2022衡水中学地理内部学习资料专题07 点差法（新高考地区专用）（解析版）

专题07点差法技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲点差法适用范围中点弦圆锥曲线有三点P、A、B且A、B关于原点对称2.点差法在中点弦中推导过程3点差法在对称中的推导过程4.点差法在圆锥曲线中的结论总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程例题举证例题举证技巧1点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（）A． B． C． D．(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）A． B． C． D．（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（）A． B． C． D．（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D（3）B（4）B【解析】（1）设把代入得，，因为中点的横坐标为，所以，解得.故选:C（2）设，则，两式相减并化简得，即,由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.故选：D.（3）设，，的中点，则，.因为，两点在椭圆上，所以，.两式相减得：，，，，即，解得.故选：B（4）设，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，两式子相减得到，，结合，，，且，代入上面式子得到，，故选：B.【举一反三】1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以.故选：C2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，所以，相减得，∴，即，又∵，，所以，即，解得，又，∴．即椭圆的方程为.故选：A．3．（2020·全国高三专题练习）椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，由题知：，.设线段中点为，则.将代入得到.因为，故.故选：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆于两点，线段的中点为为坐标原点，若直线的斜率为，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，两式相减，得．两点直线的倾斜角为，，即，①直线的斜率为②由①②可得得．故选：B．5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令AB的中点为M，坐标为，则，因为A、B两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x轴，所以则故选：B技巧2点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为（）A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于，两点.若是的中点，则直线的斜率为（）A．2 B．4 C．6 D．8（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线:与双曲线:(,)交于,两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为()A． B．2 C． D．（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A． B． C． D．【答案】（1）C（2）C（3）D（4）B【解析】（1）依题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，所以＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝，即2x＋8y＋7＝0.故选：C．（2）由题,双曲线中,又焦点到渐近线的距离,且,解得.故双曲线.设则,两式相减得.又中点,故.故选：C（3）设点是弦的中点根据中点坐标公式可得:,两点在直线:根据两点斜率公式可得:两点在双曲线上,即解得:故选:D.（4）∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.【举一反三】1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线的一条弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设弦的两端点，，，，斜率为，则，，两式相减得，即，弦所在的直线方程，即．故选C2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0【答案】B【解析】设直线方程为，联立，消去y，得，设，因为线段AB的中点为，所以，解得，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选B.3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设代入双曲线方程作差有:，有，所以，故选：B．4．（2020·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（）A．2 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，①.②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故选：D5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，两式做差得整理得，而，，，代入有，即可得．故选：A.技巧3点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A． B．C． D．（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（）A． B．1 C．2 D．4【答案】（1）A（2）C【解析】（1）设过点的直线交抛物线于、两点.若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，由于点、在抛物线上，可得，两式作差得，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：A.（2）设直线方程为，联立得，设，则，因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.故选：C.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，两式相减得，即，当时，，因为点是的中点，所以，，解得：故选：A2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线与抛物线交于、两点，直线的斜率为，线段的中点的横坐标为，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设、\，则，，两式相减得，所以，解得，得，所以，得直线，联立，得，，由韦达定理得，，所以，故选：B.技巧强化技巧强化1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则=2，=－2，，①，②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选：D．2．（2020·全国高三专题练习）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为A． B． C． D．【答案】A【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．则，，两式相减得，又，，，代入解得．故选：．3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线(为坐标原点)的斜率为，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设A，，则，A，代入椭圆方程得：，两式相减可得：，化简可得：，即：，故选：B4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，所以不妨设为.设，，，，，，，两式作差得，则，，同理可得，所以，故选：．5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为，联立得，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为.故选：C6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以线段MN的中点为P，.由题意知，kOP＝，所以．故选：A.7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】设、，则，，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，设，则①②由①②得则因为是弦的中点，因为直线的斜率为1即所以，则，故选：D9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.直线:的斜率为，故.因为两点在双曲线上，所以，两式相减并化简得，所以，所以.故选：D10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A，B为双曲线1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若kAB•kOM，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】设，，则＝，＝，

由可得．∴，

即，则双曲线的离心率为．故选：D．11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）代入双曲线C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0设此方程两实根为，，则又P（4，2）为AB的中点，所以8，解得k＝1当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10|AB|||•4．故选D．12．（2020·全国高三专题练习）已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点R(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5，则直线l的斜率为（）A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】由于R(2，1)为AB中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB).根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=2×2+p=5，解得p=1，抛物线方程为y2=2x.，两式相减并化简得，即直线l的斜率为1.故选：B13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线与抛物线交于，两点，若线段中点横坐标为2，则直线的斜率（）.A．2 B． C． D．或2【答案】A【解析】联立直线与抛物线，消整理可得，设，，由题意，解可得，解可得或，综上可知，.故选：A14．（2020·全国高三月考（理））已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为关于轴对称，所以纵坐标为，横坐标为1，代入，可得.设点，.则则，，又关于直线对称.，即，，又的中点一定在直线上，.线段的中点坐标为.故选:A.15．（2020·全国高三月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，若抛物线上存在关于直线对称的不同两点和，则线段的中点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为，则，所以．设点，．则，则，，又，关于直线对称．，即，，又的中点一定在直线上，．线段的中点坐标为．故选：A.16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】直线l过抛物线的焦点,交抛物线C于A、B两点则其焦点坐标为,准线方程为过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于,交轴于,如下图所示:设由抛物线定义可知,由,可知因为为的中点,由梯形的中位线性质可知则即M的横坐标是故选:C17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设,由题得，所以，故选：A18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.【答案】【解析】解：设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是，即，故所求直线的方程为，即．故答案为：19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程.【答案】【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，，设、则有：，，两式作差得：，又的斜率是，∴，代入得，，，∴双曲线标准方程是.20．（2020·全国高三专题练习）直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________.【答案】【解析】设，中点，则满足，两式相减得，整理得，即，即，.故答案为：.21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】设，，代入椭圆方程得，，两式作差得，整理得，因为，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为、、且均不为0，O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为2，则___________．【答案】【解析】由椭圆：的离心率为，设，则椭圆的标准方程为：设因为边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，故，由在椭圆上，则，两式相减化简得：，所以即：同理得：，所以又因为故答案为：23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．【答案】【解析】联立直线与抛物线，得，则，又，故，.故答案为：.24．（2020·全国高三月考）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为______.【答案】【解析】设，，则，，①，②，由①－②得，即所以，又，所以，即，又，