圆周角第一课时

圆周角

一.复习引入:1.圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。答:顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？oABC考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

√辨别是非如图所示的角，哪些是圆周角√判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？

oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9

如图：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角有何特点?它们的大小有什么关系?.BACBACBACBACBAC●OBACBACDEDE探究如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB

）和同学乙的视角相同吗？探究类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？

为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?圆周角和圆心角的关系在⊙O任取一个圆周角∠BCA，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BCA的顶点C。由于点C的位置的取法可能不同，这时有三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，如图（1）（2）折痕在圆周角的内部，如图（2）

（3）折痕在圆周角的外部．如图（3）

如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同学交流.●OABC●OABC●OABC圆周角和圆心角的关系1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.根据以上证明你能得到什么结论？

2.考虑第二种情况当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.根据以上证明你又能得到什么结论？ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系3.考虑第二种情况当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●OD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,ABC∴∠ABC=∠AOC.根据以上证明你又能得到什么结论？综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.结论：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．相等的圆周角所对的弧也相等。圆周角定理思考如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，∠ACB会是怎样的角？OCBA90°的圆周角所对的弦是什么?

半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．推论试找出下图中所有相等的圆周角。

练习

1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）°和（5x—30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。

2、如图，∠A是圆O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。

87654321EHFG如果∠A=44°,则∠BOC=____.如果∠BOC=44°,则∠A=____.如果∠A=35°,则∠BDC=____.OABCDLIAN练习xi如图，点E、F、G、H在圆上，你会找出几对相等的圆周角？例.如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ABC=∠BAC．CBOA例题讲解例.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．解：有题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∴∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°.BACO例题讲解例.如图⊙o的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙o与D,求BC,AD,BD的长.ACBDO思考与巩固1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC3、在圆中，一条弧所对的圆心角和

圆周角分别为（2x+100）°和

(5x—30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。

4、如图，∠A是圆O的圆周角,∠A=40°，求∠OBC的度数。

OCBA

在⊙o中,圆心角∠AOB=56°,则弦AB所对的圆周角等于多少?即:在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等或互补

在⊙o中,圆心角∠AOB=56°,则弧AB所对的圆周角等于多少?2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB