第四章(均衡净保费)

第四章均衡净保费一均衡净保费产生的原因寿险中自然保费是根据被保人的出险概率和保额计算保费，保费会随着被保人的年龄增大而提高，使人们年老时因缴不起昂贵的保费而退保，失去保险保障。为克服自然保费的这种不足，人们提出采用均衡净保费缴费方式：把自然保费在长期内均衡化、平均化，在保费交付期内，每隔一定时期交付相等数额的保险费。例1(x)购买了一份保险，已知简略未来生命时间长度的分布如下：保额为常数1，在被保人死亡年度末支付。假设保险的年度保费为P，在被保人或者的情况下每年年初支付。确定保费P。（1）亏损概率小于20%；（百分位保费）（2）等价原则；（3）指数保费原则。二均衡净保费与趸缴净保费的关系（一）均衡净保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损(保险人的损失)均值为零。=给付金现值-纯保费现值E（）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）均衡净保费与趸缴净保费的关系E（趸缴净保费现值）=E（均衡净保费现值）均衡净保费与趸缴净保费的关系（二）趸缴净保费是满足未来给付的保费，它理论上应该等于均衡净保费的现值，均衡净保费的缴付是以被保人存活为条件的，它实际上是一个生存年金。设趸缴净保费为A,每期缴均衡净保费为P,每次一单位生存年金现值为，则有。三均衡净保费的种类完全离散均衡净保费死亡年末给付（离散）离散缴费完全连续均衡净保费死亡即刻给付（连续）连续缴费半连续均衡净保费死亡即刻给付（连续）离散缴费本章介绍各种模型下的均衡净保费的计算公式。各种模型下的均衡净保费计算公式之间的关系。损失方差的计算：用于评估实际损失偏离收付平衡（E()=0）的程度。§4.1完全连续保费

1终身人寿保险条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）厘定过程：

终身人寿保险厘定过程：

2限期h年缴费的终生寿险假设（x）投保保额为1个单位的h年限期缴费的完全连续型终生寿险。3定期寿险假设（x）投保保额为1个单位的n年定期寿险。（年缴保费次数与保险期限相同）4n年生存保险假设（x）投保保额为1个单位的n年生存保险。5两全保险假设（x）投保保额为1个单位的n年普通两全保险。（年缴保费次数与保险期限相同）

两全保险厘定过程：

6h年限缴的n年两全保险假设（x）投保保额为1个单位的h年限缴的n年两全保险。7h年延期的终身生命年金假设（x）投保保额为1个单位的h年递期终身命年金常见险种的完全连续均衡净保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年生存保险n年两全保险h年支付终身寿险h年支付n年两全保险n年延期终身生命年金例4.1已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求注意当为常值时，§4.2完全离散保费1普通终身寿险条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年期初缴费。厘定过程：2限期h年缴费的终生寿险假设（x）投保保额为1个单位的h年限期缴费的终生寿险。3定期寿险假设（x）投保保额为1个单位的n年定期寿险。（年缴保费次数与保险期限相同）4n年生存保险假设（x）投保保额为1个单位的n年生存保险。5两全保险假设（x）投保保额为1个单位的n年普通两全保险。（年缴保费次数与保险期限相同）

完全离散两全保险厘定过程：6h年限缴的n年两全保险假设（x）投保保额为1个单位的h年限缴的n年两全保险。7h年递延终身生存保险假设（x）投保保额为1个单位的h年递延终身生存保险常见险种的完全离散均衡净保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年生存保险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险m年递延终身生存保险典型关系：例4.2设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率函数为在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时，计算保险人亏损现值的期望值与方差（i=6%）。例4.2答案例3.3假设终身寿险保单于30岁签单，保险金额为20000元，试求：（1）普通终身寿险的年缴净保费；（2）20年限期缴费终身寿险的年缴净保费；（3）65岁缴清终身寿险的年缴净保费；例4.3设年龄为25岁的人，购买15年定期寿险，保额为1000元，试求其自然净保费和均衡净保费。例4.4设年龄为25岁的人，购买20年限缴的30年储蓄寿险，保额为1000元，试求其均衡净保费。例4.5试证：都是在（x）生存的前提下最多支付n年的年缴保费，在n年期间两保险提供的保障一样:在（x）死亡年度末支付1.若（x）生存至x+n年，对应的保险是给被保人在n时支付生存年金1，而则留给被保人一份单位保额的(x+n)的终身寿险，且被保人无须再缴费。在x+n年往后二者待遇差相当于一份单位的n年期生存保险，由n年缴费，年缴对应。半连续均衡纯保费厘定

（终身寿险为例）条件（x）死亡即刻给付1单位赔偿金，而被保险人从保单生效起按年期初缴费。厘定过程：常见险种的半连续均衡净保费保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险例4.6根据附录示例生命表及利率6%计算例4.6答案例4.7(25)购买保额为1000元的半连续式寿险保单，年利率6%在udd假设下计算下列各保单的年缴净保费。1普通终身寿险；235年定期寿险；335年储蓄寿险；435年限期缴费终身寿险。§4.3每年缴纳数次的净保费厘定一：真实分缴保费：年缴m次，死亡保额不作调整时的保费。计算年缴m次，每1/m年初缴纳等额的等额年度净保费。m一般为2,4或12。每年缴纳数次的真实分缴净保费厘定条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。厘定过程：（终身寿险为例）离散型真实分缴净保费公式总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年生存保险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险连续型真实分缴净保费公式总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险

h年限缴n年生存保险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险其中例4.7对于（50）的人死亡年末给付1万元的20年期两全保险。计算按半年分期缴费的净均衡年保费，年利率6%。决定相应的死亡即刻给付的净均衡年保费。例4.7答案例4.7答案例4.8（40）的人签发保额为5000元的全离散式25年的定期寿险保单，试利用换算函数表在UDD假设下计算（1）普通年缴净保费（2）季缴净保费（3）月缴净保费。例4.9（20）的人签发保额为50000元的寿险保单，试利用换算函数表在UDD假设下计算下列保单的月缴净保费（1）普通年缴净保费（2）季缴净保费（3）。二比例保费在六讨论的分期缴付的年缴保费中，被保人死亡收益金额不作调整，本节讨论据被保人死亡时间与下次预定缴费时间间隔长短退还部分保费。在实际中按比例退还，不计利息。本节考虑利息，把年缴m次保费序列看作比例期初生存年金。以h年缴费n年定期两全保险为例例4.10年龄50岁者购买保额为10000元的20年普通储蓄寿险的比例保单，每年真实缴付保费两次。在UDD假设下求年均衡净保费增加多少？累计增额收益在保险实践中，有些保单规定被保人死亡时退还已缴净保费的累积，这种退还有两种不同的规定：不计息退还过去的已缴净保费的累积和以规定的利息退还过去的已缴净保费的累积部分。例4.11(x)的n年定期寿险，若被保人在保险期内死亡，除了赔付10000元外，还退还过去的已缴净保费的累积