弹塑性力学第五章 简单弹塑性力学问题1

简单弹塑性力学问题5.1弹塑性力学基本方程5.2弹性力学问题的基本解法5.3解的唯一性定理5.4圣维南原理5.5叠加原理5.6桁架的弹塑性分析5.7平面问题5.1弹塑性力学基本方程1.平衡(运动)微分方程(Navier方程)2.几何方程(2)应变协调方程(SaintVenant方程)(5.1)(5.2)(5.3)(1)几何方程(Cauchy方程)应变协调方程的数学与物理意义:几何方程表明,六个应变分量是通过三个位移分量表示的,因此,这六个应变分量不是独立的,它们之间的的相互联系在物理上是保证固体变形必须满足变形的协调,而在数学上表现为六个应变分量满足一组偏微分方程组.首先,将对y求二阶偏导数并与对x求二阶偏导数相加,则同理,有其次,分别将对z求一阶偏导数、对x求一阶偏导数以及对y求一阶偏导数，再把它们的前两式相加并减去它们的后一式，则有将上式等号两边对y求一阶偏导数，则有也可以写成同理，有利用，以上各式易改写为张量形式这六个方程的几何意义是被分割后的微分单元体在受力变形后能重新拼合成连续体，即不会出现“撕裂”或“套叠”等现象。如图（这里略）3.本构方程1）弹性阶段，即本构方程可表示为两种可相互转换的形式：（1）应力表示应变；（2）应变表示应力或(5.4)(5.5)这里的为拉梅常数2）塑性阶段本构方程可以表示为增量或全量两种形式增量形式之一——Prandtl-Reuss流动法则（适用弹塑性材料）式中：是一个与加载历史有关的大于零的比例系数。增量形式之二——Levy-Mises流动法则（适用理想刚塑性）全量理论——依留申本构方程，主要用于强化材料(5.5)(5.6)(5.7)5.2弹性力学问题的基本解法可以分为位移解法和应力解法两种5.2.1位移法以待求解的三个位移为基本未知函数，所有基本方程都用位移形式给出首先，将几何方程代入本构方程得位移表示的应力分量再将上式代入平衡微分方程，得位移表示的平衡方程注意到上式可改写为上式称为拉梅方程，是位移法求解要满足的基本方程(5.8)边界条件1）如果问题给出的是位移边界条件，则直接写出位移边界条件2）如果问题给出的是应力边界条件或混合边界条件，则要先将位移表示的应力代入应力边界条件，即将面力的边界条件改写成位移的形式。5.2.2应力法应力法采用六个应力分量为基本未知函数，将基本方程改用应力分量表示。首先，应力分量要满足平衡微分方程和静力边界条件（方程保留），其次为保证所求位移函数为问题的真实解，还要求应变分量满足变形协调条件。因此还需将协调方程（变形连续条件）用应力分量的形式给出。具体步骤为将应力表示应变本构方程代入协调方程，并将方程简化可得应力表示的协调方程。上式称为Beltrami-Michell方程，是应力表示的应变协调方程。在常体力或无体力时可以简化为进一步还可化为由此可见，在体力为常数或无体力时，应力分量是双调和函数。(5.9)(5.10)(5.11)5.3解的唯一性定理一个实际的弹塑性力学问题数学上可归结为一个偏微分方程的边值问题，即在严格的边界条件下求解一个复杂的偏微分方程组的解的问题。但是在一般情况下，我们很难直接得到数学上的精确解或解析解。解的唯一性定理证明对弹塑性力学问题的解是存在且唯一的。它可以表述为：弹塑性力学问题的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的固体，其内部各点的应力分量和应变分量是唯一的；如果在固体表面全部给定位移边界条件，或者在部分表面给定位移边界条件而另外部分表面给定静力边界条件的情况下，则位移分量也是唯一的。本定理的严格数学证明过程可参考其他弹塑性力学书籍，这里不给出。唯一性定理的作用：为逆解法和半逆解法以及各种近似（数值）解提纲了理论依据。逆解法：预先选取一组位移或应力函数，由此确定其他的未知函数，然后验证是否满足基本方程和边界条件，如果满足，则解的唯一性定理，该组位移或应力函数以及由此确定的其他未知函数的解就是问题的正确答案。半逆解法：就是在所有的未知量中，依据问题的特点或已有研究成果，预先假设部分未知量为已知，然后利用基本方程和边界条件，确定其余的未知量，最后得到全部未知量的解答。5.4圣维南原理圣维南原理弹塑性理论要求在固体表面的每个边界点上给定边界条件,而实际问题往往只知道固体边界的总的荷载值,具体分布形式并不明确.另外,在求解时使未知的应力分量、应变分量和位移分量满足基本方程并不困难，但要求函数同时满足逐点满足边界条件确很困难。因此希望能找到一个边界条件的合理的简化方法。1855年，圣维南（SaintVenant)在关于梁的理论研究时提出：由作用在固体局部表面上的自平衡力系（即力系的主矢和主矩都为零的力系）所引起的应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的尺寸）的地方可以忽略不计。这就是圣维南原理，又称局部影响原理。实例：钳子剪断铁丝，钢筋钳截断钢筋等原理的另外一种实用提法：若把作用在固体局部表面上的力系，用另一组与之静力等效的力系来代替，则这种等效替换只对该局部作用区很近的地方产生影响，对远离该作用区处的影响则可忽略。这称为静力等效原理。圣维南原理主要应用于实心固体。Goodier的研究表明，该原理中的局部影响区的大小大致与外力作用区大小相当的“小边界”。对薄壁结构不正确。圣维南原理明确还没有严格的数学证明，但其正确性已被大量的实验观察和工程实践所证实。此外，从物理直观上判断，该原理不仅适用于弹性小变形的情况，而且适用于大变形和塑性的情况。是普适性原理5.5叠加原理（线弹性体）考虑同一边界条件下作用在同一固体上的两组荷载情况:第一组体力和面力,第二组为体力和面力.设它们引起的应力场、应变场和位移场分别为，和，则在线弹性和小变形情况下两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和，即叠加原理适用于线弹性和小变形范围。利用这一原理可以将复杂的问题分解为若干个简单问题求解。5.6.1简单桁架的弹塑性分析(a)l(b)如图所示为三杆对称桁架,假定材料是理想弹塑性的.设桁架所受的铅垂力为F作用.各杆截面积均为A,中间杆3的长度为.若用

分别表示杆1、杆2和杆3的内力，求出各杆的应力和应变。5.6桁架的弹塑性分析(a)由静力平衡，得各杆的应力为（5.12)（5.13)式（5.13)代人（5.12）得(5.14)应力表示的平衡方程若以分别表示杠1、2、3的伸长，则在小变形情况下，有式中：表示节点A的位移。各杆中的应变为(5.15)因此，有变形协调关系(5.16)几何关系1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载当荷载F足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架处于弹性阶段。由虎克定律有(5.17)联立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得(5.18)由式(5.18)可见，当F增加时，杆3将首先屈服。显然，当时，桁架开始初始屈服，由式（5.18)可求得桁架初始屈服时对应的荷载值

称为弹性极限载荷，它是桁架采用弹性理论设计时所能承受的最大载荷。(5.19)应用的表达式,可以将(5.18)改写成(5.20)代入本构关系(5.17),得(5.21)再把式(5.21)代入几何关系(5.15),得节点A的位移为(5.22)令式(5.22),可得节A的位移为(5.23)弹性极限位移2.弹塑性阶段——弹塑性解和塑性极限荷载当杆3发生初始屈服时，由于其他两杆尚未屈服，可继续加载。当时，这时桁架进入弹塑性阶段。由于材料为理想弹塑性，杆3的应力不能提高（变形可以增加），即有将式(5.24)代入平衡关系（5.14),得(5.24)(5.25)桁架的塑性变形当杠3屈服时，处于所谓的塑性流动阶段，对单独的3杆理论上可以发生任意伸长，但由于在节点A处受到其他两根弹性杆的约束而不能任意伸长，此时桁架称为有约束塑性变形阶段。为求出杆3的应变和节点A处的位移，必须先用弹性关系求出杆1和2的应变。将式（5.25)代入本构关系，得(5.26)再将式（5.26)代入变形协调关系（5.16),得(5.27)(5.27)代入几何关系式（5.15),得到节点A的位移为(5.28)在杆3屈服后，随着荷载F的进一步增加，由于杆3中的应力不能再增加，增加的荷载由杆1和杆2分担。当时桁架的三根杆全部进入塑性流动状态。由式(5.25)有(5.29)式中：称为塑性极限荷载，相应的状态称为塑性极限状态。由于此时三杆均已屈服，变形不再受到任何约束，桁架进入无限制塑性变形阶段，结构丧失承载能力，所以，又表示桁架的极限承载能力。从式(5.29)可以发现，与材料的弹性模量无关，这表明，如果采用理想刚塑性模型，则求出的塑性极限荷载仍一样。这为结构的极限分析带来方便。将式（5.29)代入式(5.28)，可得到桁架刚刚进入塑性极限状态时节点A的位移。（5.30)式中：称为塑性极限位移将式（5.19)和式(5.23)表示的弹性极限载荷和弹性极限位移与式（5.29)和式（5.30)表示的塑性极限载荷和塑性极限位移比较，得(5.31)由（5.31)可见：这些数据说明，桁架的塑性极限荷载总比弹性极限荷载大，而塑性极限变形与弹性极限变形在同一数量级。因此，采用塑性分析更能发挥结构的潜力，尤其当桁架的超静定次数更高时，将提高更多。3.卸载——残余应力和残余变形若荷载增加到值（）后卸载，由于卸载服从弹性规律，因此，如果在卸载过程中，桁架各杆不发生反向屈服，则我们可以假想在节点A施加一个大小与卸载时荷载的改变量相等的假想荷载，按弹性规律求得其引起的应力、应变和位移，然后将卸载前的应力、应变和位移与之相减，就得到卸载后的应力、应变和位移。设卸载时载荷变化量为，则由式(5.17)、式（5.20）和式(5.22)得(5.32)(5.33)(5.34)若将（5.35)式中：表示（5.25)确定的卸载前的应力量（式中的F用代替）。可见尽管外载荷已经完全卸除，但各杆中仍有应力，这种应力称为残余应力。

同理，可求得各杆中的残余应变(5.36)节点A的残余变形为(5.37)注：1）从式（5.35)和式（5.36)可以发现，杆1，2内残余应力为拉应力，杆3中残余应力为压应力，但各杆的残余应变均大于零。原因是它们要满足如下的平衡关系与变形协调关系：2）对于超静定结构，当卸去外载后，残余应变不等于塑性应变，它包含有弹性应变（如(5.36)中的杆1的应变）。只有静定结构卸载后的应变是塑性应变。4.重复加载若卸载后再重复加载，由于从卸载到零的过程是弹性变形过程，从零再加载到也是弹性过程。因为杆3是从某个压应力开始的，所以，它的后继屈服应力是这个压应力加上。这就使得桁架的弹性范围也扩大了。如果将桁架加载到后卸载，则以后的弹性范围最大也可以扩大到。在结构内部产生某种有利的残余应力状态可以提高它的弹性范围，这种状态称为安定状态。在超静定结构中，常利用这种塑性应力重分布规律对各构件受力进行合理的调整。5.6.2加载路径对桁架变形的影响考虑上一节的三杆桁架，现设桁架同时受铅直力P和水平力Q的作用。我们将P和Q按不同的加载方案施加在桁架上，讨论当荷载的最终数值一样，但加载路径不同对桁架变形的影响。PQl=h1.加载方案1：比例加载在整个加载过程中，保持单调增加，直到桁架到达塑性极限状态，这种加载路径属于比例加载。桁架平衡关系为(5.38)这里取若以u,v分别表示节点A的水平和垂直位移，则各杆的应变与节点位移之间有（几何关系）：(5.39)由式(5.39),得变形协调关系(5.40)当P从零开始增加，而整个桁架处于弹性阶段，弹性本构关系(5.17)仍成立。联立方程(5.28)、(5.30)与(5.17)求解，得三杆内的应力可见，其中最大，是压应力。当时，杆1发生屈服，此时对应的荷载、应力和位移为(5.41)其中当P继续增加时,杆1保持不变,即杆2和杆3仍处于弹性状态。由平衡关系的增量形式，可解得杆2和杆3的应力增量(5.42)将它们代入本构关系（5.17)，得到杆2和杆3的弹性应变增量(5.43)利用变形协调关系(5.40)，进一步可得到杆1的塑性应变增量(5.44)将式(5.43)和式(5.44)代入几何关系(5.39)，求得节点A的位移增量为杆2和杆3的应力增量与式(5.41)的应力值相加，得(5.45)从上式可以发现，当表明此时整个桁架达到塑性极限状态。最终的荷载、应力和节点位移为2.加载方案2:非比例加载第二种加载路径是:先只加P使桁架达到极限荷载然后保持节点竖直位移不变,从零开始增加Q直到(5.46)当时,对应的各杆内的应力和节点位移为现保持v不变,也即,施加Q,则,由几何关系得到可见,此时杆1和杆3仍保持塑性状态,而杆2卸载,因而有(5.47)将上式代入平衡关系的增量形式,求得此时各杆内的应力为从上式可以看出,当时,同时有,表明此时桁架再次达到塑性极限,所以有,在第二种加载路径下最终的荷载、应力和节点位移为比较后可以发现，对于不同的加载路径，当最终的荷载值一样时，虽然所得到的应力是一样的（有些问题应力值也不相同），但应变和位移却不一样。(5.48)5.7平面问题严格地讲,所有力学问题都属于三维空间物体的受力问题.但是某些工程问题中,结构形状、受力和约束情况都具有一定的特点，这些问题只要经过适当的简化和力学抽象化处理，就可转化为所谓的“平面问题”。平面问题的特征是：所有力学行为都可以看作是在一个平面内发生的，因而在数学上属于二维的问题。5.7.1平面问题的特点及分类平面问题共分两大类，即平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题主要出现在薄板中。对于薄板，如果它所受的力（体力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不变。将与板中面垂直的方向设为z轴，因为板很薄，所以与z有关的所有应力均近似为0，即由于时的板面上无外力作用，则边界条件成为板很薄，外力不沿厚度变化，则板内与z有关的应力均为零剩下的应力分量也与z无关，因此退化为x,y的函数因此非零的应力分量只有，且设这三个应力分量只与x,y有关，与z无关。平面应变问题是指某一方向的尺寸比另外两个方向大很多（如无限长的柱体），所受的力均平行于横截面且沿柱体的长度不变。因为沿z轴方向长度是无限的，所以沿z轴方向的近似为0，且假设沿另外两个方向的位移u,v与z无关。由几何方程可知有许多工程问题是很接近平面应变问题的，如挡土墙、重力坝、某些化学容器及发动机的汽压管等可以简化为平面应变问题处理能达到工程精度。（5.49)(5.50)5.7.2直角坐标系下平面问题的基本方程一、平面应力问题在平面应力问题中，物体内任意一点的应力分布为位移分布为应变分布为(5.51)(5.52)(5.53)其中不是独立的。在弹性状态下，根据得平面应力问题，三类方程可以简化。1、静力平衡方程(5.54)将平面应力分量表达式代入平衡方程，得（5.55)另外一个平衡方程自行满足。2、应变协调方程平面应力情况下，应变协调方程只有下面一个（5.56)3.本构关系弹性状态下，本构关系应服从弹性本构关系，将物体内一点的应力状态和应变状态表达式代入广义胡克定律，得（5.57)在解平面应力问题时，除了上述三类基本方程外，还需考虑边界条件和屈服条件。4、边界条件设薄板侧面上点的法线为n,方向余弦为，该点处作用的面力为，则应力边界条件为（5.58)在板的上、下表面，法线的方向余弦是，作用在面上的外力均为零，因此静力边界条件为(5.59)5、屈服条件在平面应力状态下，材料进入屈服状态时，屈服条件可以进一步简化。由于，可见此时不为零的主应力只有两个，设它们是，则求主应力的特征方程变为(5.60)两个非零主应力为应力偏量不变量为Mises屈服条件为(5.61)(5.62)(5.63)二、平面应变问题在平面应变问题中，物体内任一点的位移场、应变场及应力场有下面的特点：位移场应变场应力场(5.64)(5.65)(5.66)1、静力平衡方程和应变协调方程根据平面应变状态下应力场和应变场的特点容易证明，此时与平面应力有完全相同的静力平衡方程和应变协调方程，因此这里不重复给出。2、本构关系将代入广义胡克定律，可得到弹性状态下的本构关系(5.67)可见，平面应力问题中的E换成，就得到(5.67)，可见两类平面问题可以统一起来求解。3、屈服条件由于是一个主应力。在体积不可压缩的条件下，由

得可见是中间大小的主应力，另外两个主应力由式(5.61)求得。Tresca屈服条件可表示为Mises屈服条件可表示为(5.68)(5.69)综上所述，在弹性状态下，两类平面问题，都必须满足平衡微分方程、应变协调方程和本构方程。这三类方程共有6个，含有6个未知函数，加上具体的边界条件，从理论上是可求解的，但在数学上要求得这类偏微分方程的解析解是很困难的。对于某些简单问题，可以采用逆解法和半逆解法求解，如采用应力函数方法。5.7.3应力函数假定体力X及Y是零，则平衡微分方程(5.55)可以简化为齐次方程(5.70)将本构方程代入协调方程得(5.71)由式(5.70)中第一式对x求偏导,第二式对y求偏导,然后再将两式相加,整理得(5.72)将式(5.72)代入式(5.71),整理得即(5.73)式(5.73)是拉普拉斯方程或应力表示的协调方程,它与应变协调方程是等价的,同时对于常体力情况该方程也是一样的.从平面应变的本构关系出发也能得到此方程,可以说在弹性状态下(5.73)适用于两类平面问题.设在横截面上任一点均存在一个应力函数。能满足下式(5.74)这样定义的应力函数能满足平衡方程式(5.70)，且将其代入(5.73)后得到(5.75)即方程式(5.75)称为双调和方程或应力函数表示的协调方程，也叫相容方程，适用于无体力的弹性力学问题。对于常体力情况，应力函数解可写成相容方程与无体力情况一样为重调和方程。在弹性状态下，物体内任一点的应力函数均应满足重调和方程，也可以将应力边界条件表示为应力函数的形式。这样先求出物体内应力函数，再由式（5.76)求出应力分量。(5.76)一般地，应力函数可以选为多项式或级数的形式，具体选择什么样的多项式及级数依具体问题的边界条件来确定。一、应力函数取一次多项式§5.7.4平面问题的多项式解答应力分量：应力边界条件：结论：（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式1.对应于，应力分量。结论：应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（a）。2.对应于，应力分量。结论：应力函数能解决矩形板受均布剪力问题。如图3-1（b）。图3-1（a）（b）（c）3.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（c）。三、应力函数取三次多项式对应的应力分量：结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）图图3-2四、用应力函数解矩形截面梁的纯弯问题（弹性解）如图3-2,取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为。这里的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为，这就要求：将式（a）中的代入，上列二式成为：前一式总能满足，而后一式要求：代入式（a），得：因为梁截面的惯矩是，所以上式可改写为：结果与材料力学中完全相同。注意：对于长度远大于深度的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度与深度同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。

五、楔形体受重力和液体压力（弹性解）设有楔形体,如图a所示，左面铅直,右面与铅直角成角，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。问题：图图图图（a）（b）平面问题的直角坐标解答取坐标轴如图所示。假设应力函数为：（二）边界条件左面（）应力边界条件：这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。（一）应力分量在该问题中，体力分量，所以应力分量的表达式为：（a）右面（），，应力边界条件：将式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）将式（b）代入，得：（c）又：代入式（c），得：将这些系数代入式（b），得：各应力分量沿水平方向的变化大致如图b所示。注意：1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。平面问题的极坐标解答(一)极坐标下的基本方程1、极坐标中的平衡微分方程2、极坐标中的几何方程及物理方程（1）平面应力情况（2）平面应变情况：

将上式中的换为，换为。3、极坐标中的应力函数与相容方程（1）应力函数与应力分量之间的关系（2）相容方程

用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只须从相容方程求解应力函数，然后求出应力分量，再考察应力分量是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。(二)如图所示，设圆筒的长度远大于筒的直径，材料为理想弹塑性的，且不计体力，求圆筒内部的应力场和位移场。边界条件：本问题可以采用应力解法也可以采用位移解法，这里采用应力解法。（1）弹性阶段——弹性解和弹性极限在极坐标里，本构方程的形式为将几何方程代入上式，得将应力分量代入平衡方程并化简后，得到这是轴对称平面问题用位移表示的平衡方程。它是一个欧拉(Euler)方程，其通解为式中为待定常数。将上式代入应力分量表达式，得其中利用边界条件可以确定常数A、B为因此，最终得到厚壁筒受内、外压作用时的弹性应力场和位移场：当时，厚壁筒问题化为一个具有圆孔的无限大弹性薄板或具有圆形孔道的无限大弹性体，它们的应力分量为当圆筒仅受内压时,圆筒内的应力是第一主应力,而是第三主应力,故有从上式可见,圆筒内壁的最大.假设材料服从Tresca屈服条件,则圆筒内壁将首先达到屈服,此时有解上式得这里,就是问题的弹性极限压力值,它与圆筒的内外半径之比有关.当时，。可见，当弹性无限空间内的圆柱形孔洞受到内压作用（如有压隧洞）时，其内表面开始屈服时的压力值与洞的半径无关。此外，当内外半径之比a/b较小时，仅仅加大圆筒的外半径，并不会明显提高筒的弹性极限压力值。例如当a/b=1/3时，；当

，即时。因此，在设计高压圆筒时，不能只是采取加大圆筒厚度的办法来提高其强度，必须采用其他的措施，如采用高强度材料或对圆筒施加预应力等。在弹性区，部分，应力分布规律仍可前面的弹性解给出，但是要把其中的a改为c，内压力改为r=c处的应力值。在塑性区，平衡微分方程仍能成立，即如果材料服从Tresca屈服条件，则在塑性区内处处有将屈服条件代入平衡微分方程，则方程化为积分上式，得利用边界条件，可以确定出待定常数C,代入上式即得到塑性区内的应力分量为再利用屈服条件，得到综上，可得到塑性区内的应力解为注意，当时，由上式得下面根据弹性区和塑性区交界的连续条件，确定弹性区的应力分布以及交界圆周线的半径c。弹性区和塑性区交界的应力连续条件为考虑到在处，有上式表示在弹性区无限接近交界的内侧，材料趋近屈服另外，将弹性区域弹性解表达式中的a改为c,外压力改为外层弹性区的边界应力，经整理后得和塑性区的外边界比较，最后得到弹塑性分解线所满足的方程综上所述,最终得到应力解为1)弹性区2)塑性区3)交界线由应力解可以发现,在弹性区和塑性区的交界,径向应力连续而周向应力却间断,这正是弹塑性问题的特殊之处.当塑性区扩展到整个截面时,可得到塑性极限状态下的内压力为三)楔形体在楔顶或楔面受力平面问题的极坐标解答

楔形体的中心角为，下端为无限长。1.顶部受集中力P

设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体的中心线成角。取单位宽度的部分来考虑，并令单位宽度上所受的力为。

楔形体内一点的应力分量决定于α、β、P、r、θ，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中α、β、θ是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取PN/r的形式，其中N是α、β、θ组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中r的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设：

平面问题的极坐标解答代入相容方程后得：求解这一微分方程，得：不影响应力，取：其中于是得：平面问题的极坐标解答楔形体左右两面的边界条件：

上述应力分量满足该边界条件。集中力P按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和P成平衡力系：将的表达式代入，可求出C、D，最后得到密切尔解答：例

如图所示，楔形体两边受均匀分布的切向荷载作用，求其中的应力分布。解：（1）根据因次分析选择并求解

=(,q,r,)=r2f()代入协调方程通解是：f()=Asin2+Bcos2＋C+D=2Asin2

2Bcos2＋2C+2D＝2(Asin2+Bcos2＋C+D)=

2Acos2+2Bsin2

C根据力边界条件求出常数A、B、C、D

()=

=0

(r)==q

(r)==qA=0，C=0，

楔形体（尖劈）问题应力函数的构造小结：xyOPxyOM附1：曲梁一端受径向集中力作用矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为a，外半径为b，一端固定，另一端受径向集中力作用。（1）应力函数的确定分析：任取一截面m-n

，截面弯矩为由材料力学初等理论，可知截面上正应力由此假定：再由应力分量与应力函数间的关系，可推得：将其代入相容方程（a）该方程可转变为欧拉方程求解，其解为（b）代入应力函数为（c）（2）应力分量的确定（d）边界条件：代入应力分量得：端部条件：（e）代入剪应力分量得：（f）联立求解式（e）、（f），得：其中，代入应力分量式（d），有：（f）(2)

楔形体问题xyOPxyOMlrrrrrrrrrrarlra取半径为a的半圆分析，由其平衡得：5.8应力函数在梁的弹性弯曲问题中的应用梁的弹性弯曲问题可简化为平面应力问题,如图所示的简支梁,沿z向(图中未画出)取单位长度,梁内任意一点的应力状态满足MMhhLyxo假设梁两段作用有力偶M,由于直接求解三类方程困难，这里用逆解法来求解．梁上、下表面处的边界条件是在梁的左右两端，无法满足精确的应力边界条件，只能由圣维南原理写出静力等效的边界条件(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)设应力函数为其中c为待定参数。式(5.81)设定的函数显然满足双调和方程。由应力函数与应变分量的关系，可求得应力分量(5.81)(5.82)将(5.82)代入式(5.80)，得(5.83)因此，有求得代定参数后，得到梁内各点的应力分量为由于矩形截面的惯性矩为故应力分量的表达式为(5.85)(5.84)上述结果与材料力学所得到的解答完全相同。对于梁的端部，以上解答与实际情况存在一定的误差，但根据圣维南原理，这只会影响梁的端点附近的应力分布，其它部位没有影响。应变分量：根据本构关系可求出梁内任意一点的应变场为(5.86)将上式代入几何方程得(5.87)积分式(5.87)的前两式得(5.88)将(5.88)代入(5.87)的最后一个方程，得整理得(5.89)上式左边只与x有关，而右边只与y有关，由此得式中，是一个待定常数。整理上式得积分上述两式，得(5.90)将式（5.90）代入（5.88),得(5.91)式中均为待定常数，根据位移边界条件确定。如为简支边的边界条件(5.92)将式(5.92)代如式(5.91)，得因此，得式(5.93)中取可得挠度曲线方程(5.93)此曲线方程同材料力学中得出的结论一致。注：当梁的截面形式或荷载作用情况比较复杂时，将应力函数取为多项式形式可能会产生较大的误差，这时可选应力函数为三角形式的级数解，这里不再进一步讨论。5.9梁的弹塑性弯曲问题从本节开始研究梁的弹塑性弯曲,为了简化问题,假设梁的横截面具有两个对称轴,即y轴及z轴均是横截面的对称轴.5.9.1基本假定①梁横截面变形后,仍为平面且与变形后的轴线垂直(平截面假定).经实验验证,这个假定在弹性状态下成立,在塑性状态下仍成立.②梁内各点只有两个应力分量不为0,梁的弯曲问题可以按平面应力问题来处理.③梁选用材料抗拉抗压是对称的.这里假定材料是理想弹塑性材料,单向应力状态下的应力-应变关系满足(5.94)5.9.2基本方程1.变形协调方程梁的弯曲问题的变形协调方程