%。2023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》212023年2月1日《振动力学》21作业第97页3.19多自由度系统的振动/多自由度系统的振动2023年2月1日《振动力学》222023年2月1日《振动力学》222023年2月1日《振动力学》22教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法2023年2月1日《振动力学》22多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2023年2月1日《振动力学》23多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法3李兹法（Ritz)

瑞雷法理论上可求系统的各阶固有频率，但实际上难以用于求高阶固有频率。李兹法对瑞雷商进行了改进，采用其极值形式，能找到较精确的低阶和高阶振型，不仅可求出更精确的基频，还可计算高阶频率和振型，故李兹法也称为瑞雷—李兹法。李兹法需先假定若干振型，并进行线性组合，用瑞雷法计算前几阶固有频率。若系统自由度很大，矩阵阶数很高，其存储量大，运算速度慢。2023年2月1日《振动力学》24多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法如希望有s阶频率与振型为准确值，需假设n1个振型(2s<n1<n)，矩阵阶数大为降低，故李兹法是一种缩减系统自由度的近似解法。介绍如下：任取n1个线性无关的特征向量ψ1、ψ2、…、ψn1，用其线性组合作为新的假设振型A,即式中C1、

C2、…、

Cn1为待定常数，将（3.125）表为矩阵形式其中2023年2月1日《振动力学》25多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法将A=ψC代入（3.116）得由瑞雷商极值性质，可得待定常数Cj，即令将这n1个方程表为矩阵形式其中分别为n1×n1的广义刚度阵和广义质量阵.2023年2月1日《振动力学》26多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法（3.130）为特征值问题，因阶数n1远小于系统自由度数n，求解简便。由（3.130）得s个特征值R1、R2、…、Rn1为系统最低的n1个固有频率，C(1)、

C(2)、…、

C(n1)

为对应的n1个主振型【例3.12】图示弹簧—质量系统,用李兹法求其前三阶固有频率和主振型。2023年2月1日《振动力学》27多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法【解】取广义坐标x1、x2、x3、x4，系统质量阵、刚度阵为设则广义刚度阵为2023年2月1日《振动力学》28多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法广义质量阵为代入（3.130）得解得2023年2月1日《振动力学》29多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法系统最低二阶固有频率的近似值为主振型的近似值为同样可以求出另两阶频率和振型。2023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》302023年2月1日《振动力学》30作业第98页3.22多自由度系统的振动/多自由度系统的振动2023年2月1日《振动力学》312023年2月1日《振动力学》312023年2月1日《振动力学》31教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法2023年2月1日《振动力学》31多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2023年2月1日《振动力学》32多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法4.传递矩阵法质量阵、刚度阵形成后，前述方法有广泛应用。

对一环连一环，呈链状的工程结构（如发动机曲轴、连续梁等），可采用另一计算方法—传递矩阵法。该法只需对低阶次的传递矩阵进行乘法运算，并计算其特征值，节省计算工作量。由界面上的力和位移组成列矢量，称为状态矢量。联系相邻单元间状态矢量的矩阵，称传递矩阵。传递矩阵把状态矢量从一个位置转换到另一位置，因此称为传递矩阵法，又称变换矩阵法。2023年2月1日《振动力学》33多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法（1）梁上有集中质量的横向振动系统连续梁或汽轮机的发动机转子可简化为无质量的梁附加若干集中质量的横向振动系统，如图3.17（a）。图3.172023年2月1日《振动力学》34多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法设第i个单元集中质量mi，梁长li，抗弯刚度EIi。梁段及集中质量受力如图3.17（c）、（d）。各截面挠度y、截面转角θ、剪力Q及弯矩M约定为正值。任一截面状态向量有4个分量，即广义位移y与θ及广义力Q与M，表示为2023年2月1日《振动力学》35多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法由图3.17（d）的力平衡条件有图3.172023年2月1日《振动力学》36多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法设第i段梁上距左端x处截面的弯矩、剪力、转角、挠度分别为Mi(x)、Qi(x)、θi(x)及yi(x)，则上式中令x=li,得2023年2月1日《振动力学》37多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法表为矩阵形式简写成式中Hif称为场传递矩阵。

由图3.17（c），集中质量两边的挠度、转角、弯矩、剪力满足2023年2月1日《振动力学》38多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法当系统以频率ω振动时，（3.142）为（3.139）-（3.143）表示矩阵形式2023年2月1日《振动力学》39多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法HiP称为点传递矩阵。

由（3.138）、（3.145）得Zi-1R到ZiR的传递关系为其中Hi称为第i单元的传递矩阵2023年2月1日《振动力学》40多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法由此得到记总传递矩阵为则从最左端与最右端间的传递关系为2023年2月1日《振动力学》41多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法具体形式为H中各元素依赖于ω，表示为两端边界条件已知，可以得到梁的固有频率。2023年2月1日《振动力学》42多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法（2）轴盘扭转振动系统

对图3.18（a）示链状轴盘扭振系统，其典型单元包括无质量轴段和刚性圆盘。

设第i单元内轴段扭转刚度ki，长度li，圆盘转动惯量Ji，轴段及圆盘受力如图3.18（b）-（c）。各截面转角θ、扭矩M约定为正值。截面状态向量为不计轴段转动惯量，由图3.18知两边扭矩相等2023年2月1日《振动力学》43多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法轴段两边转角满足：2023年2月1日《振动力学》44多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法（3.154）与（3.155）写成矩阵形式即表示从状态向量Zi-1R到ZiL的传递关系，Hif称为场传递矩阵。

由图3.18（c）知圆盘两边转角相等，即圆盘振动方程为2023年2月1日《振动力学》45多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法当轴盘系统以频率ω振动时，有，代入得（3.158）与（3.157）的矩阵形式得表示从状态向量ZiL到ZiR的传递关系，HiP称为点传递矩阵。2023年2月1日《振动力学》46多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法由（3.156）、（3.160）得从ZiR到Zi-1R的传递关系Hi称为第i单元的传递矩阵。等于Hi是频率的函数。通过各单元的传递矩阵，可建立结构最左端与最右端的状态向量之间的传递关系。2023年2月1日《振动力学》47多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法【例3.13】3圆盘扭振系统。各圆盘的转动惯量J1=4.9kg.m2，J1=4.9kg.m2，J3=19.6kg.m2，轴段扭转刚度k2=98×103N.m，k3=196×103N.m.用传递矩阵法求各阶固有频率和主振型。【解】由传递矩阵法，系统最左端与最右端状态向量之间传递关系为即2023年2月1日《振动力学》48多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法边界条件为M1L=M3R=0。对左端边界条件，在（a）中M1L=0，得因θ1L任意，ω是固有频率，M3R=0，代入（b），有上式即为频率方程。设最左端状态向量为2023年2月1日《振动力学》49多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法Z1R=H1PZ1L,Z2R=H1fZ1R,Z3R=H3Z2R的具体形式为可得该扭转系统的固有频率和模态（注意刚体运动）

2023年2月1日《振动力学》50多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法对应主振型为2023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》512023年2月1日《振动力学》51作业第98页3.24多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵法2023年2月1日《振动力学》522023年2月1日《振动力学》522023年2月1日《振动力学》522023年2月1日《振动力学》52教学内容多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法2023年2月1日《振动力学》52多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（Dunkerley）瑞雷法（Rayleigh)李兹法（Ritz)传递矩阵法矩阵迭代法2023年2月1日《振动力学》53多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法5.矩阵迭代法（1）求一阶固有频率和振型

对无阻尼多自由度振动系统，其固有频率及主振型可由下式求出：上式也可写为引入D=δM和λ=1/ω2，则（3.164）可写为D称为系统的动力矩阵。2023年2月1日《振动力学》54多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法用矩阵迭代法是计算固有频率和主振型步骤如下：（1）任假设一初始振型A；（2）按下格式计算位形列阵序列Am，m=1,2,…；当m足够大时，位形列阵趋于第一主振型，即

且

2023年2月1日《振动力学》55多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法式中（ai）m为列阵Am=[a1a2…ai…]mT的第i个元素。证明如下：因任意初始振型A0可表为主振型的线性组合，即第一次迭代得同样2023年2月1日《振动力学》56多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法继续迭代有当迭代次数较大时，(λ2/λ1

)m，(λ3/λ1

)m，，…

(λn/λ1

)m均小于1，除了第一项外，其他各项均可忽略.#影响迭代收敛速度因素：（1）系统本身性质，即λ2/λ1的大小；（2）初始列阵A0，越接近一阶主振型，即C2/

C1

、

C3/

C1

、…等越小，收敛越快。迭代收敛速度主要取决于λ2/λ1的比值。2023年2月1日《振动力学》57多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法(2)求高阶固有频率和振型

矩阵迭代法可求出全部固有频率及主振型。下面说明求各阶固有频率及主振型的清除矩阵迭代法。

设第一阶固有频率ω1和主振型A(1)已求得,将A(1)对质量阵正则化得AN(1)。为求二频率，构造如下动力矩阵：D2称为清除矩阵（清除第一振型的动力矩阵）。用上述迭代步骤，任取初始振型A0，用D2替代原来D，则迭代将收敛于λ2及A(2)。2023年2月1日《振动力学》58多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法证明如下：由于第一次迭代注意到得到