计算区域与控制方程离散-热流问题的数值计算-课件-02

热流问题的数值计算

NumericalSimulationsofThermal&FluidProblems第2章计算区域与控制方程离散主讲李炎锋2008年7月北京2.1空间区域的离散化(Domaindiscretization)2.1.1区域离散化的实质和内容

实质:用一组有限个离散的点代表原来的连续空间.实施过程:把所计算的区域划分成许多个互不重叠的子区域（sub-domain），确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积(controlvolume)。4种几何要素:

节点（grid):需要求解的未知物理量的几何位置.控制容积(controlvolume):应用控制方程或守恒定律的最小几何单位.界面(surface):与各节点相对应的控制容积的分界面位置.网格线(gridline):沿坐标轴方向联结相邻两节点而形成的曲线簇。2.1.2两类设置节点的方法

1.外节点法（practiceA）：先节点后界面法。2.内节点法(practiceB)：先界面后节点法(见表2-1)用P,N,E,W,S表示所研究的节点及相邻的节点，用n,e,w,s表示相应的界面。两节点间的距离用x表示，x表示相邻两界面间的距离。2、非结构化网格（unstructuredgrid）：生成复杂，对不规则区域适应性强；1、结构化网格（structuredgrid）：生成简单，对不规则区域适应性差；两类网格比较:2.1.3两类节点设置方法的比较1、边界节点代表的控制容积不同。外节点法中，位于非角顶上的边界节点代表了半个控制容积；内节点法中，则应看成是厚度为零的控制容积的代表。2、当网格不均匀时，内节点法中节点永远位于控制容积的中心。外节点法则不然。

3、对一维问题，当节点不均匀布置时外节点法的离散误差比较小，但对二维流动问题用四边形网格来计算时，发现两种布置方法得出的结果几乎相同。2.1.4关于网格生成的进一步说明2、同一坐标方向上相邻两个子区域（或控制容积）的宽度应保持在一个合适的范围内。

1、对每个控制容积在不同方向的宽度应保持一个合适的比例。对椭圆型问题，应为接近1；对抛物型问题或某个方向的变化率明显大于另一个方向的椭圆型问题，变化剧烈的方向应取较小的宽度。对不均匀网格应注意：守恒型:非守恒型:2.2.1一维模型方程2.2建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法2.2.2用Taylor展开法导出导数的差分方程式得：由:的截断误差小于等于来代替其中，(x)称为截断误差（truncationerror），表示随着x趋近于零，用(x2):中心差分(centraldifference)(x):向后差分(backwarddifference)(x):向前差分（forwarddifference）用一阶精度的差分表达式来代替，为:2.2.3一维模型方程的离散C-N格式:每一时层上空间导数的差分按每一层的中间时刻之值计算.隐式:每一时层上空间导数的差分按每一层的终了时刻之值计算;显式:每一时层上空间导数的差分按每一层的初始时刻之值计算;非稳态问题的三种格式：将一维模型方程的精确解在接点（i,n+1），（i+1,n）（i-1,n）上对节点（i,n）作Taylor展开，取时间的向前差分，空间的中心差分，可得：用近似值代替精确解(i,n)，可得Taylor展开法导出的一维模型方程的显式离散格式为：2.2.4用多项式拟合法建立导数的差分表达式

设x0=0,x0为点(i,n)的x坐标，则有：设函数(x,t)在节点(i,n)附近对x的变化近似地成线性，则有：1.线性逼近原理：对未知函数的局部变化型线采用多项式逼近在点（i,n）的向前差分为：由上两式得，由此得,有：2.二次曲线拟合:一、二阶导数的差分逼近为：例题：设在如图所示的情形中，已知区域内部与边界节点的温度，物体导热系数为常数，试用多项式拟合法确定穿过壁面的热流密度。如果取温度分布为二次曲线，yTi,1Ti,5Ti,4Ti,3Ti,2xy解：设壁面附近温度T按线性变化，则

则有:该具有二阶精度.于是得:由此得:2.3建立离散方程的控制容积积分法及平衡法1.将守恒型的控制方程在任一控制容积及时间间隔内对空间和时间作积分；2.选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分布曲线，即型线；3.对各个项按选定的型线作积分，并整理成关于节点上未知值的代数方程.2.3.1控制容积积分法的实施步骤及常用的型线主要步骤：分段线性分布（piecewiselinear）阶梯式分布（stepwise）常用的型线：(2)(1)将上式对控制容积P在t时间间隔内作积分，得:一维守恒型模型方程：2.3.2用控制容积积分法离散一维模型方程对对流项：选定随t变化的型线为阶梯式，得:对非稳态项：选定随x变化的型线为阶梯式，得:(3)(4)(8)(7)(6)若取随x呈分段线性变化，则式（4）（5）中界面的对流项(u)及扩散项可表示为：(5)对扩散项：选取一阶导数随时间作显式阶跃式变化，得:将式（3）-（9）代入（2）得:(9)对源项：假设S对t及x均呈阶梯式变化，则：把物理上的守恒定律直接用于所研究的控制容积，并把节点看成是控制容积的代表，导出节点上未知值间的代数关系式。2.3.3由控制容积平衡法导出离散方程注意：用控制容积积分法与用Taylor展开法导出的离散方程不一定相同，计算结果的精确度也不一样。

对一维问题，则有在t时间间隔内控制容积P中变量的增量，等于在同一时间间隔内由流及扩散作用进入该控制容积的的净值及源项所生之值的总和，有：2.3.4不同离散方法的比较Taylor展开法与多项式拟合法侧重于从数学角度进行推导，把控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替；优点:易于对离散方程进行数学特性分析，缺点