Logistic回归的参数估计

Logistic回归分析(LogisticRegressionAnalysis）Logistic回归分析多重线性回归分析的前提条件线性；独立；正态；等方差

医学中还常研究二分类因变量（如患病与未患病、阳性与阴性等）或多分类因变量与一组自变量（X1，X2，．．．Xm，）的关系，线性回归分析方法就无能为力。

Logistic回归分析Logistic回归分析可解决:应变量为:二分类;无序多分类;有序多分类;本次教学主要介绍应变量为二分类的Logistic回归分析Logistic回归分析按设计，Logistic回归分析分为：成组：非条件Logistic回归分析配对：条件Logistic回归分析Logistic回归模型

例

为探讨超重和肥胖对高血压病的影响，2004年，某研究者采用整群抽样的方法，对某地6个镇35周岁以上的常住人口进行高血压普查，同时收集了身高、体重等相关信息。整理后资料见下表。目的：建立高血压患病率与体质指数间的数量关系模型，估计超重与肥胖对高血压患病的风险。不同体质指数组高血压患病率体质指数X调查人数患病Y=1未患病Y=0患病率（%）正常X=067921331546119.60超重或肥胖X=141481656249239.92合计109402987795327.30Logistic回归模型因变量为二分类变量，不满足线性回归分析条件，首先对进行数据变换：这个变换将取值在0-1间的值转换为值域在（）的值。建立与X的线性模型：

或

Logistic回归模型求解

右端在数学上属于Logistic函数，所以称其为Logistic回归模型。Logistic回归模型若自变量扩展到个P个，（X1，X2，．．．XP，），则多个自变量的回归模型为模型参数的意义

Β0：常数项（截距），表示模型中所有自变量均为0时，的值；β1，β2、．．．βP：回归系数，表示在控制其他自变量时，自变量变化一个单位所引起的改变量。模型参数的意义由于模型参数的意义例中“超重或肥胖”组（X=1）患高血压的优势为：“正常”组（X=0）患高血压的优势为：两组的优势比(oddsratio,OR)为：模型参数的意义一般地，根据多个自变量的回归模型，在其他变量取值不变的情形下，与变量Xj的二个水平C1与C2（C2>C1）相对应的事件的优势比为：当XJ的二个水平相差1个单位时，模型参数的意义Logistic回归分析广泛用于流行病学中前瞻性的队列研究、回顾性的病例-对照研究以及现况研究。当变量Xj的回归系数Βj>0时，Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的优势比ORj>1，表明Xj为危险因素；Βj<0时，Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的优势比ORj<1，表明Xj

为保护因素；Βj=0，Xj增加1个单位后与增加前相比，事件的优势比，ORj=1,表明Xj对结果变量不起作用。Logistic回归的参数估计Logistic回归模型中的参数β1，β2、…βP需要通过样本资料，按照一定方法进行估计，估计量记为b1，b2、…bP。参数估计方法有多种，极大似然估计（MLE）最为常用Logistic回归的参数估计极大似然估计基本思想选择能有最大概率获得当前样本的参数值作为参数的估计值。Logistic回归的参数估计假设n例观察对象彼此独立，其自变量为，因变量为Yi（0-1变量），。对于第i个体，给定Ｘi时，出现观察结果Yi的概率为：Logistic回归的参数估计对于n个独立个体，给定自变量时，出现当前观察结果的概率为上述n个概率的乘积Logistic回归的参数估计上式为似然函数(likelihoodfunction)，记为L。求解β0，