第8章 梁的变形分析与刚度问题

第8章梁的变形分析与刚度问题本章主要内容弯曲变形的概念梁的挠曲线近似微分方程积分法求梁的变形叠加法求梁的变形梁的刚度校核静不定梁6-1弯曲变形的概念工程中的弯曲变形现象N8.2梁的挠曲线近似微分方程1、挠度与转角

梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度

，用w表示。

比如，C截面的挠度为wC梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。

比如，C截面的转角为θC挠度对坐标的一阶导等于转角2、梁的挠曲线微分方程假设梁的挠曲线微分方程为第五章推导弯曲正应力公式时已知不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况依据高等数学，从几何方面看，平面曲线的曲率可写成左式中由于略去剪力的影响，并略去了w的一次导数值，故称为挠曲线近似微分方程。8.3积分法求梁的变形1、积分法的步骤

积分常数C和D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件。2、举例以A为原点，取直角坐标系，x轴向右，y轴向上。（1）求支座反力列弯矩方程由平衡方程得：列弯矩方程为：（2）列挠曲线近似微分方程例8.1（3）积分（4）代入边界条件，确定积分常数在x=0处：将边界条件代入(c)、(d)得：将常数

C

和D

代入(c)、(d)得：（6）求最大转角和最大挠度（5）确定转角方程和挠度方程说明：转角为正，说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为正，说明B点位移向下。例8.2一简支梁如图6-9所示,在全梁上受集度为q的均布载荷作用.试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角|θ|max

和最大挠度|y|max由对称关系得梁的两个支座反力为以A点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：（2）列挠曲线近似微分方程并进行积分(1)求支座反力，列弯矩方程简支梁的边界条件是：在两支座处的挠度等于零在x=0处，wA=0；

在x=l处，wB=0（3）确定积分常数边界条件代入（d），解得将积分常数C，D代入式（c）和（d）得（4）确定转角方程和挠度方程由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得：（5）求最大转角和最大挠度又由图可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。由式（e）3、分段积分问题

当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。两个边界条件：连续条件：AC段：积分常数：C、DCB段：

积分常数：C、DD点的变形连续条件边界条件积分常数得以确定梁的最大挠度与位置梁的最大挠度应位于w*=0处。当b无限小时，跨中C点的挠度8.4

叠加法求梁的变形

当梁上同时作用几个载荷时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。叠加原理、叠加法前提是小变形、线弹性由叠加法得：直接查表例8.3如图8.5

梁的刚度校核弯曲构件的刚度条件:将吊车梁简化为如图例6-12b所示的简支梁。计算梁挠度的有关数据为：P=50+5=55kN

（1）计算变形

由型钢表查得

例8.4因P和q而引起的最大挠度均位于梁的中点C，由表6-1查得：由叠加法，得梁的最大挠度为：（2）校核刚度将梁的最大挠度与其比较知：故刚度符合要求。吊车梁的许用挠度为：例8.5将主轴简化为如图例所示的外伸梁，主轴横截面的惯性矩为材料的弹性模量：（1）计算变形由表6-1查出，因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角（图c）为：由表8.1查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角（d）为：主轴的许用挠度和许用转角为：故主轴满足刚度条件

（2）校核刚度

作业布置:8.2（b）（