二次函数总复习初中数学讲课教案PPT

二次函数总复习初中数学讲课教案PPT一、图象与性质二次函数第二页，共81页。二次函数知识要点≠0ax2+bx+c21、二次函数的定义：形如“y=

（a、b、c为常数，a

）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次项为

次。

2、二次函数的解析式有三种形式：⑴一般式为

；⑵顶点式为

。其中，顶点坐标是（

），对称轴是

；⑶交点式为

。其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标。

y＝ax2＋bx＋cy＝a(x-h)2＋kh,kx＝h的直线y＝a(x－x1)(x－x2)第三页，共81页。3、图象的平移规律：正—上左，负—下右；位变形不变。对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：(1)、平移不改变a的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变a,k的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h的值。第四页，共81页。4、向上向下大第五页，共81页。5、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），⑴a决定图象的

。当a>0时，开口向

，当a<0时，开口向

。⑵c决定图象与

轴的交点的

坐标。若c=0，则抛物线过

点。若c>0或c<0呢？⑶a、b共同决定对称轴，当a、b同号，对称轴在y轴的

侧，当a、b异号呢？当b=0呢？二次函数知识要点开口方向上下左y纵原－第六页，共81页。

1、二次函数y=x2-8x+12图象的开口向

,

对称轴是

，顶点坐标为

。小练习：直线x=4(4,－４）上2、二次函数y=-3(x-1)２＋5的图象开口向

，对称轴是

，当x=

时函数有最

值为

。当x

时，y随x的增大而增大。下直线x=1＜11大5第七页，共81页。4、函数

的顶点坐标是

，对称轴

。

3、抛物线向上平移2个单位，向左平移3个单位，所得解析式是

。开口方向

，

当x

时，y随x的增大而增大当x

时，y随x的增大而减小当x

时，y有最大值或最小最，最大或最小值是

。抛物线与x轴交点坐标为

，抛物线与y轴的交点坐标为

。第八页，共81页。ACxyoACxyoBB5、根据下列图象确定二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号。(1)a＞0;b＞0;c＜0(2)a＜0;b﹥0;c﹥0第九页，共81页。例题(3)当x>0时，y随x的增大而减小.xOy第十页，共81页。例2：已知二次函数y=x2-x+c。

⑴求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；⑵c取何值时，顶点在x轴上？⑶若此函数的图象过原点，求此函数的解析式，并判断x取何值时y随x的增大而减小。例题第十一页，共81页。解：⑴∵函数y＝X2－X＋C中，a＝1﹥0，∴此抛物线的开口向上。根据顶点的坐标公式x＝－时，y＝

∴顶点坐标是（，）。对称轴是x＝。第十二页，共81页。例题(1)直线

x=2，（2，-9）(2)A（－1，0）B（5，0）C（0，－5）(3)27例4

已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点.（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求出A、B、C的坐标；（3）求△DAB的面积.xOyABCD第十三页，共81页。解析式点的坐标线段长面积例题解答第十四页，共81页。例题例4已知抛物线与x轴交于点A（－1,0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S△ABC为8.（1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，直线CD交x轴于E.则x轴上的抛物线上是否存在点P，使S△PBE=15？yAEOBCDx面积

线段长

点的坐标

解析式第十五页，共81页。第十六页，共81页。第十七页，共81页。1、抛物线如图所示，试确定下列各式的符号：xOy-11a______0(2)

b______0(3)

c______0(4)a+b+c___0(5)a－b+c___0<>>><练习第十八页，共81页。2、抛物线和直线可以在同一直角坐标系中的是（）xOyAxOyBxOyCxOyDA练习第十九页，共81页。3、

已知抛物线y=2x2+2x－4，

则它的对称轴为__________，顶点为

_______，与x轴的两交点坐标为

__________，

与y轴的交点坐标为________。

（0,－4）第二十页，共81页。练习4、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1），M（2，-3）两点。⑴若抛物线的对称轴是直线x=-1，求此抛物线的解析式。⑵若抛物线的对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围。第二十一页，共81页。归纳小结：抛物线的对称轴、顶点最值的求法：

二次函数抛物线与x轴、y轴的交点求法：二次函数图象的画法（五点法）（1）配方法；（2）公式法对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：(1)、平移不改变a的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变a,k的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h的值。第二十二页，共81页。课后练习：1．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A.y=x2+2x－2B.y=x2+2x+1C.y=x2－2x－1D.y=x2－2x+12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc的图象不经过（）

A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第二十三页，共81页。课后练习：3、已知以x为自变量的二次函数y=(m－2)x2+m2－m－2的图象经过原点，则m=

，当x

时y随x增大而减小.

4、函数y=2x2－7x+3顶点坐标为

.

5、抛物线y=x2+bx+c的顶点为（2，3），则b=

，c=

.

6、如果抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=—2，且开口方向，形状与抛物线y=—x2相同，且过原点，那么a=

，b=

，c=

.

第二十四页，共81页。7．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?

yxABO-145C课后练习：第二十五页，共81页。8、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式。课后练习：第二十六页，共81页。二、抛物线与坐标轴的交点情况二次函数第二十七页，共81页。二次函数知识要点6、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），Δ=b2-4ac。当Δ>0时,抛物线与x轴有

个交点，这两个交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当Δ=0时,抛物线与x轴有

个交点。这时方程ax2+bx+c=0有两个

的根。当Δ<0时，抛物线与x轴

交点。这时方程ax2+bx+c=0根的情况

。两一无没有实数根相等第二十八页，共81页。1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为

.练一练2、直线y=－3x+2与抛物线y=x2－x+3的交点有

个，交点坐标为

。

3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b=

。

4一(-1,5)4或-4第二十九页，共81页。4．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴（）A、没有交点B、只有一个交点C、只有两个交点D、至少有一个交点练一练D第三十页，共81页。5、已知二次函数

y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A、k≥B、k≥C、k＞D、k＞B二次函数练一练第三十一页，共81页。例题1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达);(3)a取何值时,两点间的距离最小?

第三十二页，共81页。例题2、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且x1﹤0﹤x2,OA=OB，求m的值。

第三十三页，共81页。3、已知抛物线y＝ax2＋(b－1)x＋2.（1）若抛物线经过点（1,4）、（－1,－2）,求此抛物线的解析式;(2)若此抛物线与直线y＝x有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称.①求b的值;②请在横线上填上一个符合条件的a的值：a＝

,并在此条件下画出该函数的图象.

例题第三十四页，共81页。例题4、巳知：抛物线(1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)；(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；(3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点：当⊿AＢＰ是直角三角形时，求b的值；

第三十五页，共81页。练习：1、抛物线y=x2-（2m-1）x-6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移

个单位。

2、抛物线y=x2+x+c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x12+x22=3，那么c值为

，抛物线的对称轴为

．3、一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出一个满足条件的抛物线的函数关系式

．

第三十六页，共81页。4、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示．（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，若OA·OB=6，求C点坐标；

XyABCO第三十七页，共81页。练习：5、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1﹤x2），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当x﹥x2时，y＞0；③方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1﹤-1，x2﹥-1；，其中所有正确的结论是

（只需填写序号）．

第三十八页，共81页。归纳小结：二次函数抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点A、B的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。

抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况：△＞0抛物线与x轴有两个交点；△＝0抛物线与x轴有一个交点△＜0抛物线与x轴无交点第三十九页，共81页。1．若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方，则必有（）A、a﹥0,b2-4ac﹥0;B、a﹥0,b2-4ac﹤0;C、a﹤0,b2-4ac﹤0D、a﹤0,

b2-4ac﹥0.课后练习：2、已知抛物线=x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（）（A）有两个正根（B）有两个负数根（C）有一正根和一个负根（D）无实数根。

第四十页，共81页。课后练习：4、设是抛物线与X轴的交点的横坐标，求的值。5、二次函数的图象与X轴交于A、B两点，交Y轴于点C，顶点为D，则S△ABC=

,S△ABD=

。3、已知抛物线与x轴的两个交点间的距离等于4,那么a=

。

第四十一页，共81页。6、已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值

课后练习：第四十二页，共81页。7、已知抛物线交，交y轴的正半轴于C点，且。

（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线。如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由

课后练习：第四十三页，共81页。二次函数三、解析式的确定第四十四页，共81页。回顾1、已知函数类型，求函数解析式的基本方法是：

。2、二次函数的表达式有三种：（1）一般式：

；（2）顶点式：

；（3）交点式：

。待定系数法Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)第四十五页，共81页。例1.

选择最优解法，求下列二次函数解析式已知二次函数的图象过点(－1,－6)、(1，－2)和(2，3)．已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，－8)．已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(1，0)并经过点M(0，1)．1）设二次函数的解析式为2）设二次函数的解析式为3）设二次函数的解析式为解题策略：第四十六页，共81页。例2、已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．第四十七页，共81页。例3、已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C（0，2），如图。（1）请说明abc是正数还是负数。（2）若∠OCA=∠CBO，求此抛物线的解析式。ABOC第四十八页，共81页。议一议想一想例4、已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。

(1)求抛物线C2的解析式；C2的解析式为：

y＝－(x－1)2＋1＋m

＝－x2＋2x＋m.yxOC1C2（－1,1＋m）（1,1＋m）第四十九页，共81页。议一议想一想例4已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；由抛物线C1与x轴有两个交点，

得△1＞0，

即(－2)2－4×（－1）m＞0，

得m＞－1

由抛物线C2与x轴有两个交点，

得△2＞0，

即(－2)2－4×（－1）m＞0，

得m＞－1yxO当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)，

因此m≠0

综上所述m＞－1且m≠0。第五十页，共81页。议一议想一想例4已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；

(3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B（点A在点B的左侧），

抛物线C2与x轴的两交点为C、D（点C在点D的左侧）,

请你猜想AC＋BD的值，并验证你的结论。解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0)yxOABCD则AC＋BD＝x3－x1＋x4－x2

＝(x3＋x4)－(x1＋x2)，于是AC＝x3－x1，BD＝x4－x2，∵x1＋x2＝－2，x3＋x4＝2，∴AC＋BD＝4。第五十一页，共81页。有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．议一议第五十二页，共81页。例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．第五十三页，共81页。1、已知二次函数的图象经过点（1，0），（0，-2），（2，3）。求解析式。2、二次函数当x=3时，y有最大值-1，且图象过（0，-3）点，求此二次函数解析式。3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离等于2，且图象经过点（4，3）。求这个二次函数解析式。

练习第五十四页，共81页。练习4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,如图所示,AC=,BC=，∠ACB=90°,求二次函数图象的关系式.

第五十五页，共81页。5、如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为多少m？（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）.xy第五十六页，共81页。归纳小结：1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：（1）根据条件设出合理的表达式；（2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数的值；（3）写出函数解析式。2、二次函数的三种表达式：（1）一般式：

；（2）顶点式：

；（3）交点式：

。Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)第五十七页，共81页。课后训练：1、求出下列对应的二次函数的关系式（1）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1，4）和（5，0）（2）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．

第五十八页，共81页。课后训练：4．抛物线y=x2+2mx+n过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，求此二次函数的关系式。3．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．

第五十九页，共81页。5、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0)，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°,求：(1)直线AB的解析式；(2)抛物线的解析式。

课后训练：第六十页，共81页。6、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式.课后训练：第六十一页，共81页。7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(－8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C.(1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；(3)判定(2)中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由.ABC0·Pyx课后训练：第六十二页，共81页。四、二次函数的应用二次函数第六十三页，共81页。某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币.经论证：上述数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？

引例第六十四页，共81页。函数应用题的解题模型实际问题分析、抽象、转化解答数学问题数学模型二次函数第六十五页，共81页。例1、如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为30米。

（1）如图，设长方形的一条边长为x米，则另一条边长为多少米？

（2）设长方形的面积为y平方米，写出y与x之间的关系式。

（3）若要使长方形的面积为72平方米，x应取多少米？x第六十六页，共81页。例2、国家对某种产品的税收标准原定每销售１００元需缴税８元（即税率为８％），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品ｍ吨，每吨２０００元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每１００元缴税（８－ｘ）元（即税率为（８－ｘ）％），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加２ｘ％。(1)写出调整后税款ｙ（元）与ｘ的函数关系式，指出ｘ的取值范围；(2)要使调整后税款等于原计划税款（销售ｍ吨，税率为８％）的７８％，求ｘ的值．

第六十七页，共81页。某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）A、4元或6元B、4元C、6元D、8元练习1第六十八页，共81页。某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利为多少？练习2第六十九页，共81页。xyo（1）求拱顶离桥面的高度。（2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。AB例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的解析式为y＝－x2－1。第七十页，共81页。例4.

改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流最高点C比喷头高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A点的距离是多少米。AyBOCFDEx作CF⊥AD于F，作BE⊥CF于E，连结BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5，∴B(0,1.5)，C(2,3.5).设所求抛物线的解析式为：y=a(x－2)2+3.5当x=0时，y=1.5，即a(0－2)2+3.5=1.5，(舍)，二次函数第七十一页，共81页。某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，求水流落地点B离墙的距离OB是多少米？OxyABM顶点坐标（1，）过点（0，10）解析式：令y=0,x=-1,x=3OB=3米∴练习3第七十二页，共81页。OyABx某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为5米，同时，运动员在距水面5米以前，必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并能过计算说明理由？

10m3m跳台支柱练习4第七十三页，共81页。某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息（如甲乙两图）。其中生产成本六月份最低。甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线。5336售价3416成本月份月份练习5第七十四页，共81页。请根据图象提供的信息说明解决下列问题：

（1）在三月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？

（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？最大收益是多少？3416成本月份月份5336售价第七十五页，共81页。B例5、如图，在矩形ABCD的边上，截取AH=AG=CE=CF=x，已知：AB=8，BC=6。求：（1）四边