【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第12知识块第2讲综合法、分析法、反证法课件 北师大版

【考纲下载】1. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.第2讲综合法、分析法、反证法(1)作差比较法：a－b>0⇔a>b；

a－b<0⇔a<b.(2)作商比较法：若b>0，则a>b⇔>1；提示：比较法是证明不等式最基本的方法，也是最重要的方法，无论是作差还是作商，变形都是证明的关键．1．比较法分析法是从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的

条件，直至所寻求的

条件显然成立或由已知证明其成立，从而确定所证不等式成立的一种方法，它体现了

的思想方法．提示：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此，在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连结“关键词”．充分充分执果索因2．分析法综合法是由题设与不等式的性质、定理相结合，运用不等式的变换，从已知条件推出所证不等式的方法．综合法的证明过程是

的思想方法．提示：综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即用分析法分析，用综合法书写．由因导果3．综合法假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾4．反证法解析：不等式两边平方、开方，要保证不等式两边大于0.答案：C2． 设0<b<a<1，则下列不等式中成立的是

(

)

A．a2<ab<1 B． C．ab<b2<1 D．2b<2a<2 解析：y＝2x是单调增函数，而0<b<a<1，

∴1<2b<2a<2，故D正确． 答案：D3．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy， 则M与N的大小关系是(

)A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定 解析：2M－2N＝2(x2＋y2)＋2－2(x＋y＋xy) ＝(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2≥0 ∴M≥N. 答案：A4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________． 解析：由命题的否定可得． 答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择适当的已知不等式作为依据．在证明时，常要用到以下证题依据：(1)若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，(a－b)2≥0；(2)若a，b同号，则(3)若a，b∈(0，＋∞)，则a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.【例1】

设a>0，b>0，c>0，证明：

≥a＋b＋c.

思维点拨：本题因为有三项分式，不主张用分析法． 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从去分母的角度去运用基本不等式证明：∵a，b，c>0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，

＋a≥2c.三式相加：

＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．即

≥a＋b＋c.证明：∵a2＋b2＋c2－2(a＋b＋c)＋3＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．∴原不等式成立.变式1：已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)－3.立体几何中的很多证明过程都要采用综合法，证明过程中，要步步为营，环环相扣，不可主观臆造，因果不成立，从而导致错误．【例2】

如右图所示，设四面体P—ABC中，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC， D是

AC的中点． 求证：PD垂直于△ABC所在的平面．思维点拨：根据线面垂直的判定定理，要证明PD⊥平面ABC，在平面ABC内寻找到相交直线，分别与PD垂直即可．证明：连结PD，BD.∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DA＝DB＝DC.又PA＝PB＝PC，而PD为△PAD、△PBD、△PCD的公共边，∴△PAD≌△PBD≌△PCD.于是∠PDA＝∠PDB＝∠PDC，而∠PDA＝∠PDC＝90°，∴∠PDB＝90°.可见PD⊥AC，PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.变式2：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点． 求证：(1)平面AD1E∥平面BGF； (2)D1E⊥平面AEC.证明：(1)∵E，F分别是棱BB1，DD1的中点，∴BE∥D1F且BE＝D1F，∴四边形BED1F为平行四边形，∴D1E∥BF，又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1，又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E，又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)∵AA1＝2，∴AD1＝同理AE＝∴AD12

＝D1E2＋AE2，∴D1E⊥AE.∵AC⊥BD，AC⊥D1D，BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，又D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E，又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.当要证明的不等式比较复杂，两端差异难以消去或者已知条件信息太少，已知与待证之间的联系不明显时，一般可采用分析法．即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．变式3：若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：证明：∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.只要证：b2－ac＜3a2，只要证：(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0成立，故原不等式成立.反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的．【例4】

若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：

中 至少有一个成立．

思维点拨：本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明．证明：假设 <2都不成立，则有

≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相矛盾，因此

<2中至少有一个成立.【方法规律】1．综合法证明不等式时，主要利用重要不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的演绎推理下推导出结论．综合法是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以实际证明问题时，往往用分析法分析，用综合法书写，用综合法证明不等式，要掌握拆项、配对等技巧．2．分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量，克服思维定势的消极影响，有利于发展求异思维．使用分析法证明不等式时，注意叙述格式．3．应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步:分清命题“p→q”

的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真， 于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真．第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.(12分)设a＋b>0，n为偶数，求证：【阅卷实录】【教师点评】【规范解答】…………4分(1)当a>0，b>0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n>0…………8分(2)当a，b中有一个负值时，不妨设a>0，b<0