实验设计与数据分析方差分析

实验设计与数据分析方差分析第一页，共六十页，2022年，8月28日2023/2/3第二章正交试验设计的方差分析一、试验设计的基本原则二、正交试验的方差分析三、重复试验的方差分析四、误差分析与试验水平第二页，共六十页，2022年，8月28日一、实验设计的基本原则随机化原则：每个处理以概率均等的原则，随机地选择实验单元。重复原则：独立重复实验、重复测量对照原则：空白、安慰剂、实验条件、标准、历史或中外对照。区组原则：人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为区组（block）。（3,4合称为局部控制原则）第三页，共六十页，2022年，8月28日方差分析（analysisofvariance，简称ANOVA）检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性试验指标（experimentalindex）衡量或考核试验效果的参数

因素（experimentalfactor）影响试验指标的条件

可控因素（controllablefactor）水平（leveloffactor）因素的不同状态或内容

第四页，共六十页，2022年，8月28日方差分析的必要性

极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，可采用方差分析的方法。

方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法。所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解，然后进行统计检验的一种数学方法。第五页，共六十页，2022年，8月28日方差分析法的基本思路：（1）由数据中的总偏差平方和中分出组内偏差平方和、组间偏差平方和，并赋予它们的数量表示；（2）用组间偏差平方和与组内偏差平方和在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间偏差平方和比组内偏差平方和大得多，说明因素水平的变化影响很大，不可忽视；（3）构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。正交试验结果的方差分析思想、步骤！！第六页，共六十页，2022年，8月28日总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和（1）偏差平方和分解：（2）自由度分解：（3）方差：第七页，共六十页，2022年，8月28日（4）构造F统计量：（5）列方差分析表，作F检验若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。第八页，共六十页，2022年，8月28日（6）正交试验方差分析说明由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因（MS交）<2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。第九页，共六十页，2022年，8月28日表1L9(34)正交表处理号第1列（A）第2列第3列第4列试验结果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。因素A第1水平3次重复测定值因素A第2水平3次重复测定值因素A第3水平3次重复测定值因素重复1重复2重复3A1y1y2y3A2y4y5y6A3y7y8y9单因素试验数据资料格式和y1+y2+y3K1y4+y5+y6K2y7+y8+y9K3第十页，共六十页，2022年，8月28日2.1单因素试验的方差分析

（one-way

analysis

of

variance）2.1.1单因素试验方差分析基本问题（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性（2）基本命题：设某单因素A有r种水平：A1，A2，…，Ar，在每种水平下的试验结果服从正态分布在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验判断因素A对试验结果是否有显著影响

第十一页，共六十页，2022年，8月28日（3）单因素试验数据表试验次数A1A2…Ai…Ar1x11x21…xi1…xr12x12x22…xi2…xr2…………………jx1jx2j…xij…xrj…………………nix1n1x2n2…xini…xrnr第十二页，共六十页，2022年，8月28日2.1.2单因素试验方差分析基本步骤（1）计算平均值组内平均值：

总平均：第十三页，共六十页，2022年，8月28日（2）计算偏差平方和①总偏差平方和SST（sumofsquaresfortotal）

表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和反映了试验结果之间存在的总差异②组间偏差平方和SSA（sumofsquareforfactorA）

反映了各组内平均值之间的差异程度由于因素A不同水平的不同作用造成的第十四页，共六十页，2022年，8月28日③组内偏差平方和SSe（sumofsquareforerror）反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度由于随机误差的作用产生三种偏差平方和之间关系：第十五页，共六十页，2022年，8月28日（3）计算自由度（degreeoffreedom）总自由度：dfT＝n－1组间自由度：dfA

＝r－1组内自由度：dfe

＝n－r

三者关系：dfT＝dfA＋dfe（4）计算平均平方均方＝偏差平方和除以对应的自由度MSA——组间均方MSe——组内均方/误差的均方第十六页，共六十页，2022年，8月28日（5）F检验服从自由度为（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）对于给定的显著性水平，从F分布表查得临界值F(dfA，dfe)

如果FA

＞F(dfA，dfe)

，则认为因素A对试验结果有显著影响否则认为因素A对试验结果没有显著影响第十七页，共六十页，2022年，8月28日（6）方差分析表若FA

＞F0.01(dfA，dfe)

，称因素A对试验结果有非常显著的影响，用“**”号表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA

＜F0.01(dfA，dfe)

，则因素A对试验结果有显著的影响，用“*”号表示；若FA

＜F0.05(dfA，dfe)

，则因素A对试验结果的影响不显著单因素试验的方差分析表差异源SSdfMSF显著性组间（因素A）SSAr－1MSA＝SSA／（r－1）MSA／MSe组内（误差）SSen－rMSe＝SSe／（n－r）总和SSTn－1第十八页，共六十页，2022年，8月28日2.1.3Excel在单因素试验方差分析中的应用利用Excel“分析工具库”中的“单因素方差分析”工具

小结：

根据偏差平方和的加和性，总偏差平方和可以分解成为组间偏差平方和与组内偏差平方和，前者反映了因素对试验结果的影响，后者反映了误差对试验结果的影响。根据数学原理对组间偏差平方和与组内偏差平方和进行合理的比较，就能分析出因素对试验结果的影响程度、性质。若F0.05(dfA，dfe)＜FA

＜F0.01(dfA，dfe)，由于F0.05(dfA，dfe)＜FA出现的概率只有5％，是一个小概率事件，当其出现时，说明试验条件的改变对试验结果有显著性影响。若FA

＞F0.01(dfA，dfe)，由于若FA

＞F0.01(dfA，dfe)出现的概率只有1％，是一个更小概率事件，当其出现时，当然更说明试验条件的改变对试验结果有高度显著性影响。第十九页，共六十页，2022年，8月28日2.2双因素试验的方差分析讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称“二元方差分析”2.2.1双因素无重复试验的方差分析（1）双因素无重复试验B1B2…BsA1x11x12…x1sA2x21x22…x2s……………Arxr1xr2…xrs第二十页，共六十页，2022年，8月28日（2）双因素无重复试验方差分析的基本步骤①计算平均值总平均：Ai水平时：Bj水平时：第二十一页，共六十页，2022年，8月28日②计算偏差平方和总偏差平方和：因素A引起偏差的平方和：因素B引起偏差的平方和：误差平方和：第二十二页，共六十页，2022年，8月28日③计算自由度SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe④计算均方

第二十三页，共六十页，2022年，8月28日⑤F检验FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；对于给定的显著性水平，查F分布表：

F（dfA,dfe)，F（dfB,dfe)若FA＞F

（dfA,dfe)，则因素A对试验结果有显著影响，否则无显著影响；若FB＞F

（dfB,dfe)，则因素B对试验结果有显著影响，否则无显著影响；第二十四页，共六十页，2022年，8月28日差异源SSdfMSF显著性因素ASSAr－1因素BSSBs－1误差SSe总和SSTrs－1⑥无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表第二十五页，共六十页，2022年，8月28日因素B1B2…BsA1…A2………………Ar…2.2.2双因素重复试验的方差分析（1）双因素重复试验方差分析试验表双因素重复试验方差分析试验表第二十六页，共六十页，2022年，8月28日（2）双因素重复试验方差分析的基本步骤①计算平均值总平均：任一组合水平（Ai，Bj）上：Ai水平时：Bj水平时：第二十七页，共六十页，2022年，8月28日②计算偏差平方和总偏差平方和：因素A引起偏差的平方和：因素B引起偏差的平方和：交互作用A×B引起偏差的平方和：误差平方和：第二十八页，共六十页，2022年，8月28日③计算自由度SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B

＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe第二十九页，共六十页，2022年，8月28日④计算均方第三十页，共六十页，2022年，8月28日⑤F检验对有重复试验的双因素试验结果用F检验法进行分析时，首先必须计算各个因素及两个因素之间的交互作用所对应的F值。须注意的是，在F值的计算中，不同的模型所对应的F值的计算方法不一样。模型根据两个因素是随机因素还是固定因素决定。当两个因素都是固定因素时，模型是固定模型；当两个因素都是随机因素时，模型是随机模型；当两个因素中只有一个因素为随机因素时，模型为混合模型。固定因素的水平是完全可以控制的，如温度、压力、浓度等，这时候对试验结果所带来的影响也是固定的，故称为固定效应。随机因素是指其试验水平可由许多可能的水平中随机抽取。第三十一页，共六十页，2022年，8月28日例如：某试验室有10人和10台同样型号的仪器，现需考察人员和仪器这两个因素对测试结果的影响，因此随机从10人中抽取3人，随机从10台仪器中抽取3台，构成了双因素三水平试验，很显然，这两个因素都是随机因素。固定因素所考察的因素水平，也是该因素的全部水平，由试验所得到的结论只是针对所试验过的因素水平而言的，而不能由已有水平的试验结果从统计上去推断该因素未经试验的其他水平的效应。应该指出的是，不能根据已有的试验结果从统计上去进行推断，这并不妨碍人们从专业的角度去做某些推断。随机因素由于所考察的水平是随机抽取的，因而由试验结果所得到的绍论都是被抽样总体的结论，可以由已试验过的样本效应从统计上去推导未经试验的其他样本的效应。第三十二页，共六十页，2022年，8月28日⑤F检验若FA＞F

（dfA,dfe)，则认为因素A对试验结果有显著影响，否则无显著影响；若FB＞F

（dfB,dfe)，则认为因素B对试验结果有显著影响，否则无显著影响；若FA×B＞F

（dfA×B,dfe)，则认为交互作用A×B对试验结果有显著影响，否则无显著影响。第三十三页，共六十页，2022年，8月28日⑥重复试验双因素方差分析表第三十四页，共六十页，2022年，8月28日2.2.3Excel在双因素方差分析中的应用（1）双因素无重复试验方差分析利用“分析工具库”中的“无重复双因素方差分析”工具（2）双因素重复试验方差分析利用“分析工具库”中的“重复双因素方差分析”工具第三十五页，共六十页，2022年，8月28日2.3正交试验设计结果的

方差分析法

能估计误差的大小能精确地估计各因素的试验结果影响的重要程度第三十六页，共六十页，2022年，8月28日2.3.1方差分析的基本步骤与格式

设：用正交表Ln(rm)来安排试验试验结果为yi（i=1,2,…n）第三十七页，共六十页，2022年，8月28日（1）计算偏差平方和①总偏差平方和设：第三十八页，共六十页，2022年，8月28日②各因素引起的偏差平方和第j列所引起的偏差平方和：因此：第三十九页，共六十页，2022年，8月28日③试验误差的偏差平方和方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差列

误差的偏差平方和为所有空列所对应偏差平方和之和：第四十页，共六十页，2022年，8月28日④交互作用的偏差平方和若交互作用只占有一列，则其偏差平方和就等于所在列的偏差平方和SSj

若交互作用占有多列，则其偏差平方和等于所占多列偏差平方和之和，

例：r=3时

第四十一页，共六十页，2022年，8月28日（2）计算自由度①总自由度：dfT＝n－1②任一列偏差平方和对应的自由度：

dfj＝r－1③交互作用的自由度：（以A×B为例）dfA×B＝dfA×dfBdfA×B＝(r－1)dfj若r＝2，dfA×B＝dfj若r＝3，dfA×B＝2dfj=dfA＋dfB④误差的自由度：

dfe＝空白列自由度之和第四十二页，共六十页，2022年，8月28日（3）计算均方以A因素为例：以A×B为例：误差的均方：第四十三页，共六十页，2022年，8月28日注意：若某因素或交互作用的均方≤MSe，则应将它们归入误差列计算新的误差、均方

例：若MSA

≤MSe

则：第四十四页，共六十页，2022年，8月28日（4）计算F值各均方除以误差的均方，例如：第四十五页，共六十页，2022年，8月28日（5）显著性检验例如：若，则因素A对试验结果有显著影响若，则交互作用A×B对试验结果有显著影响第四十六页，共六十页，2022年，8月28日（6）列方差分析表第四十七页，共六十页，2022年，8月28日2.3.2二水平正交试验的方差分析正交表中任一列对应的偏差平方和：

例6-9第四十八页，共六十页，2022年，8月28日2.3.3三水平正交试验的方差分析r=3，所以任一列的偏差平方和：

例6-10注意：

交互作用的方差分析

有交互作用时，优方案的确定第四十九页，共六十页，2022年，8月28日2.3.4混合水平正交试验的方差分析(1)利用混合水平正交表注意：不同列的有关计算会存在差别例6-11(2)拟水平法注意：有拟水平的列平方和的计算误差平方和的计算误差自由度的计算例6-12第五十页，共六十页，2022年，8月28日实验方法与数据处理的基本概念1．试验指标在试验设计和数据处理中，我们通常根据试验和数据处理的目的而选定用来考察或衡量其效果的特性值称为试验考察指标。试验考察指标可以是产品的质量、成本、效率和经济效益等。试验考察指标分为定量指标和定性指标两大类。定最化指际(如精度、粗糙度、强度、硬度、合格率、寿命和成本等)可以通过试验第五十一页，共六十页，2022年，8月28日直接获得、它方便计算和数据处理。而定性指标(如颜色气味、光泽等)不是具体数值，一般要定量化后再进行计算和数据处理。试验考察指标可以是一个，也可以是几个，前者称为单考察指标试验，后者称为多考察指标试验设计。第五十二页，共六十页，2022年，8月28日

2．试验因素对试验考察指标产生影响的原因或要素称为试验因素。例如在合金钢40Cr的淬火试验中．淬火硬度与淬火温度(如770、800、850℃)和冷却方式(如水冷、油冷、空冷）有关。其中淬火温度和冷却方式是试验因素．而淬火硬度是试验考察指标。除上述的试验因素外，在试验过程中由于测量、仪器和环境条件等影响．也会影响到试验考察指标，称这类因素为误差因素。因素一般用大写字母A、B、C、…来标记。第五十三页，共六十页，2022年，8月28日3．因素水平试验因素在试验中所处的状态、条件的变化可能会引起试验指标的变化，我们把因素变化的各种状态和条件称为因素的水平。在试验中需要考虑某因素的几种状态时．则称该因素为几水平因素。如上例40Cr的淬火试验中．淬火温度为770、800、850℃三种状态．则淬火温度这个试验因素为三水平因素。因素的水平应是能够直接被控制的．并且水平的变化能直瓦接影响试验考察指标有不同程度的变化。水平通常用数字1、2