圆锥曲线三种弦长问题的探究_第1页
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文档简介

一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆C:x2y2:xy221ab0，直线l11被椭圆C截得的弦长为22，abab且e63的直线l2被椭圆C截的弦长AB，，过椭圆C的右焦点且斜率为3⑴求椭圆的方程；⑵弦 AB的长度.思路分析：把直线 l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解 .解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a2b28，⋯⋯⋯①又e6c22，所以a22，即a233b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②3联立①②得a26,b22，所以所求的椭圆的方程为x2y21.62⑵∴椭圆的右焦点F2,0，∴l2的方程为：y3x2，代入椭圆C的方程，化简得，5x218x60由韦达定理知，xx18,xx2612515从而x1x2x124x1x226x25，由弦长公式，得AB1k2x1x21322646，55即弦AB的长度为465点评：本题抓住l1的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数a2,b2，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：例2、过点P4,1作抛物线

y2

8x

的弦

AB，恰被点

P平分，求

AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点

P，所以弦

AB所在直线方程关键是求出斜率

k，有

P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长 .解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2，则有y128x1,y228x2，两式相减，得y1y2y1y28x1x2又x1x28,y1y22y2y14，所以所求直线AB的方程为y14x4，即4xy150.则kx1x2解法2：设AB所在的直线方程为ykx41ykx418y32k80.由8x，整理得ky2y2设Ax1,y1,Bx2,y2y1y28，由韦达定理得，y1y28k又∵P是AB的中点，∴1，∴2k42k所以所求直线AB的方程为4xy150.4xy150整理得，y22y300，则y1y22,y1y230由8xy2AB11y1y211y124y1y2527.有弦长公式得，k2k2y22点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、⑵）另解：⑵∴椭圆的右焦点F2,0，∴l2的方程为：y3x2，y3x2代入椭圆C的方程x2y21，化简得，5x218x6062x1x2186由韦达定理知，,x1x255由l2过右焦点，有焦半径公式的弦长为AB2aex1x246.546即弦AB的长度为5点评

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