第三章 恒定电流的电场和磁场

§3.1恒定电流的电场（第一部分）§3.2磁感应强度§3.3恒定磁场的基本方程§3.4矢量磁位§3.5磁偶极子§3.6磁介质中的场方程（第二部分）§3.7恒定磁场的边界条件§3.8标量磁位§3.9互感和自感§3.10磁场能量§3.11磁场力第三章恒定电流的电场和磁场1主要内容恒定电流的电场的基本特征（第一部分）磁感应强度与磁场强度恒定磁场的基本方程磁介质中的场方程（第二部分）恒定磁场的边界条件自感与互感的计算磁场能量与能量密度2第一部分

§3.1恒定电流的电场电流与电流密度的概念和计算方法电荷守恒定律/欧姆定律/焦耳定律恒定电场的基本方程电动势、漏电电导及接地电阻的概念和计算恒定电场的边界条件静电比拟法3基本概念电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯上规定正电荷运动的方向为电流的方向。恒定电流：若电流不随时间变化而变化恒定电场：恒定电流的空间存在的电场4§3.1.1电流密度一、电流强度（标量）（A）

单位时间通过某导线截面的电荷量

i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流即直流电流二、电流密度（矢量）（A/m2）——体电流密度大小为与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度。方向为正电荷运动的方向。如图，设通过△S的电流为△I，该点处的电流密度为51、体电流密度》与I的关系》与ρ的关系2、面电流密度3、线电流密度若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度》与ρS的关系》与I的关系电流密度动态演示：6§3.1.2电荷守恒定律电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）电流连续性方程的微分形式恒定电流场的基本方程之一：微分形式：积分形式：

表明：无散，即电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线电荷定恒定律：任一封闭系统的电荷总量不变。即任意体积V内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。7§3.1.3欧姆定律的微分形式电流分类：

传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、电解液中的电流。

运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成的电流。如真空管中的电流。欧姆定律微分形式：其中σ为电导率，单位：西门子/米（S/m）恒定电场中，仅理想导体（σ→∞）内才有：静电场中，导体内有：欧姆定律积分形式：注意：只适用于传导电流、电源外部，不适用于运流电流8如右图，考虑一横截面为S，长度为

，电导率为的均匀导电媒质。该导电媒质横界面S的总电流为：

电场E在长度l方向上产生的电压降为：

上两式与式相结合得到导电媒质中的电流与电压的关系为：

均匀导电媒质9常温下（20摄氏度）材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)107

黄铜1.56×107

铝3.55×107

金3.10×107

铅5.55×107

铜5.80×107

银6.20×107

硅1.56×10-3

表3-1常用材料的电导率10电动势：电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热的等）转化为电能的装置。非静电力：不是由静止电荷产生的力。例如在电池内，非静电力指的是由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。非库仑场：非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场，只存在电源内部。库仑场：恒定分布的电荷产生的场，保守场，同时存在电源内部和外部。电动势：电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静电力所作的功。电动势用总电场的回路积分表示：含电源的欧姆定律的微分形式：电池作用原理11§3.1.4焦耳定律(不适用于运流电流)焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。

焦耳定律的微分形式：

证明：当导体上电压为U，电流为I时，功率为P=UI在导体中，沿电流线方向取长度为⊿l、截面为⊿S的体积元，该体积无消耗的功率为当⊿V→0时，取⊿P/⊿V的极限，得导体内任一点热功率密度，即或12补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地)接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接。接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密度最大，因此，接地电阻主要集中在电极附近。跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两点间电压可能达到相当大的数值。13设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点的电流密度为：则电场强度为：由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处所以电极在大地中的电压为：故得接地电阻为：同理，全球接地电阻接地电导例：求半球形电极的接地电阻14减小接地电阻方法：增大半径a》采用大块接地导体》采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的接地系统》采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。增大电导率σ》在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位15例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，已知土壤的导电率为σ=10-2S/m。求：1）接地电阻；2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率解：接地电极的接地电阻为已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为跨步电压损耗功率16恒定电流场的基本性质：无散无旋场§3.1.5恒定电流场的基本方程（电源外部导体中）微分形式：积分形式：由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位在均匀导体内部（电导率为常数），有17在两种介质分界面上，介质性质有突变，电场也会突变边界条件：场分量在界面上的变化规律恒定电流场的边界条件：分界面两边恒定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电场的边界条件推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方程的积分形式：§3.1.6恒定电流场的边界条件18电流密度的法向分量

在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由由于h0

又⊿S很小，所以⊿S上电流密度可看成常数表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续或或19电场强度的切向分量

在分界面上构造如右图狭长回路，由表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的由于h0

又⊿l很小，所以⊿l上电场强度可看成常数或或恒定电场的边界条件动态演示：20分界面上电场的方向分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况1、法线方向上：2、切线方向上：特殊情况：》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射》当σ1>>σ2

：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面说明：电场强度和电位移矢量方向在经过分界面两边时方向将发生改变，改变量与媒质性质有关21恒定电场（电源外）静电场（ρ=0的区域）§3.1.7恒定电流场与静电场的比拟22恒定电场：静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直接得出。利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导静电场：漏电电导定义：两个导体之间的漏电流I与它们之间的电压U的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻。说明：漏电导与形状、位置、介质有关，与I和U无关。孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。2324常见导体系统的电容

平行板：其中S：面积，d：距离。

同轴线：

其中L：长度，a，b：内外导体内外半径平行双导线：

其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。同心球：其中a，b：内外球半径。孤立导体：其中a：球半径。25由静电比拟法可行常见导体系统的漏电导平行板：其中S：面积，d：距离。

同轴线：

其中L：长度，a，b：内外导体内外半径平行双导线：

其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。同心球：其中a，b：内外球半径。孤立导体：其中a：球半径。26漏电导的计算方法

从比拟法出发，利用C-G和的σ-ε比拟关系，直接由电容值得到对应的漏电导值。从定义出发，设两导体之间的漏电流I，求U值，得G假定I272829例3-1

设同轴线的内导体半径为a

、外导体内半径b，其间媒质的电导率为σ，求同轴线单位长度的漏电电导。解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴线方向单位长度从内导体流向外导体电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为两导体间的电位差为：漏电电导为：30例3-2

一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质的电导率为σ，求该电容器的漏电电导。解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为内外导体间的电压为：漏电电导为：3132第二部分恒定电流的磁场磁感应强度与磁场强度恒定磁场的基本方程磁介质中的场方程恒定磁场的边界条件自感与互感的计算磁场能量与能量密度33基本概念（高中范畴）恒定磁场：磁场不随时间变化而变化（如恒定电流产生的磁场）。磁通量：垂直于某一面积所通过的磁力线的多少。磁感应强度：大小为穿过单位面积的磁通量。方向为磁力线的切线方向。

特斯拉（T）单位太大，工程上常用高斯（G）单位。1G=10-4T。通电导线所受的力：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受的磁场力（安培力）F=BIL（左手定则）。34基本概念（高中范畴）（续）左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向。那么，拇指所指的方向，就是通电导线在磁场中的受力方向。

磁场强度：在任何磁介质中，磁场强度的大小为磁场中某点的磁感应强度B与同一点的磁导率的比值。方向为磁力线的切线方向。35§3.2磁感应强度一、安培定律：描述电流回路间的相互作用力的大小。安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1对另一载有电流I2的回路C2的作用力为：回路上的电流元矢量μ0为真空中的磁导率Ampere'slaw36二、毕奥—萨伐尔定律：描述回路C1在P点产生的磁感应强度将安培定律改写为：则回路C1在P点产生的磁感应强度为：单位特斯拉，简称特（T）或（Wb/m2）可理解为C1产生磁场，C2在磁场受力37例判断下列各点磁感应强度的方向和大小+++38按习惯“带撇号”表示源点，“不带撇号”表示场点源点：场点：则线电流中：面电流中：体电流中：此三个公式作用：已知回路的电流分布可求磁感应强度39由可得电流元Idl在外磁场B中所受的力为：而已知外磁场B，回路C受到的力为：以速度v运动的点电荷q在外磁场B中受到的力为：以速度v运动的点电荷q在外电磁场(E,B)中受到的力为：洛仑兹力公式40例：一根沿z轴放置长度为2l的直导线通过z方向的电流为I。求其在周围产生的磁感应强度。解：选择柱坐标系，源点坐标为(0,0,z’)，场点坐标为(ρ,0,z)其中：根据毕奥-萨伐尔定律：由若导线无限长，则41§3.3

恒定磁场的基本方程§3.3.1磁通连续性原理

有向曲面S的磁通量：闭合曲面S的磁通量：磁通连续性原理（积分形式）：表明：磁感应强度穿过任意闭合曲面的通量恒为零。即磁力线是连续的。磁通连续性原理（微分形式）：表明：磁感应强度是一个无散场，磁力线是连续的闭合曲线。42证明磁通连续性原理以载流回路C产生的磁感应强度为例由于由于=043单根导线电流§3.3.2安培环路定律

积分形式：微分形式：

注意：用安培环路定律求解磁场分布只适用于某些呈轴对称分布的磁场的求解表明：恒定磁场是有旋场，旋涡源为电流物理意义：磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以该回路包围的电流的代数和。推导用斯托克斯定理多根导线电流分布电流动画演示44§3.3.2安培环路定律

表明：无散场，磁力线连续，无头无尾且不相交，磁力线构成闭合回路；有旋场，电流是磁场的旋涡源。总结：真空中恒定磁场的基本方程积分形式：微分形式：45例：一根沿z轴放置无限长直导线通过z方向的电流为I。用安培环路定律求其在周围产生的磁感应强度。解：取圆柱坐标系，由对称性可知，磁感应线是圆心在轴线上的圆。沿磁感应线取半径为ρ的积分路径C，依安掊环路定律与前面解法相比：用安培环路定律求解对称分布的电流产生的磁场要简单得多46例3-5

半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解：取圆柱坐标系，z轴与导体中轴线重合。由对称性可知，磁感应线是圆心在导体中轴线上的圆。沿磁感应线取半径为r的积分路径C，依安掊环路定律得而当r≤a时当r>a时47例：内、外半径分别为a、b的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为导体磁导率为μ。求空间各点的磁感应强度。解：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布，取圆柱坐标系，依安掊环路定律得在r<a区域：在a≤r≤b

区域：在r>b

区域：48§3.4

矢量磁位（磁矢位）一、矢量磁位的引入二、库仑规范引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。要求：磁感应强度与矢量磁位满足一一对应关系矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一确定的，它加上任意一个标量Ф的梯度后，仍然表示同一个磁场恒定磁场的矢量磁位单位：特斯拉·米(T·m或Wb/m)若则对于有：049而上式表明：是性质不同的两种矢量场，这意味着满足库仑规范条件：必须引入新的限定条件，对矢量磁位进行限定，这种新引入的限定条件称为库仑规范。由亥姆霍兹定理可知：矢量场的性质由其散度和旋度确定，对于矢量磁位，其旋度已确定(等于磁感应强度)，只须对其散度进行限定即可唯一确定。在恒定磁场中一般采用库仑规范条件，即令注意：规范条件是人为引入的限定条件50三、矢量磁位的求解矢量磁位满足的方程由矢量恒等式：应用库仑规范磁矢位的拉普拉斯方程：泊松方程在直角坐标系中，可以写成对各个分量的运算，即▽2为矢量拉普拉斯算符51写成矢量形式：体电流：面电流：线电流：磁通计算公式：写成分量形式：对矢量磁位的说明：》矢量磁位的方向与电流密度矢量的方向相同》引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算52例3-6

求长度为l的载流直导线的磁矢位解：取圆柱坐标系，磁矢位只有z分量。当l>>z时当l>>r时53当l→∞时，上式为无穷大。这是因为当电流分布在无限区域时，不能把无穷远处作为磁矢位的参考点，而以上的计算均基于磁矢位的参考点在无穷远处。实际上，当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0

处为磁矢位的零点时，可得出利用上式，用圆柱坐标旋度公式，可求出54补充：

建立非齐次方程直接求解法若已知空间电流密度矢量分布，则可建立方程：直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但计算十分复杂，很难得出解析解，因此一般不采用此法小结：求解磁场的方法》场源积分法（毕奥-萨伐尔定律）》非齐次方程直接求解法》安培环路定律》通过矢量磁位间接求解05556§3.5

磁偶极子磁偶极子定义：一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。解释：永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷。定义式为：磁矩：大小为电流环的面积与电流的乘积方向与环路的法线方向一致。证实：在磁场的实验研究中已证实，一微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布相同。对偶：磁偶极子及其磁场与电偶极子及其电场是对偶的57载流圆环磁矢位本问题的电流分布具有对称性，所以磁矢位在球面坐标系中只有Ф分量，并只是r和θ的函数。故将场点选取在xoz平面。式中：58又：如果r>>a，则所以：积分后得出59球面坐标系中求旋度得60电偶极子磁偶极子2、存在对偶关系。比较：1、在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是相同的，但在偶极子附近，二者场分布不同。引申：磁力线是闭合的，电力线是间断的。61§3.6磁介质中的场方程磁介质的分类：顺磁质：磁介质中磁场增强μr>1

如：锰，铝，氧气，氮气…抗磁质：磁介质中磁场减弱μr<1

如：铜，银，氯气，氢气…铁磁质：磁介质中磁场显著增强μr>>1

如：铁，镍，钴…现在将一个长螺线管通电流I0，造成一个均匀磁场B0，将磁介质充满磁场（保持电流不变）。实验发现：各种磁介质中的磁场有的减弱，有的加强。均匀各向同性介质充满磁场所在空间时，有：磁介质定义：磁场作用下磁化，并影响磁场分布的物质62§3.6.1磁化强度磁介质磁化的有关概念：分子电流及磁矩》电子绕核运动，形成分子电流》分子电流将产生微观磁场》分子电流的磁特性可用分子磁矩表示顺磁质的磁化》磁化前，分子磁矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性》外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。磁化现象：磁介质在外磁场作用下，产生感应磁矩，产生二次磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。磁化结果使介质中合成磁场可能减弱，也可能增强。磁化现象动态显示63磁化强度描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即若△V内每个分子的磁矩相同，单位体积内分子数为N§3.6.2磁化电流磁介质被磁化后，内部和表面会出附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）体磁化电流：内部出现的附加电流面磁化电流：表面出现的附加电流磁化电流动态显示媒质表面外法向6465证明：体积元为△V的磁介质产生的磁矢位为全部磁介质产生的磁矢位为利用恒等式利用恒等式66例3-7

半径为a、高为L的磁化介质柱，磁化强度为M0,求磁化体电流和磁化面电流。解：取圆柱坐标系的z轴与磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。在界面z=0上在界面z=L上在界面r=a上67§3.6.3磁场强度在磁介质中，将真空中的安培环路定律修正为：由于将上式改写为：令：真空中与磁介质中统一形式的安培环路定律积分形式：微分形式：磁场强度（辅助物理量）单位为A/m68§3.6.4磁导率各向同性/各向异性；线性/非线性；均匀/非均匀对于线性各向同性的磁介质：μr：介质的相对磁导率根据与的关系可将磁介质分为：

本构关系：和的关系，表示磁介质的磁化特性χm为磁化率，为无量纲量，顺磁质为正，抗磁质为负μ：介质的磁导率铁磁材料：的关系是非线性的，并且的单值函数，会出现磁滞现象69磁滞现象：指铁磁物质磁化状态的变化总是落后于外加磁场的变化，在外磁场撤消后，铁磁质仍能保持原有的部分磁性OBHACDB...EF.HCBs.BrHs.初始磁化曲线Br剩磁.HsBs.

饱和磁感应强度矫顽力HC磁滞回线70§3.6.5磁介质中恒定磁场的基本方程微分形式：积分形式：磁矢位的微分方程：在介质中同样定义磁矢位：

在线性均匀各向同性介质中，采用库仑规范：基本性质：无散场。磁力线连续，无头无尾且不相交。有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力构成闭合回路。71例3-8

同轴线内导体半径为a、外导体内半径为b，外半径为c，设内外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为μ，求各区域解：如无特别声明，对良导体（不包括铁等磁性物质）一般取磁导率μ0

，因同轴线无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有Φ分量，且其大小只是r的函数。当r≤a时当a<r≤b时当b<r≤c时当r>c时，全为零72总结：静态场性质静电场的基本方程（真空中和介质中）积分形式：微分形式：静电场基本性质：有散无旋场恒定电流产生的电场的基本方程（真空中和介质中）积分形式：微分形式：恒定电流场基本性质：无散无旋场73恒定磁场的基本方程（真空中和介质中）恒定磁场基本性质：无散有旋场微分形式：积分形式：例：判断矢量场的性质=0=0=000=074§3.7恒定磁场的边界条件在两种介质分界面上，介质性质有突变，磁场将发生突变磁场的边界条件：分界面两边磁场突变所遵循的规律，称为磁场的边界条件推导磁场边界条件的依据是磁场方程的积分形式75磁感应强度的法向分量

在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由由于h0

又⊿S很小，所以⊿S上磁感应强度可看成常数表明：磁感应强度的法向分量在边界面两侧连续或76磁场强度的切向分量

在分界面上构造如右图狭长回路，由表明：磁场强度的切向分量在通过边界面时不连续由于h0

又⊿l很小，所以⊿l上磁场强度可看成常数或由由77分界面上磁场的方向分析磁场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况1、法线方向上：2、切线方向上：特殊情况：》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光的折射》若媒质1为铁磁质，媒质2为空气，即μ1>>μ2

，即只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在铁磁质表面，磁场方向与表面垂直说明：磁感应强度和磁场强度方向在经过分界面两边时方向将发生改变，改变量与媒质性质有关若78恒定磁场的边界条件动态演示79808182§3.8标量磁位磁标位的定义：：磁场的标量位函数（简称标量磁位或磁标位）单位为A（安培）。磁标位的拉普拉斯方程：磁标位表示磁场边界条件：当时当时83§3.9互感和自感一、磁链（magneticfluxlinkage）的定义：磁链即为总磁通，用Ψ表示说明1：如果回路由N匝线圈绕成，则磁链为各匝磁通之和。对于密绕线圈，可近似认为各匝的磁通相等，有Ψ=NΦ，Φ为单匝线圈磁通说明2：在线性各向同性媒质中，穿过任意电流回路的磁通量与回路电流强度成正比，那么磁链也与回路电流成正比。二、自感（self-inductance）的定义：回路的磁链和回路电流之比，用L表示84说明1：回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸、匝数和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。说明2：若回路导线直径较粗，则Li回路内自感，导体内部磁场与部分电流交链形成Le回路外自感，导体外部磁场与全部回路电流交链形成一般回路导线内自感较小，可忽略三、互感（mutualinductance）的定义：两个彼此靠近的回路C1和C2，回路C1的磁场在回路C2上产生的磁链为Ψ12，则回路C1对C2的互感为：说明：回路互感仅与两回路的几何形状、尺寸、匝数、相对位置和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。同理回路C2对C1的互感为：85互感为正互感为负Ψ11：I1在C1中磁链；Ψ21：I2在C1中磁链Ψ12：I1在C2中磁链；Ψ22：I2在C2中磁链互感的正负：在同一个线圈中自身电流和另一线圈电流产生的磁链方向相同，为正，反之，为负。若Ψ11和Ψ21有相同的方向；或Ψ12和Ψ22有相同的方向，互感为正，反之为负。86诺伊曼公式：给出两个简单回路间互感计算方法诺伊曼公式：提供了求互感的一般方法，但实际应用起来常导致复杂的积分，一般不用此公式。表明：》互感仅与两回路的几何形状、尺寸、匝数、相对位置和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。

》两回路间互感相等M12=M21，即互感具有互易性87对于自感，诺伊曼公式变为：可求外自感的诺伊曼公式若两上线元重合，R=0，积分趋于无穷大，由于忽略了回路导线的截面所致因此用诺伊曼公式计算自感必段考虑导线的横截面积其中：表明：回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸、匝数和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。一般不用此公式计算外自感88小结：穿过回路的磁链是由回路身的电流产生的，则磁链与电流的比值称为自感自感取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率如果穿过回路的磁链是由其它回路电流所产生，则磁链与产生磁链的电流之比称为互感互感的大小不仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率，还与两个回路的相互位置有关电感的计算方法：从定义出发，设两回路电流为I1和I2

，求出相应的磁通链，得到外自感和互感