第四章流动阻力和水头损失

第3章

流体动力学

3.1.1拉格朗日法（拉氏法、质点系法）

通过研究流体各质点的轨迹，得到整个流体的运动形态。§3.1流体运动的描述方法OxyzA(t0)B(t)abxycza、b、c--质点起始坐标。a、b、c、t---拉格朗日变量。

x=x(a,b,c,t)

y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)

质点的空间坐标x、y、z---流场内固定点坐标。x、y、z、t---欧拉变量。u=u(x,y,z,t)ux=ux(x,y,z,t)uy=uy(x,y,z,t)uz=uz(x,y,z,t)3.1.2欧拉法:

流场法

在流动空间的每一个空间点上，观察其运动要素随时间的变化，把足够多的固定空间点综合起来，得到整个流体的运动情况。同理，压强也可以表示为：p=p(x,y,z,t)3.1.3流体质点的加速度、质点导数由于空间位置发生变化而产生的加速度。

---全加速度由时间变化而引起的同一观察点的速度变化---迁移加速度或位变加速度---当地加速度或时变加速度ABH3.1.3欧拉法的几个基本概念一、恒定流与非恒定流恒定流：在流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。即运动要素仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。非恒定流：流场中空间点上至少有一个运动要素随时间而变化。注意：没有特殊说明时，本课程主要研究恒定流。二、流线与迹线迹线：一个流体质点在空间运动的轨迹线。流线：某一瞬时在流场中给出的线，在这条曲线上所有各流体质点的流速矢量和该曲线相切。

ABCDu1u2u3u4流线的基本特性：①恒定流时，流线不随时间而变，具有恒定性；非恒定流时，流线随时间而变，具有瞬时性。②恒定流时(每个质点的流线形状不变)，流线与迹线重合；非恒定流时，流线与迹线不重合。③流线不能相交，也不能转折，只能是光滑的曲线。Ou1u2三、流管、元流、总流、过水断面、流量、断面平均流速流管：设想在流场中由无数根流线组成的封闭的管子。流体不可能穿过流管表面流进或流出dA1dA2u1u2元流（微小流束）：充满于流管中的一束液流。

微小流束的极限是流线。

总流：由无数微小流束组成的总股流体称为总流。过水断面：与总流或元流的流向相垂直的横断面。流量：单位时间内通过某一过流断面的流体体积称为过流断面的体积流量，简称流量（m3/s）

重量流量、质量流量。元流的流量：总流的流量：断面平均流速：四、一维流、二维流、三维流一维流：流场中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关。用断面平均流速，代替实际不均匀分布的点流速的总流，可以视为一维流。二维流：恒定流中任一点的运动要素与两个坐标（平面坐标）有关。例如，水在矩形渠道中的流动。三维流：恒定流中任一点的运动要素与三个空间坐标（x,y,z轴）有关。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然河道中的流动等。

五、均匀流、非均匀流、渐变流、急变流均匀流：在流动过程当中，各运动要素不随坐标位置而改变的流动。

对均匀流，迁移加速度为零。即均匀流特点:①均匀流的流线为平行直线。②均匀流过水断面为平面，过水断面形状和尺寸沿程不变。③均匀流中同一流线上各点流速均相等---各过水断面上的流速分布相同---断面平均流速和水深沿流程不变。④均匀流过水断面上的动水压强分布规律符合静水压强分布规律---同一过水断面上的测压管水头值等于常数。(z+p/=c)非均匀流：

在流动过程当中，各运动要素随着空间位置而改变的流动。

ABA'B'H

非均匀流按照流线的不平行和弯曲的程度，又分为渐变流和急变流。渐变流：

流线之间的夹角很小，流线近乎平行且流线的曲率半径很大，曲率很小，流线近乎直线的流动。

急变流：流线之间的夹角很大，或者流线的曲率半径很小的流动。

例：已知速度场。试问：（1）t=2s时，在（2,4）点的加速度是多少？（2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动是均匀流还是非均匀流？解：以代入，得：=4y-6x速度场随时间而变化，为非恒定流位变导数为零，为均匀流例：已知半径为ro的圆管中，过流断面上的流速分布为：式中是轴线上断面的最大流速，y为距管壁的距离。试求：（1）通过的流量和断面平均流速；（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。解：取环形微元面积，面上各点的流速u相同令r=r0-y=2πrdr流量：断面平均流速：（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。①控制面相对坐标系是固定的；

②控制面上可以有质量和能量的交换；③控制面上承受施加在控制体的外力。

§3.2

恒定总流的连续性方程（质量守恒方程）

控制体：控制面：

①流体是不可压缩的，流体密度不变,即1=2=

②流动为恒定流时，即流管形状不变。③没有流体质点穿过流管的侧壁流进或流出。流管内的质量不变。

11dA1u1u2A222dA2A1

§3.2

恒定总流的连续性方程

u1dA1dt=u2dA2dt得：u1dA1=u2dA2

dQ=u1dA1=u2dA2

对于总流：11dA1u1u2A222dA2A1对于理想液体或实际液体都适用。注意：当流量有流进或流出时，可以写成：Q3Q1Q2Q2Q3Q1OO回顾：流体静力学基本方程的意义在静水压强分布公式

中:位置势能（位能）：zg位置水头（水头）：z压强势能（压能）：测压管高度(压强水头)：单位势能：测压管水头：

§3.3

恒定总流的能量方程核心思想：“化整为零”→“积零为整”3.3.1理想液体恒定微小流束能量方程推导动能定理：某物体在运动过程中动能的改变等于其在同一时间内所有外力所做的功。

动能改变：外力：重力和动水压力等。重力做功：水压力做功：微小流束能量方程,又称伯努利方程。3.3.2实际液体恒定微小流束的能量方程设单位重量流体的机械能损失为:3.3.3实际液体恒定总流的能量方程①第一类积分：对均匀流和渐变流过水断面：分别在总流两端的过水断面上积分：③第三类积分为：②第二类积分为：—动能修正系数=1.05~1.10实际总流伯努力方程积分为：实际液体恒定总流的能量方程,又称伯努利方程。①zg---单位重量流体相对基准面的势能(位能);②p/

---单位重量流体的压能;③v2/2---单位重量流体的动能;实际总流能量方程的物理意义④zg+p/=Ep---

单位重量流体的势能;⑤---单位重量流体的总机械能。

（1）实际总流任一端面的总机械能等于其下游断面的总机械能与两端面之间的机械能损失之和。（2）如果位能不变，压能和动能可以互相转化，压能增加则动能减少；压能减少则动能增加。非等量转化，差一个水头损失hw。（3）如果动能不变，位能和压能可以互相转化，位能增加，压能减少；位能减少，压能增加；非等量转化，差一个水头损失hw。（4）机械能转化过程中，有一部分克服水流阻力，转化为水头损失。

z----位置水头

微小流束流过水断面上某点相对于基准面的位置高度。

p/g----压强水头

测压管中液柱高度。v2/2g----速度水头

当不计空气阻力时，流体以初速度u向上喷射到空气中所能达到的理论高度。实际总流能量方程的几何意义---总水头水力坡度：测压管水头线坡度：---测压管水头z1z2z3z4z5z6测管水头线p1/gp2/gp3/gp4/gp5/gp6/g总水头线1v2/2g2v2/2g3v2/2g4v2/2g5v2/2g6v2/2ghw1-2hw1-3hw1-4hw1-5hw1-63.3.4实际总流能量方程的应用①应用条件：a.流动是恒定流，流体是不可压缩的;b.作用于流体上的质量力只有重力;c.过水断面是均匀流或渐变流过水断面;d.有机械能输入或输出时，总流的伯努力方程;Hm------单位重量流体从外部所获得或减少的机械能。有能量输入取+Hm，从水流内部输出能量时取-Hm。流程中途有能量输入：管道系统所需的水泵扬程为HP

1-1与2-2断面之间全部管道系统单位重量液体的能量损失，但不包括水泵内部水流的能量损失

水泵的轴功率水泵效率流程中途有能量输出:水轮机的作用水头为Ht

水轮机效率水轮机的出力

e.所取的过水断面之间没有流量的汇入或分出，即总流的流量沿程不变。Q2Q3Q1能量守恒：gQ1H1=gQ2H2+gQ3H3+gQ2h1-2+gQ3h1-2因为Q1=Q2+Q3（gQ2H1-gQ2H2-gQ2h1-2

）+（gQ3H1-gQ3H3-

gQ3h1-3）=0则gQ2（H1-H2-h1-2）=0

gQ3（H1-H3-

h1-3）=0即H1=H2+h1-2

H1=H3+h1-33.3.4实际总流能量方程的应用②应用要点：“三选一全”原则“三选”-----选好“点、线、面”面-----选好基准面：

两过水断面上的计算点的位置高度

z要依据同一个基准面。一般将基准面选在较低位置，使

z≥0。线----选好两端的渐变流过水断面。常选的过水断面：液流边界起始端的过水断面，以及待求未知数的渐变流过水断面。点--选好两端过水断面上的计算点。

对于管流，计算点一般选在管轴中心；对于明渠一般选在自由液面处或渠底。“一全”--全面分析和计算两过水断面之间的全部水头损失，一个不漏。能量方程中的动水压强p1、p2可用绝对压强也可用相对压强。在同一个方程中，必须采用相同的压强。

不同过水断面上的动能修正系数1、2一般可近似等于1。1、判别水流运动方向

三、应用举例

有一段变直径管道倾斜放置，小管直径d1=d2=0.25m，大管直径d3=0.5m。在管中分别取渐变流断面1-1和2-2并安装压力表，测得两断面形心点压强分别为9.8kN/m2、-4.9kN/m2。1-1和2-2断面形心点的位置高差，通过管道的流量Q=0.24m3/s。那么水流的运动方向如何？

例：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量Q＝5.56L/s，泵的安装高度Hs＝5m，吸水管直径d＝100mm，吸水管的水头损失hw＝0.25m水柱。试求水泵进口断面2-2的真空度。2、水泵抽水

三、应用举例解：1-1断面：z1=0，p1=pa(绝对压强)，v1≈02-2断面：z2=Hs，p2=待求，v2=Q/A=0.708m/s例：如图，为毕托管的测速原理图。为了测定A点的流速，对准A点竖一根测压管，测压管的液面高度为pA/，在A点下游相距很近的地方B点，放一根弯成直角且两端开口的细管（测速管），并正对液流，另一端向上，其内的液面高度为pB/,试计算A点的流速。pB/pA/ABhu3、流速测量

三、应用举例pB/pA/ABhu解：取AB连线所在平面作为基准面：h1动压管静压管Δhh2AA-A12例：文丘里流量计，进口直径d1＝100mm，喉管直径d2＝50mm，实测测压管水头差Δh＝0.6m（或水银压差计的水银面高差hp＝4.76cm），流量计的流量系数μ＝0.98，试求管道输水的流量。4、流量测量

三、应用举例解：能量方程用测压管：流量：设水流从水箱经铅垂圆管流入大气，如图4-11所示。水箱储水深度由水位调节器控制，已知H=3m，管径d1=75mm，管长l1=16m，锥形管出口直径d2=50mm，管长l2=0.1m。水箱水面面积很大，若不计流动过程中的能量损失，试求A、B及C断面的压强水头各为多少？（注：A点位于管道进口，B点位于位于竖管l1中间，C点位于锥形管进口前）。例题4-1有一股水流从直径d2=25mm的喷嘴垂直向上射出。水管直径d1=100mm

，压力表M读数为29400N/m2。若水流经过喷嘴的能量损失为0.5m，且射流不裂碎分散。求喷嘴的射流量Q及水股最高能达到的高度h（不计水股在空气中的能量损失）。例题4-23.4.1恒定总流动量方程式的推导动量定理：某物体在运动过程中动量的增量等于所有外力冲量的矢量和。

动量改变：外力：重力和动水压力等。§3.4实际流体恒定总流动量方程p1111yxO45。动量定理主要用于解决水流与边界上作用力之间的关系，以及在未知水头损失时解决流体的受力情况。总流在原位置动量为M1-2

在新位置的动量为M1′-2′

则dM=M1′-2′－M1-2M1-2=M1-1′＋M1′-2

M1′-2′=M1′-2＋M2-2′11221′1′u1dtu2dtA2A1dA2dA1xOyzu1u22′2′则：dM=

M1′-2+M2-2′－(M1-1′+M1′-2

)=M2-2′－M1-1′11221′1′A2A1dA2dA1xOyzu1u22′2′对于分流和汇流的情况，动量方程同样适用。113322Q1Q3Q2分流112233Q1Q2Q3汇流3.6.2恒定总流动量方程的应用条件和技巧应用条件：①流体是恒定流，且不可压缩的。②选择控制体的两个断面，必须是均匀流或渐变流断面。（以满足过水断面上点流速u与平均流速方向近于一致的要求。）应用技巧：“两选一全”：①选投影轴，把流速和外力向投影轴投影，凡是与投影轴方向一致为正