概率论与数理统计(第四版)第二章

第二章

随机变量及其分布§2.1随机变量例

电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X

来描述：X=0，1，2，…随机变量的概念例检测一件产品可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述:例考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以

X记灯泡的寿命（以小时计）则：X=t，(t≥0)设S是随机试验E的样本空间，若定义则称S上的单值实值函数X()为随机变量随机变量一般用大写英文字母X，Y

，Z，或小写希腊字母，，，表示随机变量是上的映射，

此映射具有如下特点:

定义域

事件域S

；

随机性

随机变量X

的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；

概率特性

X

以一定的概率取某个值或某些值。

引入随机变量的意义

有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。

如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X

表示，它是一个随机变量。{

收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}随机变量分类所有取值可以逐个一一列举全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举。§2.2离散型随机变量及其分布律例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额X

。X的可能取值为：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006

若随机变量X

的可能取值是有限个或可列个，则称X

为离散型随机变量。定义描述X的概率特性常用概率分布列或分布列X

p

即或

概率分布的性质

非负性

正则性概率分布的特征例1一批产品的次品率为8%，从中抽取1件进行检验，令写出X的分布律.X的分布律为:

X

p

概率分布图:

0.0801

xy0.92

解：两点分布(0–1分布)

只取两个值的概率分布分布律为：X10pkp1-p0<p<1或应用场合

凡试验只有两个可能结果，常用0–1分布描述，如产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超标等。10件产品中，有3件次品，任取两件，X是“抽得的次品数”，求分布律。X

可能取值为0，1，2。例2解：所以，X的分布律为：X012p7/157/151/15注

求分布律，首先弄清X的确切含义及其所有可能取值。例3

上海的“天天彩”中奖率为p

，某人每天买1张，若不中奖第二天继续买1张，中奖为止。求该人购买次数X的分布律。X=k表示购买了k

张，前k-1张都未中奖，第k

张中了奖。几何分布适用于试验首次成功的场合解：123…k-1

k×××…×√二项分布贝努里概型和二项分布设试验E只有两个结果：Ａ和，记:将

E独立地重复

n次，则称这一串重复的独立试验为

n重贝努利(Bernoulli)试验，简称为贝努利(Bernoulli)试验在n重贝努利试验中，事件A可能发生0,

1,2,…n

次称

X服从参数为

p的二项分布(binomial)。记作：

当n=1时，

P(X=k)=pk(1-p)1-k

k=0,1

即0-1分布（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，

贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；

且P(A)=p

，；（3）各次试验相互独立。二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布。例5

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。解:依题意，p=0.05设X为所取的3个中的次品数。则X~B(3,0.05),于是，所求概率为：计算例6设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由4人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。X=某人维护的20台中同一时刻故障台数；Ai

：第i人维护的20台故障不能及时维修”（i＝1，2，3，4）；解：按第一种方法。而X～b（20,

0.01）不能及时维修的概率为：计算设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；按第二种方法。第二种方法优于第一种方法此时Y～b（80，0.01）

，故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：计算高尔顿钉板试验Poission分布

例单位时间内某电话总机收到的呼叫次数用X表示，它是一个离散型随机变量。X=0，1，…其中，λ为常数称X服从参数为λ

的Poisson分布，记为：计算二项分布的Poisson近似泊松定理其中

设λ是一个正整数，，则有：n≥100，np≤10时近似效果就很好：

定理的条件意味着当

n很大时，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，当n

很大，p

很小时有以下近似式：其中

计算例7

为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.可见，X~B(n，p)，n=300，p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99

P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我们求满足的最小的N.查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配备8个维修人员.计算x定义

设X为随机变量，x是任意实数，称函数为X

的分布函数。几何意义：Xx§2.3随机变量的分布函数

分布函数的基本性质

单调性

有界性

右连续性鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。x

由定义知X落在区间(a，b]里的概率可用分布函数来计算：baax]aa-Δxx用分布函数表示概率请填空解：X的分布律为

X012p7/157/151/15

例1

求例2中的分布函数并作图.

012x

分布函数为xxxx012x1F(x)的图形为:7/157/151/15一般情形为:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx例2设随机变量X的分布函数为:试求：（1）系数A，B;

（2）X落在（-1，1]内的概率解：由性质——柯西分布函数离散随机变量的分布函数

F(x)是分段阶梯函数，在X

的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度

pkxyy=f(x)§2.4

连续型随机变量及其概率密度几何意义xX返回

对任意实数x，若随机变量X的分布函数可写成：定义2.3其中，则称X

是连续型随机变量，称f(x)为X

的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度。

记为:概率密度f(x)的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。1.2.3.在f(x)

的连续点处有4.对连续型随机变量X有：1.2.3.图形例1

已知某型号电子管的使用寿命X为连续随机变量，其密度函数为：(1)求常数c；

(2)计算(3)已知一设备装有3个这样的电子管，每个电子管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率。解：(1)

令c=1000(2)

(3)设A表示一个电子管的寿命小于1500小时设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为Y例2

设随机变量X的分布函数为：(1)求X取值在区间(0.3，0.7)的概率；(2)求X的概率密度。解:(1)

P(0.3<X<0.7）=0.72-0.32=0.4=F(0.7)-F(0.3)例3

设随机变量X的分布函数为解:

(2)

f(x)=注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值。若随机变量X的密度函数为：xf(x)ab则称X

服从区间[a

，b]上的均匀分布。记作均匀分布几个重要的连续性分布例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF(x)的图形：即X

的取值在(a，b)内任何长为

d–c的小区间的概率与小区间的位置无关，只与其长度成正比。

若随机变量X的密度函数为：其中μ，σ>0为未知参数，则称X

服从参数为μ，σ的正态分布，记为：正态分布

正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨量,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。0μμ-σμ+σxy正态分布密度函数μ00.20.40.60.811.21.4动态演示称X服从标准正态分布概率密度函数为：分布函数为：的函数值可查正态分布表。例：0.8413记为：对标准正态分布，有：0x-x引理：于是：例3：

这在统计学上称作“3准则”

（三倍标准差原则）。可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.分位点则称为标准正态分布的上分位点。

0常用值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282§2.5随机变量函数的分布问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.例如，已知t=t0

时刻噪声电压V的分布，求功率

W=V2/R

的分布

设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出

Y

的分布？

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。下面进行讨论。例

离散型随机变量函数的分布求Y

1=2X–1与

Y2=X

2

的分布律解:X-10