第2章 信号的采样与重建

1第2章信号的采样与重建第1章中我们讨论了离散时间信号，然而工程和现实生活中大部分信号为模拟信号。如何对模拟信号进行数字处理？本章主要讨论模拟信号的采样与重建，并引出采样定理、奈奎斯特采样频率的概念；对用到的模拟低通滤波器的特性指标进行了分析；并介绍了欠采样和采样率转换技术。2.1数字信号处理系统的模拟接口

数字信号处理：用数字序列表示信号，通过数字计算机去处理这些序列。要对自然方式产生的模拟信号进行数字处理，则可按照以下方法进行。模拟信号数字化（A/D)数字信号处理处理后的数字信号模拟化（D/A）具体过程如图2.1所示。2图2.1数字信号处理系统的框图A/D变换器通用或专用计算机采样保持器D/A变换器平滑滤波器模拟信号模拟信号连续时间信号连续时间信号数字信号抗混叠滤波器模拟信号的采样与保持。所谓采样是从模拟信号中“抽取”信号的离散样值，最常用的采样方法是等间隔采样，即每隔一个固定的时间T采一个信号样值，T称为采样周期。采样保持器按照设定的采样周期对信号进行采样，并将采样得到的瞬时幅值保持至下一采样时刻。理想采样保持器输出的是一阶梯状的波形，阶梯前沿的幅值与此刻的模拟信号保持一致，阶梯的宽度就是采样周期T见图2.2。采样保持器输出的是连续时间信号。但实际应用中采样保持器总存在一定的偏差。3

A/D转换---量化：用二进制数码对应的电平替代采样电平值，图2.2中的小圆点处的幅度称为量化电平。A/D转换---数字化（编码）：将量化后的电平用二进制数码表示。

模拟信号的数字化工程上通常用A/D转换器来实现。由于A/D转换器采用有限的二进制位，所以表示的信号幅度也是有限的，若用b位二进制数码表示，则只能表示2b个电平（量化电平），所以量化电平和模拟信号相比存在一定的误差，误差的大小和A/D转换器的位数有关。A/D转换器将采样保持器的输出信号转换成数字信号，A/D转换器的转换时间应小于采样周期T。A/D转换后的信号是一串数字，不但在时间上进行了离散化，在幅度上也进行了量化，这种信号称为数字信号。4模拟信号数字化:采样、量化、编码。图2.2

模拟信号的数字化数字信号数码量化电平模拟信号采样保持信号量化电平0.380.630.810.890.900.870.750.610.360.240.145为了便于进一步讨论连续时间信号的采样与重建的基本条件，对图2.1进行一定的简化，见图2.4.理想采样器通用或专用计算机理想内插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)图2.4图2.1的简化表示数字/模拟转换与平滑滤波。工程上用D/A转换器实现从数字信号到模拟信号的转换。D/A转换器的输出信号类似与采样保持信号，是一阶梯状的连续时间信号。D/A转换器每得到一个数字就建立一个新的量化电平，并通过零阶保持在T时间段内保持此电平直至下一个数字到达，如此不断重复，形成一个阶梯状的连续时间信号。该信号与原模拟信号的频谱并不相同，只有通过平滑滤波器滤除高频分量，才能得到平滑的模拟信号。如图2.3所示。6数字信号转化成模拟信号数字信号数码量化电平D/A输出信号模拟信号图2.3数字信号转换为模拟信号：D/A转换、平滑滤波72.2模拟信号的采样与重建对于信号的采样与重建我们首先关心的是模拟信号经采样后是否能保持原有的信息；其次，由数字信号恢复模拟信号应该具备哪些条件？要清楚这些问题我们先来讨论采样的过程。对于等间隔采样，设其采样周期为T，则其采样频率为fs=1/T,对应的角频率为采样可以用图2.5(a)所示的电子开关来实现。T12图2.5(a)电子开关示意图开关每隔T秒短暂地闭合一次，若闭合时间为秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度，这种取样称为脉冲取样或自然取样。8这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以p(t)表示,见图2.5(b);调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为：图2.5(c)数学模型T图2.5(b)调制脉冲

一般τ很小,τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值（采样信号图形如图2.6(a)所示）。此过程可用图2.5(c)所示的数学模型表示。9若开关闭合时间τ→0时，p(t)则可认为是周期性的冲激函数，我们用M(t)表示这个周期冲激函数,见图2.5(d)。图2.5(d)M(t)这种采样可看作是对周期冲激函数的调幅过程，称之为冲激采样或理想采样。则采样后的输出信号为理想采样的时间波形图见图2.6(b)所示。10(a)脉冲采样(b)理想采样图2.6采样信号图形

11采样信号的频谱对于理想采样采样信号与连续时间信号有如下关系，对上式两边同时进行傅里叶变换得：其中：M(t)是周期为Ts的周期脉冲信号，因此，可将其展开成傅里叶级数：12其中：13

所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)，即采样信号的频谱是以s为周期的连续信号。图2.7频谱周期延拓若xa(t)是实带限信号，且：则采样信号的频谱如图2.7所示。1……1/Ts14若xa(t)是实带限信号，但则采样信号的频谱如图2.8所示，此时频谱产生了混叠。……图2.8频谱混叠通常，将采样频率的一半称为折叠频率，当信号的最高频率(Ωm)低于折叠频率时，采样信号的频谱不发生混叠，因此可将采样信号通过低通滤波器滤出基带频谱，恢复出原信号；而当信号的最高频率大于折叠频率时，信号就被反折回来，造成频谱的混叠，一般就不可能无失真地滤出基带频谱。115工程上为了防止频谱的混叠，在采样之前要加一抗混叠滤波器使得信号的最高频率小于采样频率的一半。教材p51表2.1列出了一些典型信号的上限频率和采样频率。一般将能够恢复出原始信号的最低采样频率（），称为奈奎斯特(Nyquist)采样频率。下面我们讨论从离散信号中恢复出连续时间信号的相关问题。16如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折叠频率:

则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有

将采样信号通过一个理想低通滤波器（特性如图2.9(a)所示滤波器的带宽等于c),则可恢复出原连续时间信号。理想低通滤波器17若低通滤波器的频率响应为:则采样信号通过滤波器后所得输出信号为：图2.9(a)

低通滤波器的系统特性当：……1/TSTS0cH(j)Ts-c18实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。下面从时域讨论采样信号通过理想低通滤波器H(j)的响应过程。采样信号经理想低通后的输出(如图2.9(b)所示）为:

h(t)图2.9(b)信号恢复的原理图理想低通H(j)的冲激响应为

19这里，如下式所示，称为内插函数,其特点是：在采样点nTs上，函数值为1，其余采样点上，值为零（见图2.10）。内插公式表明：连续函数可以由它的采样值来表示，它等于乘上对应的内插函数的总和，如图2.10所示。20图2.10采样内插恢复在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数为1，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义:

证明了只要满足采样频率高于信号最高频谱的两倍，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。21

例2.1

对一个模拟信号进行等间隔采样，采样频率为200Hz，得到离散时间信号。由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成,分析采样后信号的混叠效应。22由此可见，该采样信号只包含三个频率成分，产生了频谱混叠(由于采样频率200Hz小于信号包含的频率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的两倍，因此采样中这些频率均会产生折叠）；与频率为30Hz,50Hz,70Hz的三个连续时间正弦信号的加权和构成模拟信号按200Hz的采样频率进行等间隔采样产生的离散时间信号具有相同的形式。232.3*

采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性2.3.1滤波器的幅频特性一般说来，理想滤波器可分为四种，滤波器的幅频特性是分段函数，如图2.11(a)～(d)所示；01(a)01(b)01(c)01(d)图2.11四种类型的理想模拟滤波器24图2.12(e)低通滤波器的幅频特性10通带过渡带阻带但实际的滤波器其幅频特性并不是锐截止的通带和阻带两个范围，两者之间有一个过渡带，如图2.12(e)所示；在通带内幅度响应以误差逼近于1，在阻带内幅度响应以误差逼近于0.其中Ωc、Ωr分别称为通带边界频率和阻带边界频率,

25在具体技术指标中通常用通带波动δ和最小阻带衰减Аt来表示：通带内阻带内262.3.2抗混叠滤波器的指标特性根据采样定理，若模拟信号xa(t)是实带限信号，并且最高频率分量Ωc不超过Ωs/2，用Ωs的采样频率采样后的信号x(n)可以不失真的重建原有的连续信号。如果上述条件得不到满足，在采样过程中就会产生混叠，模拟信号xa(t)就不能被重建。对于这种情况，在实际应用中就在采样之前加一抗混叠滤波器首先对模拟信号进行滤波。理想模拟抗混叠滤波器应当满足：这是一个理想低通滤波器，实际应用中是无法实现的。通常是设计一低通滤波器逼近这个理想滤波器，在270101(a)(b)图2.13抗混叠滤波器的指标分配(a)过渡带无混叠(b)过渡带增加一倍28无论是那种模拟抗混叠滤波器方案，其过渡带宽均与采样频率直接相关。采样频率越低，为了降低对模拟抗混叠滤波器的指标要求，便于设计和实现抗混叠滤波器，可以采取的方法之一是提高采样频率。由图2.14可见，采样频率提高后抗混叠滤波器的过渡带加宽。00图2.14不同采样率情况下的抗混叠滤波器带宽变化情况29一个过渡带比较平稳的模拟滤波器用较少的元器件即可实现，通常设计时选择采样频率远大于信号最高频率的两倍。当然，采样频率选得越高，A/D转换器的性能要求也越高，采样数据量增加，系统的运算速率也必须提高，本书的第七章将讨论解决这一问题的方案---过采样技术。2.3.3平滑滤波器的指标特性由前面的讨论可知，D/A转换器包含一个零阶保持器，等效于图2.15(a)。D/A转换器每得到一个数字就建立一个新的电平，并通过零阶保持器在T时间段内保持此电平直至下一个数字到达，如此不断重复，形成一个阶梯状的连续时间信号。该信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，只有通过平滑滤波器滤除镜像高频分量，才能得到平滑的模拟信号。如图2.3所示。平滑滤波器的指标要求直接和零阶保持其相关。30(a)tT01(b)图2.15离散时间系统模型(a)零阶保持器模型(b)零阶保持器的冲激响应理想零阶保持器的冲激响应等效应一矩形脉冲，其宽度为T，高度为1，见图2.15(b)。正如前面所讨论的，D/A输入的数字y(n)的频谱是以采样角频率Ωs为周期的，在一个周期中是关于Ωs/2对称的。通过D/A转换后，我们只希望保留-Ωs/2至Ωs/2间的频率分量，滤除其他所有频率分量。零阶保持器能否做到这一点呢？31零阶保持器的频率响应为具有按指数规律衰减的特性，并且在0图2.16零阶保持器的频率响应尽管对于的频率分量，有一定的衰减，但衰减远不能满足要求，以上的频率分量仍需进一步滤除。4dB320图2.16零阶保持器的频率响应T4dB在实际应用中只需保留()以下的频率分量，滤除以上的频率分量可加一模拟低通滤波器；注意到在处有4dB的衰减，平滑滤波器应当逼近33对于上述模拟滤波器实现起来有以下两点困难，(1)带内为单调上升的模拟滤波器，(2)相位超前的非因果滤波器。对于这种频响特性滤波器采用数字滤波器实现会更加方便，这一实现方法在学习数字滤波器时再讨论。实际上只要选择的采样频率远大于2，平滑滤波器的频响特性便可写成也就是说，远小于时，零阶保持器的频率响应可近似地看作是平坦的，而相位超前半个采样周期的非因果的模拟系统是无法实现的。342.4*连续时间带通信号的采样在2.2节中，给出了用等间隔采样产生的离散时间信号表示模拟信号的基本条件，其条件是模拟信号的有效频率分量带限于直流和Ωs之间，采样频率，这样的模拟信号通常称为低通信号。然而，在很多应用中，模拟信号的有效频率分量是带现在一个更高的频率范围，其中。这样的信号被称为带通信号，通常有低通信号调制而成。为防止混叠，当然可以用高于最高频率的2倍的采样信号对这样的带通模拟信号进行采样，即。然而，这种情况下，由于模拟信号的频谱是带通的，大量的频率分量是零，采样所获得的离散时间信号的频谱同样在很宽的频带上其频率分量为零。此外，一般情况下的和均较高，采样频率就更高，甚至无法实现。35对于上述情况若降低采样频率，则采样后的带通信号的频谱会混叠，但由于带通信号的大量频率分量为零，如果仅仅与零频率分量的频带产生混叠，带通信号依然可以恢复重建。36根据采样定理可得欠采样信号的频谱为图2.17带通信号的欠采样M=4(b)欠采样信号的频谱(a)带通信号的频谱37从图中可以看出，经过一个理想的通带为，增益为T的带通滤波器，可恢复出。如果这个信号是低通信号调制而得，可以将经过一个通带为的低通滤波器恢复出调制信号分量。这种方法常用于数字无线电接收机中。如果不是的整数倍，可以人为地向左或向右扩展带宽，使得带通信号的最高频率是扩展带宽的整数倍。例如，把带宽向左扩展，并假设带通信号的最低频率为，选择使其满足是扩展带宽的整数倍。图2.18所示带宽向左扩展，并取。在这种情况下，的采样信号的频谱会在频段之间存在一定的间隙。同样通过一个适当的带通滤波器可以重建原模拟信号。38(a)扩展带宽后带通信号的频谱(b)采样信号的频谱图2.18扩展带宽后按M=3采样392.5离散信号的采样与插值2.5.1离散信号的采样——整数M抽取（Decimation)离散时间信号的采样实际上是一抽取过程，它使得采样率降低。这里仅仅考虑x(n)

的采样率降低整数M倍的抽取过程，即保留第M个样本点，而去除M个样本点中的M-1个样本点，见图2.19.x(n)0123415……n120345y(m)n图2.19M=3的离散信号抽取40设原有的离散信号x(n)的采样周期为T,经过M倍抽取后y(n)的采样周期为T′，满足4142式中，。是对信号x(n)抽取后DTFT的表达式，430(a)图2.20离散时间信号抽取前后的频谱特征0(b)0(c)0(d)44类似于模拟信号的采样，为了防止混叠，在采样之前必须采用抗混叠低通滤波器对信号x(n)进行滤波，滤波器的特性应当逼近

实际低通滤波器的频响特性表示为

，其单位脉冲响应为h(n),称为抽取滤波器。对滤波器输出以整数M倍作抽取得到y(m),这一过程示于图2.21(a)，图中“

”

表示整数M倍抽取，抽取滤波器的特性见图2.21(c),则可得图2.21(d)的输出结果。对滤波器输出再作抽取将不产生混叠，见图2.21(e)。45

h(n)x(n)

w(n)ff抽取滤波器抽取器y(m)(a)0(b)0(c)图2.21具有抽取滤波器的离散信号抽取过程及各部分信号的频谱0(e)0(d)462.5.2离散信号的插值——整数L倍内插对离散时间信号的最简单的插值方法是插零，首先讨论插零后信号频谱的变化。所谓插零，即对信号x(n)的两个采样点之间插入L-1个零。此时采样频率提高L倍，得到新的采样周期,即4