第二十三讲 等腰三角形

第二十三讲等腰三角形考纲要求1.①了解等腰三角形的有关概念；

②会用分类的思想解决等腰三角形的有关问题.2.探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三

角形的条件.3.①了解等边三角形的概念；

②探索等边三角形的性质和一个三角形是等边三角形

的条件.4.已知底边及底边上的高，能作出等腰三角形.5.掌握线段的垂直平分线的概念、性质、判定.accacba网络构建

等腰三角形1．定义：有两条边____的三角形叫做等腰三角形．2．性质：(1)等腰三角形两底角____，简称__________； (2)等腰三角形__________、底边上的中线、__________互相重合，简称三线合一； (3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是________________直线．3．判定：(1)有两条边____的三角形是等腰三角形； (2)有____相等的三角形是等腰三角形，简称为__________．相等相等等边对等角顶角平分线底边上的高底边上的高所在的相等两角等角对等边【即时应用1】一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为________cm.

答案

20【即时应用2】如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝________度．

答案

40

等边三角形1．定义：______都相等的三角形叫做等边三角形．2．性质：(1)等边三角形三条边______，三个角______，且每个角都等于____； (2)等边三角形是__对称图形，它有____对称轴．3．判定：(1)三条边都____的三角形是等边三角形； (2)三个角都____的三角形是等边三角形； (3)有一个角等于____的__________是等边三角形．三条边都相等都相等60°相等三条60°轴相等等腰三角形【即时应用3】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是

(

)A．180° B．220°C．240° D．300°答案

C助学微博1．在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．2．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然.

对接点一：等腰三角形的性质和判定常考角度：1.等腰三角形的性质；2．等腰三角形的判定；3．等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线三线合一．【例题1】(2013·绍兴)如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__________．解析设∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°，即∠A＝12°.答案

12°1．遇等腰三角形时往往考查“三线合一”与等角对等边；2．求角的度数常常利用三角形内角和定理或解直角三角形来解决．【预测1】如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′. (1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)； (2)求证：△AB′O≌△CDO.(1)解

△ABB′，△AOC和△BB′C；(2)证明在▱ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠D.由轴对称知AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C，∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D.∴△AB′O≌△CDO(AAS)．

对接点二：等边三角形的性质与判定常考角度：1.等边三角形的性质；2．等边三角形的判定；3．等边三角形的轴对称性．【例题2】(2012·杭州)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE.

分析：(1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可．(2)如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长．(1)证明在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠BAD＝∠CDA.而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB＝AE，DC＝DF，且∠BAE＝∠CDF＝60°，∴AE＝DF，∠EAD＝∠FDA，AD＝DA，(1)求证：AF＝DE；(2)若∠BAD＝45°，AB＝a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．∴△AED≌△DFA(SAS)，∴AF＝DE；(2)解如图作BH⊥AD于H，CK⊥AD于K，则有BC＝HK，∵∠BAD＝45°，∴∠HAB＝∠KDC＝45°，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它不仅具有等腰三角形的一切性质，而且还具有一般等腰三角形所不具备的特性；等边三角形三边上的中线、高及三个内角平分线重合且交于同一点，这一点到三边的距离相等，到三顶点的距离相等，且到顶点的距离是到对边中点距离的2倍．【预测2】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．解析

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°.∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°.∵DF＝DE，∴∠E＝15°.答案

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对接点三：分类讨论思想常考角度：1.对等腰三角形的角分顶角和底角讨论；2．对等腰三角形的边分腰和底边讨论．【例题3】(2013·雅安)若(a－1)2＋|b－2|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．解析根据题意得，a－1＝0，b－2＝0，解得a＝1，b＝2.①若a＝1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1，1，2.∵1＋1＝2，∴不能组成三角形．②若a＝2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2，2，1，能组成三角形，周长＝2＋2＋1＝5.答案

51．平方、绝对值、算术平方根都具有非负性；2．遇等腰三角形时应注意哪条边为腰，哪条边为底，当不能确定腰和底时，应进行讨论，同时还应注意三边之间应满足三边关系．【预测3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是 (

)

A．30° B．60° C．150° D．30°或150°

解析

①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°；②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，所以三角形的顶角为150°.答案

D易错点1：对等腰三角形的角忘记讨论，造成漏解辨识：当已知等腰三角形的一角时，对已知的角要分底角和顶角两种情况讨论．【例题1】(2010·楚雄州)已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是 (

) A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 [错解]

A或B[错因分析]

70°没有指明是等腰三角形的顶角还是等腰三角形的底角，当70°为顶角时，另外两角为55°，55°；当70°为底角时，另外两角为70°，40°.[正解]当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为(180°－70°)÷2＝55°；当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°－140°＝40°.答案

C易错点2：对等腰三角形的边忘记讨论，造成漏解辨识：当已知等腰三角形的一边时，对已知的边要分底边和腰两种情况讨论．【例题2】(2012·襄阳)在等腰△ABC中，∠A＝30°