综合实验二-纳米器件的透射谱和电导测量 湘潭大学 期末复习

纳米器件的电子透射谱和电导测量－格林函数方法目录第一节纳米材料及其输运特性第二节格林函数方法简介第三节格林函数方法的定义和框架第四节格林函数方法的应用实例

纳米材料的输运特性当物质小到纳米尺度时，又会对材料的输运性质会产生哪些不同于宏观物体的现象？1）电导量子化：即电导或倒数电阻是量子化的，量子电阻R=h/2e2

，因此它不再像经典物理所描述的那样，即电压对电流的比例为一常数（欧姆定律）。即当中心颗粒（也称量子点或库仑岛）的尺寸足够小时，它与周围外界之间的电容可小到10-16F的数量级，在这种条件下每当单个电子从外面穿隧进入库仑岛，它给库仑岛附加的充电能Ec=e2/2C在这种情况下一旦某个电子隧穿进入了库仑岛，它将阻止随后的第二个电子再进入同一库仑岛，这就是库仑阻塞现象。只有等待某个电子离开库仑岛以后，岛外的另一个电子才有可能再进入。利用库仑阻塞效应就有可能使电子逐个穿隧进出库仑岛，实现单电子隧穿过程。2）库仑堵塞现象：如果两个纳米微粒的尺寸小到一定程度，它们之间的电容也会小到一定程度，以至于电子不能集体传输，只能一个一个单电子传输，这种不能集体传输电子的行为称之为库仑堵塞。3）普适电导涨落：在电导与电压关系测量中，发现小的金属样品，在低温下电导作为磁场的函数呈现非周期的涨落。1）这是与时间无的非周期涨落，因而它们不是由于热噪声。2）这种涨落是样品特有的，每一特定的样品有自身特有的涨落图样，而且，对于给定的样品，在保持宏观条件不变的情况下，其涨落图样是可以重现的。因此，样品的涨落图样被称为样品的指纹。3）电导涨落的一个最重要的特征是涨落的大小是量级为的普适量。它与样品质的材料、尺寸、无序程度、电导平均值的大小无关。只要样品是介观大小的，并处于金属区。理论研究还表明，电导涨落的大小与样品形状及空间维数只有微弱的依赖关系。正是由电导涨落的这种间适性，所以才称之为普适电导涨落。

物理机制：来源于介观金属中的量子干涉效应即由于电子与杂质的散射引起的随机干涉效应4）量子相干效应：由于在纳米尺寸中，载流子不仅具有振幅信息，而且还保持信号相位，所以具有相干性。如：A-B效应；量子霍尔效应等。磁场B垂直向上，由于金属屏蔽层包绕着螺线管，磁场不能进入金属环，进而无法影响里面电子的状态。然而，电子依然“感受”矢势。通过调节螺线管的电流而改变矢势的强度，AB环的电导会呈现周期性变化。置于磁场下介观环的电导Aharonov-Bohm振荡A-B效应5）量子化热导1998年，Rego等人基于Landauer输运理论，从理论上预言了低温极限下单一量子通道的热导有一个普适的量子化值。2000年，Schwab测量了低温下悬浮氮化硅纳米线中的热导，第一次在实验上观察到了量子化热导的存在，从而证实了理论上的预测。K.Schwab,E.A.Henriksen,J.M.Wrolock,andM.L.Roukes.Measurementofthequantumofthermalconductance.Nature,404,974(2000).L.Rego,G.Kirezenow.Quantizedthermalconductanceofdielectricquantumwires.Phys.Rev.Lett.,81,232(1998).6）反常热导传统宏观材料热输运特性遵守傅里叶定律。单位时间内通过单位面积的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度梯度以及其截面面积，而热量传递的方向与温度梯度上升的方向正好相反。在碳纳米管、氮化硼纳米管等微纳结构中，热导率取决于体系的尺寸大小，而不再像三维宏观块体材料一样是一个恒定值（称这种现象为反常热导）C.W.Chang,D.Okawa,H.Garcia,A.Majumdar,andA.Zettl.BreakdownofFourier’slawinnanotubethermalconductors.Phys.Rev.Lett.,101,075903(2008).纳米材料输运特性的应用基于碳纳米管的晶体管基于碳纳米管的显示器基于石墨烯的晶体管基于石墨烯的调制器如何描述纳米材料输运特性？

总所周知，微观世界必须用量子力学来描述。量子力学中最重要是哈密顿量。一个系统的所有性质由其哈密顿量所决定。一旦写出这个系统的哈密顿量，就可以求出这个系统的所有性质。具体做法是，求解薛定谔方程，解出哈密顿量的本征值和本征函数。由本征值和波函数进而可以知道态密度、跃迁几率等信息。但是，能够严格求解基本上就是无限深方势阱、简谐振子、氢原子这几个，能够近似求解的系统也是不多的。而且这只是指单体系统，即系统中只有一个粒子。对于多体系统，则对于许多情况，联近似求解都是一场困难的。我们知道，波函数是一个实验上不可测量的量。不过态密度等一些其它的试验上可测量的物理量要由波函数来构造。求解波函数的步骤是最麻烦的，如果是做数值计算的话，求解波函数部分的计算量是最大的。那么我们能不能找一种方法，可以绕过求解波函数，直接得到本征值、态密度等一些实验上可测量的物理量呢？如何描述纳米材料输运特性？波函数墙如何描述纳米材料输运特性？波函数墙答案就是利用格林函数格林函数是由哈密顿量来构造的。有一个哈密顿量，就可以构造相应的格林函数。因此格林函数也就代表了哈密顿量。它的地位和哈密顿量是等价。凡是通过哈密顿量能够求出的物理量，也可以通过格林函数来求出。

格林函数的思想是：从描述系统中粒子的运动入手，来求知与粒子有关的物理性质。从数学上讲，格林函数是一个运动方程的解。物理上，当然要由系统的哈密顿量来决定解是什么样的。第三节格林函数方法简介格林函数经常出现在常微分方程，求解椭圆型和抛物型的偏微分方程的边值问题。是英国人乔治.格林于1828年引入的。

乔治.格林（1793-1841），英国数学物理学家。1801年至1802年读过不到两年的小学，之后一直在家中打理生意，在这期间他从未间断自学，先后阅读了包括拉普拉斯的天体力学和拉格朗日的关于数学物理方面的著作，英国伦敦皇家学会的年鉴，法国科学家毕奥，库仑以及泊松等人的论著。1828年格林出版了他的最重要的科学著作《关于数学分析应用于电磁理论的一篇论文。1833年进入剑桥最古老的学院之一康韦尔科斯学院学习,并于1837年以优异成绩毕业。格林函数的特点是：

A．它可以不用求解波函数，直接得到本征值、态密度等实验上可测量的物理量。B．它有一些比较标准的近似方法，可以比较容易地处理复杂的系统。C．由于格林函数是描述粒子的运动的，所以它可以用来求解系统的输运性质，例如计算电流、电导等。D．格林函数还是系综的平均值，因此容易处理多体系统，并且处理有限温度的情况。由A可知，用格林函数方法来处理系统比用哈密顿量更为方便和简洁。由B、C和D可知，格林函数方法的功能非常强大，可以求知一些仅从哈密顿量出发不容易求得的信息。从上世纪五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物理等多个领域得到了进一步的拓展，被认为是一种强有力的数学工具。

例如，对许多准粒子问题，只需知道相互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得到体系的一些特征，而对于固体物理中的很多问题，只有对应于费米能量附近的系统格林函数与我们要研究的性质有关。这样，格林函数方法就成为研究系统性质的直接有效的方法。格林函数方法的发展目前，随着纳米技术的发展，物理学的研究对象在微观领域已经进入了纳米尺度范围。而基于薛定谔方程的格林函数方法也成为了处理纳米结构最重要的方法。到八十年代，随着技术的进步，各种介观体系相继被制备出来，如超晶格、量子线、量子点等。格林函数也发展成为计算介观结构物理性质最重要的手段和方法。格林函数方法能够用于计算微纳结构的电子性质、热（声子）性质、光性质、超导性质等。结合密度泛函理论和格林函数方法，国际上开发了多种电子输运商业计算软件。PWscfDFTB……第四节格林函数方法的定义和框架如果H的本征函数是正交完备的，则在量子物理中，格林函数常常被定义为如果E-H的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的等价定义式：其中E是能量为复变量，H是一个厄米的含时算符。可以利用它来计算格林函数。纳米体系热输运的哈密顿量

低维体系热输运模型示意图

根据晶格动力学，在只考虑振动自由度下，体系的哈密顿量可以写为：K表示的是质量约化的力常数矩阵(或者叫动力学矩阵，默认左右热极之间无耦合)T表示矩阵转置坐标矢量从左热极到中心散射区的相互作用矩阵从右热极到中心散射区的相互作用矩阵热输运格林函数方法的基本框架根据格林函数的定义及简谐近似的哈密顿量,整个系统的格林函数可以写为:利用第一个矩阵的每一行乘以中间矩阵的第二列,我们可以得到以下关系:可以获得考虑两个热极影响的中心散射区格林函数，即推迟格林函数:热输运格林函数方法的基本框架其中：分别称之为热极的自能和表面格林函数为了计算的方便，我们还定义了一个谱函数，它能代表声子的散射概率：T.YamamotoandK.Watanabe,Phys.Rev.Lett.2006,96,255503.J.S.W,&Lü,2008,Eur.Phys.J.B,62,381.对于纳米体系，其声子性质可以用弹道输运理论进行描述，那么声子透射系数和态密度可以通过caroli公式进行计算，热导则可以通过Laudauer公式计算:热输运格林函数方法的基本框架声子透射系数和态密度体系热导体系热流分布函数此外，为了反映体系热输运的微观过程及微观机制，我们还需要计算一些微观动力学物理量——局域声子态密度和局域热流：热输运格林函数方法的基本框架格林函数热输运计算流程示意图热输运格林函数方法的流程1、计算构建体系的力常数矩阵及热极—中心散射区耦合力常数矩阵；2、利用所得到的热极力常数矩阵，计算给定声子频率下的热极表面格林函数；3、利用已求得的热极表面格林函数与热极—中心散射区耦合力常数矩阵，计算由热极贡献的自能；4、求中心散射区的推迟格林函数；5、利用卡路里Caroli公式计算体系的声子透射系数和态密度；6、由已获得的声子透射系数代入朗道Landauer公式计算体系在不同温度下的热流与热导；7、根据需要，计算体系热输运的微观动力学物理量：局域声子态密度和局域热流。

为了获得体系的热输运性质，最根本为获得体系的力常数矩阵和热极的表面格林函数。

电子输运格林函数方法基本框架类似于热输运的非平衡格林函数方法，对于电子来说，可以借助于紧束缚近似的哈密顿模型，同样采用格林函数方法计算体系的电子输运性质。对比声子的推迟格林函数，我们可以看到声子和电子的不同之处，仅在于电子是采用体系的哈密顿矩阵，而声子采用的是力常数矩阵。采用相同的Landaur公式，我们可以计算出电子的透射系数、态密度等物理参量。对于热电性质，为了研究的方便，需引入洛伦兹Lorenz函数

电子电导：热电势：电子热导：热电品质因子：第五节格林函数方法的应用实例1、锯齿型同位素超晶格石墨纳米带的热输运性质2、非对称三终端石墨纳米结的弹道热整流性质3、基于折叠石墨纳米带的热导调控器4、褶皱石墨烯纳米带中连续可控热导的理论研究

5、六角氮化硼纳米带(BNNRs)的热输运性质6、石墨炔纳米带(GYNRs)的热输运性质7、周期T型石墨烯纳米带中的声子共振输运8、不对称T型石墨纳米带的电子输运实例一：

锯齿型同位素超晶格石墨纳米带的热输运性质着重讨论以下三个因素对热导的影响：1、同位素质量；2、超晶格长度；3、体系几何结构尺寸。同位素和超晶格周期长度对石墨纳米带热导的影响1）同位素质量差越大，热导越低；2）超晶格周期长度，存在转变行为。Ls<Lc时声子隧穿效应主导Ls>Lc时声子界面散射主导热导随超晶格周期长度变化的原因：几何结构尺寸对石墨纳米带热导的影响我们可以通过调节超晶格石墨纳米带的几何尺寸来进一步减低石墨纳米带的热导。(a)中心散射区长度对于超晶格石墨纳米带热性质的影响；(b)中心散射区宽度对于超晶格石墨纳米带热性质的影响。小结1.同位素超晶格是一种能在不改变石墨纳米带电子性质的同时有效降低其热导的途径之一；2.超晶格的热导取决于同位素的质量和超晶格周期长度，当超晶格周期长度减小时，热导经历先下降后上升的转变；而同位素质量对于热导的影响是单调变化的，大的质量差将导致更低的热导；3.另外，超晶格纳米带的热导比还会随着几何结构尺寸的增加而下降。锯齿型同位素超晶格石墨纳米带的热输运性质实例二：

非对称三终端石墨纳米结的弹道热整流性质T>0热流T<0热流对称与非对称石墨纳米结的热输运性质左右温差相等的时候有：我们可以通过推导热流公式获得定性的解析几何结构尺寸及形貌对纳米结整流性质的影响1.强烈依赖于左右终端间的不对性：强不对称性能引起更明显的热整流；2.而控制端的尺寸大小对整流的影响有限。(c)小结在非对称三终端石墨纳米结中，热流更倾向于从窄的一端流向宽的一端，展现了一个明显的热整流效应；该结构中的热整流效率依赖于几何结构的不对称性，会随着左右热极宽度差的增加而迅速增大。控制热极的结构尺寸的改变对热整流效率的影响微弱。此外整流效率还与热极间夹角的位置和尺寸有关。非对称三终端石墨纳米结的弹道热整流性质实例三：

基于折叠石墨纳米带的热导调控器

1，可调热导

=>热器件实现各种特殊的功能，调节效率2，限流作用

=>热器件及整个热回路可以保持运行稳定扶手椅型折叠石墨纳米带的热输运性质热导随着夹角线性下降；中心区越长，调节区间越窄。热导随着层间距发生转变行为；中心区越长，调节区间越窄。锯齿型折叠石墨纳米带的热输运性质锯齿型与扶手椅型石墨纳米带类似，其热导可以通过折叠的方式实现连续、可逆地调控。小结基于折叠石墨纳米带，我们提出了一种新型的热器件—热导控制器。；它可以实现对热导的连续、可逆的调控（调控区间高达平整石墨纳米带的40%）；通过分析折叠结构的势能差，我们解释了这一奇特的热输运现象。基于折叠石墨纳米带的热导调控器实例四：

褶皱石墨烯纳米带中连续可控热导的理论研究

褶皱的强度对热输运性质的影响褶皱的数目对热输运性质的影响小结基于褶皱石墨纳米带，我们提出了另一种热导控制器模型；通过改变石墨烯纳米带的结构和褶皱的数目可以实现对热导的连续、可逆的调控（调控区间高达平整石墨纳米带的80%）；通过分析褶皱结构的势能差，我们解释了这一奇特的热输运现象。基于折叠石墨纳米带的热导调控器实例五：

六角氮化硼纳米带(BNNRs)的热输运性质

六角氮化硼纳米带的声子色散关系

色散关系与石墨纳米带相似，同样具有平方波矢依赖关系的声学支。六角氮化硼纳米带石墨烯纳米带不同尺寸六角氮化硼纳米带的热导热导与纳米带宽度存在线性依赖关系；热导可以与石墨纳米带媲美。六角氮化硼纳米带热导拟合公式首先确定拟合公式的温度项考虑到GNR的热导对温度有1.5幂次关系根据前面热导对宽度的线性依赖关系六角氮化硼纳米带热导率约化的热导：其中S表示BN纳米带的横截面积：W表示的是宽度，h是BN纳米带层与层之间的距离，我们取3.33埃。BN纳米带的热导率L表示声子平均自由程，这里取530nm(石墨片的声子平均自由程是775nm)。

样本热导(W/mK)方法Graphene~3000-5000光学实验GNRs~3000NEGFGNRs~2000分子动力学BNNRs~1700-2000NEGF小结首次从理论上对六角氮化硼纳米带的热输运性质进行了研究；六角氮化硼与石墨纳米带一样，具有优良的热输运属性；六角氮化硼纳米带的热导线性地依赖其宽度，与边缘类型无关。我们拟合了一套热导公式，揭示了温度的1.5次方关系在六角氮化硼热导中发挥的重要作用。六角氮化硼纳米带(BNNRs)的热输运性质实例六：

石墨炔纳米带(GYNRs)的热输运性质

不同尺寸石墨炔纳米带的热导

扶手椅型热导与纳米带宽度存在线性依赖关系；锯齿型热导与纳米带宽度存在类台阶依赖关系。石墨炔纳米带的热各向异性各向异性差值随着宽度的增加逐渐下降，在5nm的时候任然可以达到30%，远比GNR的各向异性明显。实验上更容易观察到GYNR的热各向异性。GNR的各向异性石墨炔纳